Das Geheimnis der zwölften Münze

Wie die Zeit vergeht

Ein wirklicher Klassiker

Über den antiken griechischen Mathematiker Diophant weiß man nur wenig. Sein Lebensalter erschließt man aus der (angeblichen) Inschrift seines Grabsteins. Dort steht (in moderner Formulierung): Ein Sechstel seines Lebens war er ein Kind, ein Zwölftel Jugendlicher, darauf brauchte es noch ein Siebtel bis zu seiner Hochzeit. Nach fünf Jahren Ehe wurde ihm ein Sohn geboren. Dieser starb allerdings, als er halb so alt war, wie der Vater werden sollte. Nach dem Tod des Sohnes hatte Diophant noch vier Jahre zu leben.

Wissen Sie, wie alt Diophant wurde?

Lösungsweg: Man kann das Rätsel natürlich dadurch lösen, dass man eine Gleichung aufstellt. Einfacher ist es, wenn man der Aufgabe entnimmt, dass das Lebensalter von Diophant durch 6, durch 12 und durch 7 ohne Rest teilbar sein muss. Daher liegt es nahe, das kgV dieser Zahlen zu bestimmen (das kgV ist die kleinste Zahl, in der diese Zahlen aufgehen); das ist 12 · 7 = 84. Dann muss man nur noch testen, ob alle Bedingungen erfüllt sind, wenn Diophant 84 Jahre alt geworden ist.

Die Gleichung, mit der man die Aufgabe auch lösen könnte, lautet

wobei a das gesuchte Alter Diophants ist. Wenn man diese Gleichung löst, ergibt sich auch a = 84.

Die meisten Rätsel, die nach einem Alter fragen, bringen das Alter von zwei Personen zu zwei Zeitpunkten in Beziehung zueinander. Aus den beiden Beziehungen kann man dann - hoffentlich - das Alter bestimmen. Die beiden folgenden Aufgaben sind Beispiele für diesen Aufgabentyp.

1. Wie alt bin ich?

Als mein Vater 31 Jahre alt war, war ich 8 Jahre alt. Jetzt ist mein Vater doppelt so alt wie ich. Wie alt bin ich?

Lösungsweg: Als ich geboren wurde, war mein Vater 31 - 8 = 23 Jahre alt. Seitdem werden wir beide jedes Jahr ein Jahr älter. Wenn ich 23 Jahre alt bin, muss er 23 + 23 = 46 Jahre alt sein, doppelt so alt wie ich.

Lösung:

2. Wie alt ist Papa?

Die Tochter sagt: «Papa, in 5 Jahren bist du nur noch doppelt so alt wie ich.» Darauf der Papa: «Dabei war ich vor 5 Jahren noch drei Mal so alt wie du!»

Wie alt sind die beiden?

Lösungsweg: Man kann die Aufgabe lösen, indem man Gleichungen aufstellt: p + 5 = 2(t + 5) («Das Alter des Papas in 5 Jahren ist das Zweifache des Alters der Tochter in 5 Jahren») und p - 5 = 3(t - 5) («Das Alter des Papas vor 5 Jahren war das Dreifache des Alters der Tochter vor 5 Jahren») und diese löst.

Man kann aber auch ohne Gleichungen die Lösungsmöglichkeiten zumindest drastisch einschränken. Wir bezeichnen das Alter des Vaters vor 5 Jahren kurz mit a. Dann ist a eine Zahl, die durch 3 teilbar ist, denn die Tochter war ja genau ein Drittel so alt. Andererseits ist a + 10 das Alter des Vaters in 5 Jahren. Dieses muss durch 2 teilbar sein, weil die Tochter ja genau halb so alt sein wird. Wenn die Zahl a + 10 durch 2 teilbar ist («gerade ist»), dann ist auch a durch 2 teilbar. Also ist a durch 3 und durch 2, also durch 6 teilbar.

Somit ist das Alter des Vaters vor 5 Jahren eine der Zahlen 6, 12, 18, 24, 30, 36, . Durch Ausprobieren findet man jetzt schnell das richtige Alter heraus.

Lösung:

3. Wie alt ist der Kollege?

Ich habe meinen Kollegen gefragt, wie alt er sei. Er antwortete: «Wenn du die beiden Ziffern meines Alters zusammenzählst, die Summe mit 8 multiplizierst und dann noch 1 dazuzählst, erhältst du mein Alter.» Wie alt ist der Kollege?

Lösungsweg: Wenn man vom Alter des Kollegen 1 abzieht, ergibt sich eine durch 8 teilbare Zahl (nämlich das Achtfache der Summe der Ziffern). Daher kommen für das Alter nur die Zahlen 8 + 1 = 9, 16 + 1 = 17, 24 + 1 = 25 usw. in Frage. Nun kann man einfach ausprobieren, welches die richtige Zahl ist.

Lösung:

4. Frau Meier und ihre Kinder

Frau Meier bekam mit 23 ihr erstes Kind, ein Jahr später ihr zweites und noch ein Jahr später ihr drittes Kind. Heute ist es so, dass ihr Alter gleich der Summe der Alter ihrer Kinder ist. Wie alt ist Frau Meier?

