Albrecht Beutelspachers Kleines Mathematikum

Zahlen

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Welches ist die älteste Zahl?

Wann der erste Mensch gezählt hat, wissen wir nicht. Wir wissen auch nicht, wann zum ersten Mal eine Zahl schriftlich notiert wurde. Aber wir haben sehr alte Zeugnisse von Zahlendarstellungen. Die ältesten Dokumente sind 20.000 bis 30.000 Jahre alt. Aus dieser Zeit stammen die ersten Kulturzeugnisse der Menschheit, und dazu gehören auch einige Knochen, die viele Kerben enthalten. Die Historiker sind davon überzeugt, dass diese Kerben weder zufällig durch Herumprobieren entstanden sind noch «nur» schmückende Funktion haben, sondern dass es sich aufgrund ihrer systematischen Anordnung um Zahlendarstellungen handeln muss. Dabei werden durchaus große Zahlen dargestellt, wie etwa 55 oder 60.

Wir wissen nicht, wozu diese Zahlen verwendet wurden, was damit gezählt wurde oder wer auf die Idee kam, Zahlen zu notieren: Wir haben nur ein paar Knochen mit Kerben. Ein Fund hat allerdings die Fantasie der Forscher in besonderer Weise angeregt. Dies ist der nach seinem Fundort so genannte Ishango-Knochen, der 1960 am Lake Edward in Zaire an der Grenze zu Uganda gefunden wurde und etwa 20.000 Jahre alt ist.

Der Ishango-Knochen

Nicht das Alter ist das Erstaunliche, sondern die Zahlen, die auf diesem Knochen – in Form von Einritzungen – dargestellt sind. An einer Stelle sehen wir die Zahlen 3–6, 4–8, 10–5. Offenbar werden hier Verdoppelung und Halbierung präsentiert. An einer anderen Stelle lesen wir mit noch größerem Erstaunen 11–13–17–19. Das sind die Primzahlen zwischen 10 und 20: 11, 13, 17, 19. Kaum zu glauben! Wozu sollen die Menschen vor 20.000 Jahren Primzahlen gebraucht oder sich vielleicht auch ohne Nutzanwendung dafür interessiert haben? Fragen über Fragen, und natürlich wurden auch viele Antworten gegeben: Es ist verführerisch zu vermuten, dass dieser Knochen nicht nur pure Anzahlen zeigt, sondern auch Zahlenverarbeitung; das hieße, damals wurde nicht nur gezählt, sondern auch schon gerechnet. Ob man von einer «prähistorischen Rechenmaschine» sprechen kann oder ob der Ishango-Knochen in Wirklichkeit ein Mondkalender ist, muss unentschieden bleiben, da sich keine dieser Hypothesen durch weitere Indizien belegen lässt. Wir haben nur den Knochen. Aber der ist erstaunlich genug!

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Seit wann kann man
mit Zahlen rechnen?

Zahlen irgendwie aufzuschreiben ist eine Sache. Zahlen sinnvoll aufzuschreiben eine andere.

Das erste vernünftige Zahlensystem haben die Babylonier vor etwa viertausend Jahren benutzt. Diese Mathematik wurde in Mesopotamien, dem Zweistromland, dem heutigen Irak, entwickelt.

Die Babylonier hatten so etwas Ähnliches wie unser Dezimalsystem. Für sie war aber nicht 10 die entscheidende Zahl, sondern 60. Das heißt, sie benutzten ein Stellenwertsystem zur Basis 60.

Davon merken wir noch heute, nach viertausend Jahren, etwas. Ganz deutlich ist dies bei der Zeiteinteilung: Eine Stunde besteht aus 60 Minuten, und eine Minute hat 60 Sekunden, so dass eine Stunde aus genau 60 mal 60 gleich 3600 Sekunden besteht. Auch bei der Gradeinteilung schimmert die 60 durch: Der gesamte Kreis ist in 360 Grad (gleich 6 mal 60) eingeteilt. Eigentlich toll, dass so etwas viertausend Jahre überlebt hat.

Das System zur Basis 60 bedeutet zweierlei: Erstens, man benutzt Ziffern von 1 bis 59. Zweitens, die Ziffern haben einen unterschiedlichen Wert, je nachdem, an welcher Stelle sie stehen. Wenn zum Beispiel die Ziffer 5 an der letzten Stelle, der Einerstelle, steht, hat sie auch nur den Wert 5. Die vorletzte Stelle ist nicht, wie bei uns, die Zehnerstelle, sondern die Sechzigerstelle. Eine 2 an dieser Stelle hat also den Wert 2 mal 60 gleich 120.

Die vorvorletzte Stelle ist im Dezimalsystem die Hunderterstelle, weil 10 mal 10 einhundert ist. Im 60er-System hat diese Stelle die Wertigkeit 60 mal 60 gleich 3600. Eine 3 an der vorvorletzten Stelle hat also den Wert 3 mal 3600 gleich 10.800. Und die Zahl mit den Ziffern 325 hat im 60er-System den Wert 10.800 (für 3 mal 3600) plus 120 (für 2 mal 60) plus 5, also 10.925.

Anders gesagt: Dies ist genau die Anzahl der Sekunden in 3 Stunden, 2 Minuten und 5 Sekunden.

Mit diesem System konnten die Babylonier wunderbar rechnen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren geht ganz genauso, wie wir es in der Schule gelernt haben. Allerdings: Eines hatten die Babylonier noch nicht: die Null, die Ziffern gingen nur von 1 bis 59.

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Wie rechneten die Ägypter?

