Voll auf die 12

Gut geschätzt ist gut gerechnet

Prozentangaben, Brüche, Abschätzungen und große Zahlen

«Auf diesen Betrag kommen noch 19 % Mehrwertsteuer.» «Für Ihre Spareinlage erhalten Sie 1,2 % Zinsen.» «Für diesen Kredit zahlen Sie nur 3 % Kreditzinsen.» «Diese Schokolade enthält 43 % Kakaobestandteile.» «Dieser Wein enthält 14 % Alkohol.» «Der Unfallverursacher hatte 2,1% Alkohol im Blut.» Angaben wie diese hören oder lesen wir jeden Tag.

Was bedeuten nun die Begriffe «Prozent» und «Promille»? Sind sie vergleichbar mit den physikalischen Begriffen «Meter», «Sekunde», «Kilogramm» und «Kilowattstunde»? Und braucht man einen Taschenrechner mit Prozenttaste, um Prozentrechnungen durchführen zu können?

Die beiden letzten Fragen kann man klar mit Nein beantworten. Eine Prozentangabe wie zum Beispiel 75 % ist nämlich nichts anderes als eine ganz normale Zahl. Dazu müssen Sie sich klarmachen, dass «Prozent» nichts anderes bedeutet als «von Hundert». 75 % ist also gleichbedeutend mit «75 von 100» oder . Verständlicherweise rechnen Sie nicht so gerne mit Brüchen wie . Deshalb gehen wir noch einen Schritt weiter und wandeln den Bruch in eine Ihnen vermutlich geläufigere Dezimalzahl um. entsprechen der Dezimalzahl 0,75.

Um Sie an den Gedanken zu gewöhnen, eine Prozentangabe als ganz normale Dezimalzahl anzusehen, kommen hier einige Beispiele:

Auf dieselbe Weise können wir eine Angabe in Promille mit Hilfe eines Bruches in eine Dezimalzahl umwandeln, denn «Promille» bedeutet «von Tausend». Hier wieder einige Beispiele:

Wie man an den Beispielen leicht erkennt, ist 1 % genauso viel wie 10 %. Umgekehrt entsprechen 2,1 % Alkohol im Blut einer Alkoholkonzentration von 0,21 %.

Wozu sind nun diese Überlegungen gut? Viele Menschen glauben, dass Prozent- und Promilleangaben recht anschaulich einen Sachverhalt beschreiben. Wenn man sie aber bittet, mit diesen Angaben eine Rechnung zu machen, reagieren sie oft hilflos.

In der Frage «Wie viel ist 19 % von 850 Euro?» tauchen ja keine Angaben wie «mal», «geteilt», «plus» oder «minus» auf. Dabei ist «19 % von 850 Euro» dasselbe wie die entsprechende Dezimalzahl 0,19 mal 850 Euro. Mit jedem Taschenrechner auch ohne Prozenttaste erhält man sofort das richtige Ergebnis

0,19 · 850 Euro = 161,50 Euro

Praktisch genauso einfach ist es, auf 850 Euro zum Beispiel 19 % Mehrwertsteuer aufzuschlagen. Da der Ausgangswert von 850 Euro 100 % entspricht, wollen Sie hier eigentlich nur wissen, wie viel 100 % + 19 % = 119 % von 850 Euro ist. Und wie Sie wahrscheinlich vermuten, erhalten Sie mit der einfachen Rechnung

1,19 · 850 Euro = 1011,50 Euro

das richtige Ergebnis. Wenn Sie also demnächst aus einem Betrag ohne Mehrwertsteuer den Betrag mit Mehrwertsteuer berechnen wollen, dann multiplizieren Sie einfach den angegebenen Euro-Betrag mit 1,19. Wollen Sie jedoch wissen, welcher Betrag sich bei einer Erhöhung um 100 % ergibt, müssen Sie zu den ursprünglichen 100 % weitere 100 % addieren. 200 % von 850 Euro sind dann

2 · 850 Euro = 1700 Euro

Eine Verteuerung um 100 % entspricht also einer Verdoppelung des Preises. Bei einer Preiserhöhung um 200 % würde sich folglich der Preis verdreifachen. Weitere interessante Beispiele für Prozentrechnungen finden Sie im nächsten Kapitel.