Lösungsweg: Als Frau Meier 25 Jahre alt war, war die Summe der Alter ihrer Kinder gleich 2 + 1 + 0 = 3. In jedem Jahr wird diese Summe um 3 größer, während Frau Meier um genau ein Jahr älter wird.

Lösung:

5. Summentage

Der 01.01.02 war ein «Summentag», weil die Summe aus Tag und Monat das Jahr ergibt (1 + 1 = 2). Welches ist der auf den 01.01.02 folgende Summentag? Wie viele Summentage wird es im Jahr 2036 geben? Und: Welches ist der letzte Summentag in unserem Jahrhundert?

Lösungsweg: Der auf den 01.01.02 folgende Summentag ist der 02.01.03. Insgesamt gibt es im Jahr 2036 genau acht Summentage, nämlich die Tage 31.05.36, 30.06.36, 29.07.36, 28.08.36, 27.09.36, 26.10.36, 25.11.36 und 24.12.36.

Lösung:

Zusatzfragen: Wenn man die Einsen in 1961 nur als Striche schreibt, sieht die Zahl gleich aus, wenn man sie umdreht. Gab es schon vorher eine Jahreszahl mit dieser Eigenschaft? Welches ist die nächste?

Lösung:

6. Überholmanöver bei Uhrzeigern

Bei einer analogen Uhr stehen die Zeiger um 12:00 Uhr genau senkrecht übereinander. Das ist erst wieder um 24:00 Uhr der Fall. Wie oft überholt der große Zeiger den kleinen in der Zwischenzeit? Zu welcher Uhrzeit passiert das zum ersten Mal?

Lösungsweg: Die Zeiger stehen zu folgenden Zeitpunkten übereinander: um 12:00 Uhr, zwischen 13:00 und 14:00 Uhr, zwischen 14:00 und 15:00 Uhr usw. Schließlich zwischen 22:00 und 23:00 Uhr und dann wieder um genau 24:00 Uhr. Das sind genau 11 Zeitintervalle. Da sich die Zeiger völlig gleichmäßig bewegen und sich überhaupt nicht darum kümmern, was auf dem Ziffernblatt steht, sind diese 11 Intervalle alle gleich lang.

Lösung:

7. Eine Uhr halbieren

Stellen Sie sich eine analoge Uhr vor, auf der die Zahlen 1 bis 12 zu sehen sind. Können Sie das Ziffernblatt durch einen geraden Strich in zwei Teile so einteilen, dass die Summe der Zahlen in beiden Teilen gleich ist?

Zusatzfrage: Können Sie das Ziffernblatt durch zwei Striche in drei Teile einteilen, so dass die Summe der Zahlen in jedem Teil gleich groß ist?

Lösungsweg: Die (leicht schräge) Linie trennt die «obere Hälfte» mit den Zahlen 10, 11, 12, 1, 2, 3 von der unteren Hälfte.

Lösung der Zusatzfrage:

8. Spiegeluhrzeiten

Man nennt eine Zahl eine Spiegelzahl, wenn sie von vorne und von hinten gleich aussieht, wie zum Beispiel 1441 oder 272. Manche digital angezeigten Uhrzeiten sind Spiegelzahlen, beispielsweise 9:39 Uhr oder 12:21 Uhr. Welches sind die Spiegelzeiten, die am schnellsten aufeinander folgen?

Lösung:

9. Symmetrische Kilometerstände

Ich liebe es, wenn der Kilometerstand an meinem Auto eine symmetrische Zahl ist, zum Beispiel 123 321. Meistens verpasse ich den richtigen Moment dann doch und muss bis zur nächsten symmetrischen Zahl warten, in diesem Fall bis 124 421. Das sind 1100 lange Kilometer. Bei manchen symmetrischen Zahlen ist der Abstand zur nächsten symmetrischen Zahl viel kleiner. Welche Zahlen sind das?

Lösung:

Spitzfindige Leser könnten auch so argumentieren: Bei der symmetrischen Zahl 999 999 braucht man nur einen Kilometer bis zur nächsten symmetrischen Zahl 000 000. Hm. Ich bin überzeugt, dass auch Ihr Tacho nicht «000 000», sondern nur «0» anzeigt .

10. Alter der Tochter

In unserer Nachbarschaft ist eine Familie neu eingezogen. Als ich mit dem Vater ins Gespräch komme, erzählt er, dass sie drei Töchter haben. Als ich nach deren Alter frage, stellt er mich auf die Probe: «Das Produkt der Alter unserer Töchter ist 36.» Darauf erwidere ich: «Das schließt natürlich viele Möglichkeiten aus, lässt aber auch noch einige zu.» Darauf er: «Die Summe der Alter unserer Töchter ist unsere Hausnummer.» Ich schaue, rechne und überlege, komme aber zu dem Schluss: «Damit kann ich die Alter immer noch nicht eindeutig bestimmen.» In diesem Augenblick kommt eine der Töchter und der Vater stellt sie vor: «Das ist unsere älteste.»

Damit bekomme ich heraus, wie alt die Töchter sind. Sie auch?

Lösungsweg: Wenn das Produkt der Lebensalter der drei Töchter 36 ist, dann gibt es dafür nur folgende Möglichkeiten: