Autour de Quelques Probl?mes d''in?quations Variationnelles

Ce travail s''intéresse à quelques problèmes d''inéquations variationnelles, notamment les problèmes dits d''obstacle et celui de la torsion élastoplastique. Pour le problème d''obstacle unilatéral, on présente une nouvelle formulation mixte permettant la détermination simultanée des deux inconnues du problème: la fonction inconnue et la frontière libre. L''analyse de cette formulation mixte est réalisée par une adaptation de la théorie générale des méthodes mixtes initiées par Babuska, Brezzi et Raviart. Pour le problème d''obstacle bilatéral, on présente un algorithme de résolution basé sur une méthode de projection. Pour le problème de Signorini, nous montrons que la dérivée normale de la solution peut être calculée en fonction des données du problème, ce qui permet de déterminer cette solution en résolvant un problème de Neumann. En ce qui concerne le problème de la torsion élasto plastique, nous donnons une nouvelle approche permettant de montrer un lien étroit entre ce problème et un problème de Dirichlet associé au Laplacien infini. On met alors en évidence une nouvelle méthode de pénalisation permettant l''étude de ce problème.