Die Entwicklung, in welcher sich die Theorie der reellen Funktionen seit einiger Zeit befindet, betrifft vor allem die allgemeinen Begriffe. Besonders die Idee der Ordnung mit allen ihren Spielarten, wie sie etwa in den Strukturen des Filters, des Verbandes, des Somenringes und der Ortsfunktionen geprägt worden ist, führte in steigendem Maße zu einer Umgestaltung aller Teile der Theorie. Diese Entwicklung kann noch nicht als abgeschlossen angesehen werden; trotzdem wurde versucht, sie in diesem Buch zu berücksichtigen, zu dem Ausmaß allerdings, wie es mir ursprünglich vorschwebte, ist es nicht gekommen. Verspätet erst wurde mir die einschlägige Literatur zugänglich, und außerdem ergab es sich, daß der klassische Tatsachenbestand, der trotz aller neuen Be griffsbildungen immer noch den eigentlichen Schatz der Theorie aus macht, letzthin nicht vernachlässigt werden durfte. Daß auf den fol genden 400 Seiten keine erschöpfende Behandlung des Gesamtgebietes möglich war, ist bei der Weite desselben nicht verwunderlich. So fehlt insbesondere eine eingehende Behandlung der Theorien der Differen tiation der additiven Mengenfunktionen, der Oberflächenintegrale, des DENJoyschen Integrals, der CARATHEODoRYschen Ortsfunktionen und der SCHWARTzschen Distributionen; das Literaturverzeichnis am Ende des Buches mag ein kleiner Lückenbüßer dafür sein. Wegen der hier behandelten Gegenstände selbst aber verweise ich auf den nachfolgenden "Überblick".
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ISBN-13
978-3-642-88065-0 (9783642880650)
DOI
10.1007/978-3-642-88065-0
Schweitzer Klassifikation
Vorbemerkung, Überblick und Zeichenerklärung.- 1. Mengen.- 1.1. Mengen und Teilmengen.- 1.2. Verknüpfungen von Mengen.- 1.3. Mengensysteme.- 1.4. Produktmenge, Abbildung.- 1.5. Abzählbare Mengen.- 1.6. Die Mächtigkeit des Kontinuums.- 2. Ordnungen.- 2.1. Teilweise geordnete Mengen.- 2.2. Vollständigkeit t-geordneter Mengen.- 2.3. Komposition t-geordneter Mengen.- 2.4. k-geordnete Mengen.- 2.5. Wohlgeordnete Mengen.- 2.6. Mengenvergleichung.- 2.7. Ordinalzahlen.- 2.8. Kardinalzahlen.- 2.9. Borelsche und Suslinsche Mengensysteme.- 2.10. Allgemeine Konvergenztheorie.- 3. Verbände.- 3.1. Der Verband.- 3.2. Distributive und komplementäre Verbände.- 3.3. Somenringe.- 3.4. Unteilbare Elemente.- 3.5. Isomorphiesatz.- 3.6. ?-Somenringe.- 4. Räume.- 4.1. Der metrische Raum.- 4.2. Offene Mengen.- 4.3. Abgeschlossene Mengen.- 4.4. Randmengen.- 4.5. Dichte Mengen.- 4.6. Umgebungssysteme.- 4.7. Kompaktheit.- 4.8. Mengenkonvergenz.- 4.9. Vollständige Räume.- 4.10. Die Baireschen und Suslinschen Mengen eines topologischen Raumes.- 5. Reelle Punktfunktionen.- 5.1. Funktionen auf abstrakten Mengen.- 5.2. Stetige Funktionen in topologischen Räumen.- 5.3. Nichtkonstante stetige Funktionen (Metrisation).- 5.4. Halbstetige Funktionen.- 5.5. Unstetige Funktionen.- 5.6. Die BAIRaschen Funktionen.- 5.7. Approximation stetiger Funktionen.- 5.8. Abbildungen und Gleichungen.- 5.9. Der allgemeine Zwischenwertsatz.- 6. Funktionen in Produkträumen Seite.- 6.1. Metrische Produkträume.- 6.2. Faktoriell stetige Funktionen.- 6.3. Faktoriell stetige Erweiterungen.- 7. Reelle Funktionen einer reellen Variablen.- 7.1. Ableitungen und Derivierte.- 7.2. Eindeutigkeitssatz der Differentialrechnung.- 7.3. Umkehrung der Differentiation.- 7.4. Das T-Integral und seine Erweiterungen.- 7.5. DerFundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- 7.6. Vergleich der Funktionenbereiche.- 8. Maßtheorie.- 8.0. Vorbetrachtung zur Maßtheorie.- 8.1. Additive Somenfunktionen.- 8.2. Intervallfunktionen.- 8.3. Die Methode der additiven Zerleger.- 8.4. Differenzdarstellung der additiven Funktionen.- 8.5. Totalisation.- 8.6. Konstruktion von Maßfunktionen.- 8.7. Vervollständigung eines Inhalts durch Einschließung.- 8.8. Maße und ihre Vervollständigung.- 8.9. Reduzierte Inhalte und Maße.- 8.10. Erweiterung eines Inhalts zu einem Maß.- 8.11. LESESGUasches Maß im Eq.- 9. Positive lineare Funktionale.- 9.1. Elementarintegral und Normintegral.- 9.2. Die N-integrierbaren Funktionen.- 9.3. Die N-meßbaren Funktionen.- 9.4. Beziehungen zur Maßtheorie.- 9.5. Die Funktionenräume Fp, Lp.- 9.6. Der Raum L2.- 9.7. Vergleich von Elementarintegralen.- 9.8. Iterierte Integrale.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.- Zeichenverzeichnis.
