Der mathematische Zauberstab

1.1 Aus Eins mach' Zehn, und Zwei laß gehn

Der Titel dieses Abschnitts ist ein Zitat aus den ersten Zeilen des «Hexeneinmaleins» aus Goethes Faust. Das passt ganz gut, denn hier geht es um «Hexerei» (= Zauberei), die auf sehr einfachen Eigenschaften von Zahlen beruht.

Zunächst muss ich Ihnen aber ein Geständnis machen: Die allermeisten Tricks, die auf Zahlenmanipulationen beruhen und die in Zauberbüchern oder im Internet angeboten werden, gefallen mir nicht. Sie sind für das Publikum ein bisschen langweilig und leicht zu durchschauen. Hier ein typisches Beispiel:

Denke dir eine Zahl zwischen 1 und 20. Multipliziere sie mit 3 und addiere 6. Subtrahiere von dem Ergebnis die gewählte Zahl. Sage mir das Ergebnis. Und dann kann der Zauberer die gewählte Zahl «erraten».

Mit einfachster Schulmathematik ist schnell zu sehen, was zu tun ist: Wenn man die vom Zuschauer gewählte Zahl mit x bezeichnet, so wird dem Zauberer die Zahl (3x + 6) - x = 2x + 6 genannt. Daraus ist x leicht zu ermitteln: 6 abziehen und durch 2 teilen. Wird etwa 24 genannt, so wurde am Anfang die 9 gewählt.

Hier habe ich einige Tricks ausgewählt, bei denen es auch um Zahlen geht, wo der mathematische Hintergrund aber sehr viel besser versteckt ist. Viel Spaß beim Nachmachen!

Der 1001-Trick

Das ist einer meiner Lieblingstricks: Die Mathematik ist gut versteckt, es kann nichts schiefgehen.

Der Zaubertrick: Ein Zuschauer schlägt eine beliebige dreistellige Zahl vor. Man schreibt dieselbe Zahl noch einmal daneben, so entsteht eine sechsstellige Zahl: Aus 453 etwa wird 453453. Diese sechsstellige Zahl ist dann garantiert durch 7 teilbar:

Wie ist der Trick vorzubereiten? Bei diesem Trick ist nichts vorzubereiten.

Der mathematische Hintergrund: Natürlich könnte man durch eine systematische Rechnung nachprüfen, dass der Trick immer funktionieren wird: Es klappt, wenn der Zuschauer 100 wählt, wenn er 101 wählt, ., und so weiter bis 999. Das ist aber recht aufwendig und langweilig, und außerdem hat man damit noch nicht verstanden, woran es eigentlich liegt.

Mathematiker gehen deswegen anders vor. Sie beginnen damit, dass sie ein allgemeines Symbol für eine dreistellige Zahl einführen, zum Beispiel xyz. Dabei steht x für eine der Ziffern von 1 bis 9, und y und z dürfen Werte von 0 bis 9 annehmen.

Die erste wichtige Beobachtung ist nun, dass der Übergang von xyz zur sechsstelligen Zahl xyz xyz einerseits durch Nebeneinanderschreiben bewerkstelligt werden kann, andererseits aber auch durch Multiplikation von xyz mit 1001. Dazu muss man sich nur daran erinnern, wie man schriftlich mehrstellige Zahlen miteinander multipliziert.

Hier ein Beispiel. Nach und nach werden die Ziffern des zweiten Faktors abgearbeitet:

Wenn der zweite Faktor 1001 ist, wird es viel einfacher:

Zweitens stellt man durch eine kurze Rechnung schnell fest, dass die Zahl 1001 durch 7 teilbar ist (1001 ist das Produkt der Zahlen 7, 11, 13).

Und drittens muss man das nun nur noch mit folgender Tatsache kombinieren: Ist bei einem Produkt A·B einer der Faktoren, etwa A, durch 7 teilbar, so ist auch A · B durch 7 teilbar. (Wenn nämlich A durch 7 teilbar ist, so gilt A = 7 · C für eine geeignete Zahl C. Dann ist A · B = 7 · C · B, d.h. auch A · B enthält 7 als Faktor.)

Die Präsentation: Zu Beginn kündige ich an, dass es nun etwas zu gewinnen gibt, dabei halte ich einige Geldscheine hoch. Dann gibt es immer viele Freiwillige. Einer kommt nach vorne.

Auf einem großen Blatt Papier rechnen wir ein bisschen «zur Übung». Ich erkläre, dass es nur um den Rest beim Teilen geht und dass dieser Rest dann in Zehn-Euro-Scheinen ausgezahlt werden wird.

Zur Erläuterung - noch ohne Geldversprechen - teilen wir dann einige zweistellige Zahlen durch eine einstellige Zahl, um den Rest zu ermitteln.

Dann kommt der eigentliche Trick: Der Zuschauer wählt seine dreistellige Zahl, muss sie noch einmal daneben schreiben («damit es nicht zu leicht ist»), und dann wird durch die «Glückszahl» 7 geteilt.

Es geht - große Überraschung! - auf, der Zauberer hat noch einmal Glück gehabt.

Das kann man gern mit einem anderen Freiwilligen wiederholen, alle hoffen natürlich, dass bei ihnen der Rest nicht null sein wird.

Varianten: Wem Geld zu profan ist, kann auch anderes versprechen (Blumen, Süßigkeiten, .).

