Convergence Properties of Evolutionary Algorithms

Unter evolutionären Algorithmen versteht man solche iterativen stochastischen Optimierverfahren, deren Design durch Prinzipien der biologischen Evolution inspiriert ist: Eine Population von Elementen der zulässigen Menge wird durch Mutation und Rekombination stochastisch variiert, bevor die schlechteren der mit der Zielfunktion bewerteten Elemente ausselektiert werden, so dass die besseren Elemente die Grundlage für die nächste Iteration bilden. Die Hauptanwendungsgebiete von evolutionären Algorithmen sind Optimierungsprobleme, für die keine Spezialverfahren bekannt sind oder bei denen traditionelle Optimierverfahren aus den verschiedensten Gründen versagen. Diese empirisch beobachtete Robustheit und die durch das Populationskonzept bedingte inhärente Parallelität haben die evolutionären Algorithmen zur approximativen Lösung schwieriger Optimieraufgaben populär gemacht. Die theoretische Fundierung jedoch ist hinter den zahlreichen praktischen Anwendungen weit zurückgeblieben. Es ist das Anliegen dieser Arbeit, die theoretische Grundlegung der evolutionären Algorithmen weiter voranzutreiben. Zunächst werden die evolutionären Algorithmen als Markoffsche Prozesse modelliert. Während sich Fragen zur Erreichbarkeit von optimalen Lösungen und globalen Konvergenz der Verfahren sehr allgemein klären lassen, muss sich die Laufzeitanalyse auf geeignete Problemklassen beschränken. Für pseudoboolesche modulare, submodulare und unimodale Probleme werden Abschätzungen für die erwartete Absorptionszeit hergeleitet. Daran schließt sich eine kritische Würdigung der Adäquatheit der klassischen Schematheorie sowie der quantitativen Genetik zur Analyse evolutionärer Algorithmen an. Die Untersuchung der Konvergenzgeschwindigkeit bei Problemen mit reellen Entscheidungsvariablen beschränkt sich auf die Minimierung stark und beschränkt konvexer Funktionen. Schwerpunktmäßig werden solche evolutionären Algorithmen analysiert, die auch temporale Verschlechterungen zulassen. Hier erweist sich die Theorie der Ordnungsstatistiken und Supermartingale als hilfreich. Die unterschiedlichen Optimalitätsbegriffe zur Bewertung von Populationen werden sowohl im kompetitiven als auch kooperativen spieltheoretischen Kontext untersucht. Hier zeigen sich deutliche Differenzen zwischen evolutionären Algorithmen und populationsbiologischen Modellen. Der geeignete Optimalitätsbegriff führt dann für ein spezielles Problem zu einer exakten Theorie der (optimalen) Rekombination und mündet schließlich in die statistische Deutung des Zusammenspiels von Mutation, Rekombination und Selektion als Mechanismus zur Erzeugung des besten linearen Gradientenschätzers mit minimaler Varianz.