Solution Sets for Differential Equations and Inclusions

1 TOPOLOGICAL STRUCTURE OF FIXED POINT SETS 11

1.1 Case of single-valued mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Fundamental ?xed point theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2 Approximation theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.3 Browder{Gupta Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.4 Acyclicity of the solution sets of operator equation . . . . . . . 21

1.1.5 Solution sets for nonexpansive maps . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2 Case of multi-valued mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.1 Fixed point theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.2 Multivalued contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2.3 Fixed point sets of multi-valued contractions . . . . . . . . . . . 29

1.2.4 Fixed point sets of multivalued condensing maps . . . . . . . . . 32

1.2.5 Approximation of multi-valued maps . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3 Admissible maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.3.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.3.2 Fixed point theorems for admissible multivalued maps . . . . . 48

1.3.3 Browder{Gupta type results for admissible mappings . . . . . . 54

1.4 Topological structure of ?xed point sets of inverse limit maps . . . . . . 58

1.4.1 De?nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.4.2 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.4.3 Multi-maps of inverse systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.5 Further results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.5.1 Semi-compactness in L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.5.2 Decomposability in L1(T;E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.5.3 Michael family of subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2 EXISTENCE THEORY FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS AND

INCLUSIONS 71

2.1 Case of di (R)erential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.1.1 Existence and uniqueness results . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.1.2 Picard-LindelAEof Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.1.3 Peano and Carath?eodory theorems . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.1.4 Global existence theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.1.5 Existence results on non-compact intervals . . . . . . . . . . . . 82

2.1.6 A boundary value problem on the half-line . . . . . . . . . . . . 89

2.2 Case of di (R)erential inclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.2.1 Initial value problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.2.2 A boundary value problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3 SOLUTIONS SETS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS AND IN-

CLUSIONS 105

3.1 Solutions sets for di (R)erential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.1.1 Problems on bounded intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.1.2 Problems on unbounded intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1.3 Kneser-Hukuhara Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2 Aronszajn-type results for di (R)erential inclusions . . . . . . . . . . . . . 111

3.3 Application to neutral di (R)erential inclusions . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.3.1 The convex case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.3.2 The nonconvex case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.3.3 Solutions sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.4 Application to second order di (R)erential inclusions . . . . . . . . . . . . 136

3.4.1 The convex case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.4.2 The nonconvex case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.4.3 Solution sets to second-order di (R)erential equations . . . . . . . . 144

3.4.4 Solution sets to second-order di (R)erential inclusions . . . . . . . 146

3.5 Application to a nonlocal problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.5.1 Existence results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.5.2 Solutions set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.6 Application to a nonlocal viability problem . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.6.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.6.2 Viable solutions on proximate retracts . . . . . . . . . . . . . . 154

3.7 Application to hyperbolic di (R)erential inclusions . . . . . . . . . . . . . 158

3.7.1 Existence results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.7.2 Solution sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.8 Application to abstract Volterra operators . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4 IMPULSIVE DIFFERENTIAL INCLUSIONS: EXISTENCE AND

SOLUTION SETS 169

4.1 Impulsive di (R)erential inclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.1.1 C0!Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.1.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.1.3 Existence results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.1.4 Structure of solution sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4.2 A periodic problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.2.1 Existence results: 1 2 1/2(T(b)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.2.2 The convex case: direct approach . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.2.3 The convex case: MNC approach . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.2.4 The nonconvex case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4.2.5 The parameter-dependant case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

4.2.6 Filippov's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

4.2.7 Existence of solutions: 1 62 1/2(T(b)) . . . . . . . . . . . . . . . . 232

4.3 Impulsive Functional Di (R)erential Inclusions . . . . . . . . . . . . . . . . 238

4.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

4.3.2 Existence results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

4.3.3 Structure of the solution set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

4.4 Impulsive di (R)erential inclusions on the half-line . . . . . . . . . . . . . 251

4.4.1 Existence results and compactness of solution sets . . . . . . . . 252

4.4.2 Topological structure via the projective limit . . . . . . . . . . . 266

4.4.3 Using solution sets to prove existence results . . . . . . . . . . . 282

I SUPPLEMENTS 287

5 PRELIMINARY NOTIONS OF TOPOLOGY 289

5.1 Extension and embedding properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

5.2 Homotopical properties of spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

5.3 ?Cech homology (cohomology) functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

5.4 Maps of spaces of ?nite type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

5.5 ?Cech homology functor with compact carriers . . . . . . . . . . . . . . 311

5.6 Acyclic sets and Vietoris maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5.7 Homology of open subsets of Euclidean spaces . . . . . . . . . . . . . . 317

5.8 Lefschetz number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

5.9 Coincidence problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

6 BACKGROUND IN MULTI-VALUED ANALYSIS 335

6.1 Continuity of multivalued mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

6.1.1 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

6.1.2 Upper semi-continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

6.1.3 Lower semi-continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

6.1.4 Hausdor (R) continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

6.2 Selection theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

6.2.1 Partitions of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

6.2.2 Michael's selection theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

6.2.3 3/4!selectionable mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

6.2.4 The Kuratowski-Ryll-Nardzewski selection theorem . . . . . . . 356

6.2.5 Hausdor (R)-measurable multivalued maps . . . . . . . . . . . . . 371

6.2.6 The Scorza-Dragoni property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

6.2.7 The Bressan-Colombo-Fryszkowski selection theorem . . . . . . 379

6.3 The Bochner integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

6.3.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

6.3.2 Nemytski?i operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

6.3.3 Integration of multivalued maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

6.4 Compactness in C([a; b];E) and PC([a; b];E) . . . . . . . . . . . . . . . 388

6.5 Further auxiliary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391