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Aussagen, Mengen und Funktionen

In diesem und dem folgenden einführenden Abschnitt sollen einige Grundregeln der mathematischen Sprech- und Ausdrucksweise vereinbart werden. Hierzu werden die wichtigsten Begriffe über Aussagen, Mengen und Funktionen sowie später über die Zahlenbereiche zusammengestellt. Den Studierenden sollte der Stoff dieser Abschnitte im Wesentlichen von der Schule bekannt sein (mit Ausnahme vielleicht der komplexen Zahlen). Das Augenmerk sollte also hierbei eher auf dem Einüben der Notation liegen.

1.1 Aussagen

Aussagen sind Sätze, die wahr oder falsch sind. Vom Standpunkt der Aussagenlogik, aber auch für das formale Umformen von Aussagen ist nicht der Inhalt einer Aussage von Interesse, sondern ihr Wahrheitswert. Ist A eine Aussage, so legen wir fest:

w(A) bezeichnet dabei den Wahrheitswert der Aussage A; das Symbol :? bezeichnet die de?nierende Äquivalenz, sprachlich: ". wird definiert durch .". Wir gehen davon aus, dass es nur zwei Wahrheitswerte gibt (Satz vom ausgeschlossenen Dritten, lat. "tertium non datur") und dass jede (sinnvolle) Aussage entweder wahr oder falsch ist.

Sind A und B Aussagen, so werden die folgenden Verknüpfungen dieser Aussagen betrachtet:

Definiert werden diese "neuen" Aussagen durch Festlegung ihrer Wahrheitswerte (in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten der Aussagen A und B):

Tafel (1.1): Wahrheitswertetafel.

Man beachte:

1. i) A ? B ist auch wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. ? beschreibt also das "nicht ausschließende oder" im Gegensatz zum "entweder . oder".
2. ii) Eine Implikation A ? B ist immer wahr, wenn die Prämisse (das ist die Aussage A) falsch ist.

Mit Hilfe dieser Verknüpfungen lassen sich nun formal weitere Aussagen bilden, wie etwa:

Nun gilt: Die Aussage (1.2) ist immer, d. h. unabhängig von den Aussagen A und B, wahr. Solche Aussagen heißen Tautologien. Wir überprüfen diese Eigenschaft anhand der zugehörigen Wahrheitswertetafel:

Tafel (1.2): Wahrheitswertetafel zu (1.2).

Tautologien lassen sich dazu benutzen, mathematische Aussagen in andere, äquivalente Aussagen umzuwandeln.

Liste häufig verwendeter Tautologien (1.3)

Beispiel (1.4)

Zum Nachweis, dass die beiden Regeln von de Morgan (4) und (5) Tautologien sind, stellen wir die zugehörige Wahrheitswertetafel auf.

Aussageformen sind Aussagen, die von Variablen abhängen. So ist z. B.

eine (zweistellige) Aussageform in den Variablen x, y. Eine Aussageform selbst hat keinen Wahrheitswert. Erst wenn man für die Variablen konkrete Objekte (hier etwa reelle Zahlen) einsetzt, erhält man eine Aussage, die dann wahr oder falsch ist. Für obiges Beispiel ist etwa eine wahre und A(-3, 2) eine falsche Aussage.

Für eine einstellige Aussageform A(x) werden die folgenden Aussagen definiert:

Die Symbole ?, ? und ?1 heißen Quantoren. Wichtig sind auch die Verneinungen der Quantoren:

Die allgemeine Form eines mathematischen Satzes ist die Implikation A ? B.

Dabei heißt A die Voraussetzung (Prämisse), B die Behauptung (Konklusion). Man sagt dann auch: B ist eine notwendige Bedingung für A und A ist eine hinreichende Bedingung für B.

Für den Beweis eines mathematischen Satzes A ? B wird in der Regel ein sogenannter Kettenschluss durchgeführt:

Eine Begründung hierzu liefert die Tautologie (9) in Liste 1.3. Die einzelnen Schlüsse sind dabei einsichtig, sie sind z. B. bereits früher bewiesen worden oder sie folgen unmittelbar aus Axiomen. Diese Form des Beweises heißt direkter Beweis.

Beim sogenannten indirekten Beweis benutzt man die Kontraposition bzw. den modus tollens. Anstelle von A ? B beweist man ¬B ? ¬A oder: wenn die Behauptung B nicht gilt, so ergibt sich ein Widerspruch zur Voraussetzung A.

Wir betrachten zwei einfache Beispiele für diese Beweisformen:

Satz (1.5)

Für eine natürliche Zahl n gilt: n gerade ? n2 gerade.

Beweis.

Wir beweisen die Äquivalenz, indem wir die beiden Implikationen

einzeln nachweisen.

?: (direkter Beweis)

?: (indirekter Beweis)

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Wir betrachten ein zweites Beispiel für einen indirekten Beweis. Die äußere Form des Satzes ist dabei etwas anders, da keine Voraussetzung explizit genannt wird. Tatsächlich bilden jedoch die (üblichen) Rechenregeln für natürliche bzw. rationale Zahlen hier die Voraussetzungen.

Wir schließen aus

die Regel

Nach der Regel von de Morgan (siehe Liste 1.3 (5)) ist die rechte Seite äquivalent zu

womit wir

gezeigt haben. Damit können wir nun den folgenden Satz beweisen, wobei wir wie folgt vorgehen werden. Wir wollen zeigen: ist keine rationale Zahl (A ? B), zeigen dazu aber, dass A ? ¬B nicht gilt, also muss A...