Distribution Theory

Preface 2

1 Definition and first properties of distributions 7

1.1 Test functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Support of a distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Differentiating distributions 13

2.1 Definition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 The distributions x?1+ ( 6= 0,?1,?2, . . . )* . . . . . . . . . . 16

2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Green's formula and harmonic functions . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Multiplication and convergence of distributions 27

3.1 Multiplication with a C1 function . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Convergence in D0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Distributions with compact support 31

4.1 Definition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Distributions supported at the origin . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Taylor's formula for Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Structure of a distribution* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Convolution of distributions 36

5.1 Tensor product of distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 Convolution product of distributions . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 Associativity of the convolution product . . . . . . . . . . . . 44

5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.5 Newton potentials and harmonic functions . . . . . . . . . . . 45

5.6 Convolution equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.7 Symbolic calculus of Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.8 Volterra integral equations of the second kind . . . . . . . . . 52

5.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.10 Systems of convolution equations* . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 The Fourier transform 57

6.1 Fourier transform of a function on R . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2 The inversion theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3 Plancherel's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.4 Differentiability properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.5 The Schwartz space S(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.6 The space of tempered distributions S0(R) . . . . . . . . . . . 65

6.7 Structure of a tempered distribution* . . . . . . . . . . . . . 66

6.8 Fourier transform of a tempered distribution . . . . . . . . . 67

6.9 Paley Wiener theorems on R* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.11 Fourier transform in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.12 The heat or diffusion equation in one dimension . . . . . . . . 75

7 The Laplace transform 79

7.1 Laplace transform of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2 Laplace transform of a distribution . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.3 Laplace transform and convolution . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.4 Inversion formula for the Laplace transform . . . . . . . . . . 84

8 Summable distributions* 87

8.1 Definition and main properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.2 The iterated Poisson equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.3 Proof of the main theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.4 Canonical extension of a summable distribution . . . . . . . . 91

8.5 Rank of a distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9 Appendix 96

9.1 The Banach-Steinhaus theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.2 The beta and gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Bibliography 108

Index 109