Es sind auch noch zwei mathematische Varianten erwähnenswert. Erstens kann man statt 7 auch die Zahlen 11 und 13 verwenden, denn auch sie sind Teiler von 1001. Ich mache das nie, denn erstens bietet sich die 7 als Glückszahl an und zweitens könnte das Teilen durch 11 oder 13 für manche zu schwierig sein.

Zweitens ist es, nachdem man die Begründung verstanden hat, im Prinzip möglich, auch zu Zahlen mit mehr als drei Stellen überzugehen:

Schreibt man eine vierstellige Zahl zweimal nebeneinander, so entspricht das der Multiplikation dieser vierstelligen Zahl mit 10001. Folglich wird die neue - die achtstellige - Zahl durch alle Teiler von 10001 teilbar sein.

Das ist zwar richtig, aber leider für Zaubertricks nicht gut zu nutzen, denn die Teiler von 10001 sind 73 und 137. Wer möchte während einer Zaubervorstellung schon durch 73 oder gar 137 teilen?

Sieht es denn bei Zahlen mit noch mehr Stellen besser aus? In der nachstehenden Tabelle sind die Teiler der hier wichtigen Zahlen 1001, 10001, . zusammengestellt.

Einen geeigneten Teiler, die 7, gibt es erst wieder bei 1000000001. Im Prinzip könnte man also mit «Denken Sie sich eine neunstellige Zahl .» beginnen, die durch Nebeneinanderschreiben entstehende 18-stellige Zahl wird garantiert durch 7 teilbar sein. Die dann folgende Rechnung dürfte nicht wirklich spannend für das Publikum sein, man sollte doch lieber bei dreistelligen Zahlen bleiben.

«Magische» Quadrate

Der Zaubertrick: Man sieht ein quadratisches Zahlenschema. Ein Zuschauer wählt einige Zahlen auf die folgende Weise aus:

Die erste gewählte Zahl bekommt ein Sternchen «*», die restlichen Zahlen in dieser Zeile und dieser Spalte werden durchgestrichen.

Unter den noch nicht gewählten oder gelöschten Zahlen bekommt eine weitere ein «*», und die restlichen in der gleichen Zeile und Spalte werden wieder gestrichen.

Das wird so lange gemacht, bis alle Zahlen ein «*» haben oder gelöscht sind. (Im letzten Schritt bekommt nur noch eine Zahl ein «*».)

Dann werden die gewählten - also die Zahlen mit «*» addiert. Hier ein Beispiel, da sieht man das quadratische Schema im Original und nach einer, zwei und drei Zuschaueraktionen:

Der Zuschauer hat 11, 17 und 7 gewählt, und die 15 bleibt übrig. Deswegen ist 11 + 17 + 7 + 15 auszurechnen, die Summe ist also gleich 50.

Die Überraschung: Obwohl das Ergebnis aufgrund der verschiedenen möglichen Entscheidungen des Zuschauers völlig zufällig sein sollte, weiß es der Zauberer im Voraus.

Wie ist der Trick vorzubereiten? Der Zauberer wählt sich eine beliebige Zahl, wir nennen sie die Zielzahl Z: Am Ende wird sich garantiert die Summe Z ergeben. Er arbeitet zunächst mit einem quadratischen Zahlenschema aus 4 mal 4 Feldern (Varianten werden weiter unten besprochen):

Nun sucht er sich acht Zahlen, deren Summe gleich Z ist. Wenn er sich etwa bei einer Geburtstagsfeier für die Zahl 50 entschieden hat, könnte er sich die Zahlen 2, 9, 3, 5, 10, 15, 2, 4 aussuchen.

Diese Zahlen werden nun in einer beliebigen Reihenfolge an den Rand des Zahlenschemas geschrieben:

Und dann werden die 16 noch freien Felder gefüllt: In jedes Feld wird die Summe aus den zwei Randzahlen (oben und links) geschrieben. Zum Beispiel hat sich die 17 im nachstehenden Schema als Summe aus 15 (darüber) und 2 (links) ergeben.

Das alles wurde vor der Vorstellung gemacht. Für das Publikum wird das mit den eben berechneten Zahlen gefüllte Zahlenschema noch einmal abgeschrieben, die Randzahlen müssen auf jeden Fall geheim bleiben!

Und dann kann es losgehen.

Der mathematische Hintergrund: Durch das Verfahren, wie die Zahlen mit «*» ausgewählt wurden, wird sichergestellt, dass am Ende in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine Zahl ein «*» hat. Da die Zahlen im Schema als Summe der Randzahlen (oben und links) definiert wurden, sind damit alle der am Anfang gewählten Randzahlen genau einmal berücksichtigt worden. Und da die so gewählt waren, dass die Summe gleich der Zielzahl ist, wird man die garantiert als Endergebnis erhalten.

Es ist hier noch auf eine besondere Eigenschaft von Zahlen hinzuweisen, ohne die der Trick nicht funktionieren würde. Betrachten wir das obige Beispiel noch einmal. Da hat sich doch die Zielzahl 50 so ergeben:

50 = 17 + 11 + 7 + 15 = (15 + 2) + (2 + 9) + (4 + 3) + (10 + 5).

Es hätte doch aber sein können, dass ein Zuschauer ganz andere Zahlen gewählt hätte, etwa die Zahlen 19, 4, 18, 9.

Und dann hätte man so rechnen müssen:

50 = 19 + 4 + 18 + 9 = (10 + 9) + (2 + 2) + (15 + 3)...