Herleitung des Riemann-Tensors, des Ricci-Tensors, des Ricci-Skalars, des Einstein-Tensors für eine kugelsymmetrische Metrik mit Schwarzschild-Symmetrie und Herleitung der Schwarzschild-Metrik aus den Einstein-Feldgleichungen

Die vorliegende Ausarbeitung führt in außergewöhnlicher Detailtiefe durch die Herleitung der grundlegenden geometrischen Größen der Allgemeinen Relativitätstheorie und demonstriert deren Anwendung in einem physikalisch bedeutsamen Spezialfall. Sie richtet sich an Studierende der Physik und Mathematik mit Vorkenntnissen und bietet einen klar strukturierten Weg von den fundamentalen Konzepten bis zur vollständigen Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen im Vakuum.
Inhaltlich werden zunächst ausgehend von einem kugelsymmetrischen Metrikansatz die Christoffel-Symbole berechnet, daran anschließend der vollständige Riemann-Krümmungstensor, der daraus abgeleitete Ricci-Tensor und Ricci-Skalar sowie schließlich der Einstein-Tensor. Auf dieser Grundlage wird die Schwarzschild-Vakuum-Metrik Schritt für Schritt hergeleitet. Der methodische Ansatz setzt bewusst auf eine Variation der Lagrange-Funktion, um die Bewegungsgleichungen und somit die Christoffel-Symbole elegant abzuleiten, anstatt lediglich Definitionen zu verwenden. Alle Zwischenergebnisse werden ausführlich ausgearbeitet und abschließend anhand der Schwarzschild-Lösung auf mathematische wie physikalische Konsistenz überprüft. Dabei zeigt sich, dass im Vakuum Ricci-Tensor und Ricci-Skalar wie theoretisch gefordert verschwinden und im klassischen Grenzfall die Lösung in das Newtonsche Gravitationspotential übergeht.
Besonders hervorzuheben ist die Vollständigkeit der Herleitungen: In diesem Umfang und Detaillierungsgrad sind vergleichbare Rechnungen in der üblichen Lehrbuchliteratur nicht zu finden. Die Ausarbeitung schließt somit eine Lücke und dient als wertvolle Referenz, die tiefe Einblicke in die Struktur und Berechnung zentraler Tensoren der Raum-Zeit liefert.