Im Jahr 1858 kaufte der schottische Jurist Alexander H. Rhind in Luxor in Ägypten eine antike Papyrusrolle. Es ist unwahrscheinlich, dass sich Mr. Rhind der außergewöhnlichen Bedeutung seines Kaufobjekts bewusst war. Heute befindet sich die Rolle unter dem Namen «Papyrus Rhind» im Britischen Museum und ist das umfangreichste Dokument, das wir von der altägyptischen Mathematik haben. Es stammt etwa aus dem Jahre 1650 v. Chr., ist aber die Abschrift eines noch zweihundert Jahre älteren Dokuments.

Dass die Ägypter Mathematik kannten, ist klar: Um die Pyramiden zu bauen, muss man hervorragende Fertigkeiten in Geometrie und im Rechnen haben. Der Papyrus Rhind zeigt uns, wie die Ägypter gerechnet haben. Er enthält 84 Aufgaben. Keine Theorie, keine Formeln, keine allgemeine Anleitung, sondern konkrete Aufgaben.

Diese Anlage des Papyrus legt auch einen Schluss auf das Lernen nahe. Vielleicht war es tatsächlich so, dass Mathematik eine Art Handwerk war, das man gelernt hat, indem man es sich vom Meister abschaute: Man bekam zunächst Aufgaben vorgerechnet, dann rechnete man selbst, vermutlich unter Anleitung, eine Aufgabe nach der anderen, so lange, bis man «es konnte».

Ausschnitt aus dem ägyptischen Papyrus Rhind

Eine Methode war die sogenannte Hau-Methode. Hau bedeutet «Haufen» oder «Menge», mathematisch gesprochen, eine unbekannte Größe, modern gesagt: das x.

Die Aufgabe 26 aus dem Papyrus Rhind lautet: Eine Größe (Hau) und ihr Viertel ergeben zusammen 15. Was ist die Größe?

Die Hau-Methode ist genial. Genial einfach. Sie besteht geradezu darin, es sich – zunächst – einfach zu machen: Man denkt sich irgendeine Lösung, eine Fantasielösung, mit der man aber gut rechnen kann: Zum Beispiel denkt man sich 4. Vier und ein Viertel davon ergibt fünf.

Das ist nun nicht das, was rauskommen soll. Das Ergebnis soll ja 15 und nicht 5 sein. Das Ergebnis ist also das Dreifache. Daher nehmen wir jetzt auch das Dreifache der ursprünglich gewählten Fantasielösung. Man erhält 3 mal 4 gleich 12 und damit die wirkliche Lösung. Denn 12 plus ein Viertel ist 12 plus 3, also 15.

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Wie rechneten die Römer?

Die römischen Zahlen sind nicht fürs Rechnen gemacht. Sie sind dazu da, in Stein gemeißelt zu werden, um Jahreszahlen, Beutemengen und Ähnliches für die Ewigkeit anzuzeigen. Aber rechnen?

Addition geht eigentlich gut: XII+VI=? Um diese Aufgabe zu lösen, muss man nur die Zeichen zusammenstellen und der Größe nach ordnen: XII+VI=XIIVI=XVIII. Das funktioniert deswegen so gut, weil die römischen Zahlen V, X, C, M im Grunde nur Abkürzungen für 5, 10, 100, 1000 Einerstriche sind. Statt zehnmal I zu schreiben, schreibt man einmal X. Mit Einerstrichen zu addieren ist ganz einfach: Man stellt sie nur zusammen: IIII+IIIII=IIIIIIIII.

Auch das ging nur so lange gut, bis man auf die Idee kam, statt vier Strichen einfach IV zu schreiben. Das ist für jeden Steinmetz eine Erleichterung, aber für das Rechnen eine Katastrophe.

Wie haben die Römer wirklich gerechnet? Dazu benutzten sie ein wunderbares Gerät, den Abakus. Das war der erste Taschenrechner der Welt und eine – von den Römern vermutlich nicht bemerkte – Vorwegnahme des Dezimalsystems.

Ein Abakus besteht aus einer Reihe von Metallstäben, die durch eine Leiste in eine kleinere linke und eine größere rechte Hälfte unterteilt sind. Links befinden sich jeweils eine, rechts jeweils vier Holzperlen.

Der oberste Stab bestimmt die Einerstelle; der unmittelbar darunter die Zehnerstelle, dann kommt die Hunderterstelle usw. (Meist finden sich oberhalb der Einerstelle noch einige Stäbe, die Sonderzwecken dienen.) Die Perlen in der linken Hälfte sind 5 wert, die in der rechten jeweils 1. Die Perlen werden gezählt, wenn sie an die Trennleiste angelegt, also in die Mitte geschoben sind.

Um eine Zahl einzustellen, schiebt man zunächst die entsprechende Zahl von Einerperlen in die Mitte; wenn 4 nicht ausreichen, nimmt man die linke Perle als 5 hinzu. Zum Beispiel gibt die folgende Einstellung des Abakus die Zahl 83.734 wieder.

Die Addition von Zahlen ist prinzipiell einfach: Man stellt die erste Zahl ein und legt dann die zweite hinzu. Manchmal geht das ohne Probleme, aber manchmal kommt man mit den Perlen eines Stabes nicht aus: Es entsteht ein Übertrag. Sobald alle Perlen eines Stabes aktiviert sind und noch eine hinzukommen müsste, schiebt man eine der rechten Perlen des Stabs darunter in die Mitte und schiebt alle Perlen des oberen Stabes wieder zurück.

Wenn man zum Beispiel 7+3 rechnen möchte, stellt man zunächst auf dem Einerstab die Zahl 7 ein (5+1+1), aktiviert dann noch zwei Einerperlen; bei der dritten...