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Aussagenlogik, Mengen und Zahlen

In mathematischen Formulierungen werden vielfach abkürzende und symbolische Ausdrücke der Übersichtlichkeit wegen verwendet. In diesem Kapitel werden Grundlagen und symbolische Bezeichnungsweisen zusammengefasst, die bei späteren Darstellungen immer wieder verwendet werden. Als Basis mathematischer Denk- und Vorgehensweise werden zunächst Grundsätze der Aussagenlogik erklärt. Anschließend werden Mengen und deren Darstellungen beschrieben. Von grundsätzlicher Bedeutung für mathematische Berechnungen sind Zahlen mit den zugehörigen Rechenregeln für Addition und Multiplikation. Hier wird ein Überblick über das Zahlensystem bis einschließlich der reellen Zahlen gegeben. Dabei werden an geeigneter Stelle aus der Schule bekannte Begriffsbildungen wie beispielsweise Teilbarkeit, der binomische Lehrsatz und Intervalle erklärt.

1.1 Aussagenlogik

Grundlegend für die Untersuchung und Ergebnisformulierung mathematischer Sachverhalte ist die Aussagenlogik. In Sätzen werden Aussagen formuliert, die unter den dort angegebenen Voraussetzungen gelten. Die vollständige und lückenlose Erklärung, weshalb die Aussage im Satz unter den Voraussetzungen richtig ist, bezeichnet man als Beweis. In der Aussagenlogik werden Aussagen in unterschiedlicher Weise mit Aussagen verknüpft, um neue Aussagen zu erhalten.

1.1.1 Aussagen

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, bei dem eindeutig entschieden werden kann, ob es wahr oder falsch ist. Eine dritte Möglichkeit für den Wahrheitswert einer Aussage (tertium non datur) gibt es nicht. Ob oder von wem der Wahrheitswert ermittelt werden kann, ist nicht von Bedeutung. Der Inhalt einer Aussage ist nicht Gegenstand der Aussagenlogik.

Der Sachverhalt einer Aussage wird im Allgemeinen sprachlich durch einen grammatikalisch korrekten Satz beschrieben. Eine grammatikalisch falsche Formulierung verändert die Aussage jedoch nicht, solange der Sachverhalt unverändert bleibt.

Als Abkürzung für die sprachliche Formulierung einer Aussage werden häufig große Buchstaben aus dem Alphabet beispielsweise A, B oder C verwendet. Für den Wahrheitswert w(A) einer Aussage A werden als Abkürzungen 1 oder w für richtig und 0 oder f für falsch verwendet.

Keine Aussagen sind sprachliche Formulierungen wie Fragen, Befehle oder Ausrufe.

Beispiele für Aussagen

Keine Aussagen

E: Welcher Tag ist heute? F: Geh in die Bibliothek! G: Hallo! H: x2 + y2.

1.1.2 Verknüpfung von Aussagen

Aussagen können untereinander verknüpft werden. Ein inhaltlicher Zusammenhang zwischen verknüpften Aussagen muss nicht bestehen. Die logischen Verknüpfungszeichen werden Junktoren genannt.

Der Wahrheitswert der durch Verknüpfung entstandenen neuen Aussage bestimmt sich allein durch die Wahrheitswerte der daran beteiligten elementaren Aussagen A und B. Es werden die folgenden Junktoren beschrieben.

Übersicht über Junktoren.

Die Wahrheitswerte verknüpfter Aussagen werden mit Hilfe von Wahrheitstafeln festgelegt. In einer Wahrheitstafel stehen in der ersten Zeile die beteiligten Aussagen und deren Verknüpfungen. In den weiteren Zeilen stehen die zugehörigen Wahrheitswerte. In der letzten Spalte der Tafel wird der Wahrheitswert der verknüpften Aussage aufgeführt.

Bei n = 1,2,3,. beteiligten elementaren Aussagen ergeben sich 2n Zeilen für alle verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten der Wahrheitswerte. Diese Anzahl erhält man beispielsweise induktiv. Bei einer Aussage A gibt es zwei Möglichkeiten. Bei zwei Aussagen A und B gibt es die beiden Wahrheitswerte von A für die beiden Fälle, dass B richtig oder falsch ist. Damit erhält man vier verschiedene Wahrheitswertkombinationen. Kommt eine weitere Aussage C hinzu, so erhält man die vier Varianten von A und B für die beiden Fälle, dass C richtig oder falsch ist, also insgesamt acht Möglichkeiten. Dieses induktive Prinzip setzt sich dann allgemein für die nächst höhere Anzahl der beteiligten elementaren Aussagen fort.

Negation (nicht): Die Negation von A ist falsch, wenn A wahr ist, und wahr, wenn A falsch ist. Der Wahrheitswert wird durch ¬ also genau umgekehrt.

Wahrheitstafel zu "¬".

Beispiele

1. a) A : 3 · 3 = 9, w(A) = 1 führt auf ¬A : 3 · 3 ? 9, w(¬A) = 0.
2. b) B : 3 + 3 = 9, w(B) = 0 führt auf ¬B : 3 + 3 ? 9, w(¬B) = 1.

Disjunktion (oder): Die Disjunktion von zwei Aussagen A, B ist nur dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind. Das umgangssprachliche ,,entweder A oder B", bei dem nur eine Aussage richtig sein darf, ist hier nicht gemeint.

Wahrheitstafel zu "?".

Beispiele

1. a) A ? B : (3 · 3 = 9) ? (3 + 3 = 9) ist eine wahre Aussage.
2. b) A oder ¬A ist in jedem Fall richtig, denn eine von beiden Aussagen A oder ¬A ist immer wahr.

Wahrheitstafel zu "A ? ¬A".

Eine Aussage, die in jedem Fall richtig ist, wird als Tautologie bezeichnet.

Konjunktion (und): Die Konjunktion von zwei Aussagen A, B ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. In allen anderen Fällen ist sie also falsch.

Wahrheitstafel zu "?".

Beispiel

Wahrheitstafel zu "A ? ¬A".

Diese Aussage ist in jedem Fall falsch, denn A und ¬A haben entgegengesetzte Wahrheitswerte, können also nicht beide richtig sein.

Implikation (wenn.,dann.): Für die Aussagen A und B ist die Implikation A ? B nur falsch beziehungsweise nicht zulässig, wenn A richtig und B falsch ist.

Das bedeutet, dass aus einer richtigen Aussage A nicht auf eine falsche Aussage B geschlossen werden kann, sondern nur auf eine richtige. Wenn also A gilt, dann gilt notwendig auch B. Dieses Prinzip bildet die Grundlage mathematischer Beweise. Beim direkten Beweis startet man mit einer richtigen Aussage (Voraussetzung) und erhält durch eine Folge von gültigen Implikationen am Ende notwendig eine richtige Aussage (Behauptung).

Vom Standpunkt der Aussagenlogik muss zwischen den beiden Aussagen A und B kein inhaltlicher Zusammenhang bestehen, damit A ? B richtig sein kann. Bei mathematischen Schlussfolgerungen besitzt dieser Aspekt in der Regel jedoch keine Bedeutung.

Wahrheitstafel zu " ?".