Ebenso ist es für Rechnungen oft nützlich, Brüche in Dezimalzahlen umwandeln und damit weiterzurechnen. Beispielsweise ist gleich 3 geteilt durch 4, und das ist 0,75. Ebenso ist = 0,375, = 0,2 und = 0,7. Wenn Sie also von 7 Kilogramm bestimmen wollen, dann sieht die Rechnung ganz einfach so aus:

0,375 · 7 kg = 2,625 kg

Als Nächstes möchte ich auf eine Fähigkeit hinweisen, die für Sie im täglichen Leben sehr nützlich sein kann. Ich meine die Fähigkeit, etwas abschätzen zu können. Oft geht es ja gar nicht darum, dass man etwas genau wissen will, sondern nur ungefähr.

Angenommen, der Tank Ihres Autos ist fast leer und Sie wollen tanken. Der Tank fasst 60 Liter und ein Liter Benzin kostet 1,469 Euro. Reicht Ihr Geld, um vollzutanken? Um auf der sicheren Seite zu sein, nehmen Sie einfach an, Sie müssten 60 Liter tanken und ein Liter würde 1,50 Euro kosten. Ihre Abschätzung ergibt dann, dass 60 · 1,50 Euro = 90 Euro auf jeden Fall reichen, um vollzutanken. In den meisten Fällen reicht so eine grobe Abschätzung. Aber auch bei genauen Rechnungen sind Abschätzungen wichtig. Diese Rechnungen werden Sie meistens mit einem Taschenrechner machen. Beim Eingeben der Rechnung können Sie jedoch die verschiedensten Fehler machen. Beispielsweise können Sie eine Ziffer falsch oder doppelt eintippen, Sie können das Dezimalkomma an die falsche Stelle setzen oder die Additionstaste mit der Multiplikationstaste verwechseln. Und oft können Sie dem Ergebnis nicht sofort ansehen, dass beim Eingeben etwas falsch gelaufen ist.

Um grobe Fehler sofort zu bemerken, ist es deshalb sinnvoll, zusätzlich im Kopf eine grobe Abschätzung zu machen. Dazu wird die Rechnung mit stark gerundeten Zahlen durchgeführt. Beispielsweise vereinfachen Sie die Rechnung 4,25 · 2,60 = 11,05 zu 4 · 3 = 12, indem Sie 4,25 zu 4 abrunden und 2,6 zu 3 aufrunden. Weicht das Ergebnis des Taschenrechners deutlich von der Abschätzung ab, dann haben Sie höchstwahrscheinlich beim Eintippen einen Fehler gemacht.

Ein weiteres Beispiel: 670 · 86,98 = 58276,6. Für die Abschätzung müssen Sie hier 700 · 90 ausrechnen. Hier rechnen Sie mit Hilfe des kleinen Einmaleins 7 · 9 = 63 im Kopf, hängen an das Ergebnis die zwei Nullen von der 700 und die eine Null von der 90 hinten an und erhalten als Abschätzung den Wert 63000. Auch diese Abschätzung liegt nicht sehr weit vom richtigen Wert entfernt.

Ein drittes Beispiel: 0,0019 · 840000 = 1596. Diese Rechnung vereinfachen Sie zu 0,002 · 800000. Sie rechnen jetzt 2 · 8 = 16 und hängen hier die fünf Nullen von 800000 an. Allerdings müssen Sie wieder drei Nullen wegnehmen, weil die 2 in der Zahl 0,002 erst an der dritten Stelle nach dem Komma kommt. Also bleiben zwei Nullen und die Abschätzung ergibt 1600 und ist damit in guter Übereinstimmung mit der genauen Rechnung.

Bisher kamen bei den Abschätzungen nur Multiplikationen vor. Geht es um Additionen oder Subtraktionen, sind die Abschätzungen noch einfacher. Addieren Sie zwei Zahlen, dann ist das Ergebnis nicht wesentlich größer als die größere der beiden Zahlen. 7046 + 4277 = 11323 und nicht 49823. Entsprechend ist 1841 + 78 = 1919 und nicht 4919. Haben Sie bemerkt, welche Fehler beim Eintippen in den Taschenrechner hier gemacht worden sind? Ziehen Sie bei der Subtraktion eine kleine Zahl von einer großen ab, muss das Ergebnis grob der größeren Zahl entsprechen. Ziehen Sie eine fast gleich große Zahl ab, erhalten Sie als Resultat eine vergleichsweise kleine Zahl.

Es bleiben noch die Abschätzungen bei Divisionsaufgaben. Hier ist es nützlich, die erste Zahl auf zwei Stellen genau zu runden. So wird aus der Aufgabe = 619 die Abschätzung . Jetzt überlegen Sie, dass ungefähr gleich 6 ist. An die 6 hängen Sie zunächst die drei Nullen von 25000 an. Die eine Null in der Zahl 40 dürfen Sie aber dann nicht zusätzlich anhängen, sondern Sie müssen Sie wegnehmen, weil durch 40 geteilt wird. Es bleiben also zwei Nullen übrig, und die Abschätzung beträgt damit 600.

Zum Schluss dieses Kapitels möchte ich mich mit Ihnen in die Welt der großen Zahlen begeben. Der Begriff «Millionen» ist Ihnen natürlich geläufig, und von Billionen haben Sie auch schon gehört, vielleicht auch von Trillionen, Quadrillionen, Quintillionen und Sextillionen. Wie viele Nullen haben diese Zahlen?

Außer bei den Millionen verbergen sich in den aus dem Lateinischen abgeleiteten Vorsilben die Zahlen 2, 3, 4, 5 und 6. Multipliziert man diese Zahlen mit 6, erhält man sofort die Anzahl der gesuchten Nullen. Bei 17 Billionen folgen nach der 17 deshalb 2 · 6 = 12 Nullen, also schreibt man 17000000000000. Bei 9 Trillionen muss man an die 9 schon 3 · 6 = 18 Nullen anhängen. Wie Sie wissen, sind es bei zum Beispiel 128 Millionen nur 1 · 6 = 6 Nullen. Zusätzlich gibt es noch die «Zwischengrößen» wie zum Beispiel Milliarden, Billiarden und Trilliarden, die jeweils 3 Nullen mehr haben als Millionen, Billionen und Trillionen. Eine Milliarde hat also 9 Nullen.

Immer wieder führt es zu Verwirrung, dass die englischsprachigen Länder diese Begriffe nicht benutzen. Dort folgt auf «million» (6 Nullen) «billion» (9 Nullen), auf «billion» folgt «trillion» (12 Nullen) usw. Man kann hier aus den Vorsilben nicht mehr direkt die Anzahl der Nullen bestimmen.

Anschaulich können wir uns diese großen Zahlen nicht mehr vorstellen. Wie weit reicht denn überhaupt unsere Vorstellung? Wenn wir in einem Stadion mit 85000 Zuschauern sitzen, können wir diese mit unseren Augen noch unterscheiden. Die Zahl 85000 können wir uns also noch veranschaulichen. Man könnte das wohl noch etwas weiter treiben, aber ab etwa einer Million dürfte Schluss sein. Die Anzahl der Zapfen auf der Netzhaut unserer Augen setzt der Anschauung im wahrsten Sinne des Wortes eine Grenze.

Wenn wir uns größere Zahlen veranschaulichen wollen, geht das eigentlich...