Einstiegstest 1
UEber den Autor 9
Danksagung 9
Inhaltsverzeichnis 11
Einleitung 17
Was Sie schon immer ueber lineare Algebra wissen wollten 17
Meine Leser 17
Ziel des Buches 18
Noetiges Vorwissen 19
Jenseits dieses Buches 19
Was bedeutet was 19
Nur Mut zum Stolpern 20
1 Algebraische Grundlagen der Zahlensysteme 23
Mathematik und die natuerlichen Zahlen 23
Eigenschaften der Grundrechenarten 26
Von den natuerlichen zu den ganzen Zahlen 27
Mathematiker und ihre Konstruktion der ganzen Zahlen 29
Aufgaben mit Klammern richtig loesen 30
Aus ganz wird rational - Bruchrechnung mal anders 30
Mathematiker und ihre Definition der rationalen Zahlen 32
Rationale Zahlen und Dezimalbrueche 33
Und ploetzlich wird's irrational ... und doch real! 35
Mathematiker und die Konstruktion der reellen Zahlen 36
Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 37
Das Summenzeichen 38
Notwendige und hinreichende Bedingungen 39
Grundlegende Begriffe ueber allgemeine Funktionen 40
2 Logische Grundlagen der Sprache, Mengen und Beweistechniken 45
Alles ueber Mengen 45
Alles, nichts, oder? - Spezielle Mengen 47
Von Zahlen, Mengen und Intervallen 49
Mit Mengen einfach rechnen koennen 49
Mengengleichheit 50
Durchschnitt und Vereinigung von Mengen 50
Mengendifferenz und Komplementbildung 51
Kreuzprodukt von Mengen 52
Venn-Diagramme 53
Logische Verkuepfungen kompetent anwenden koennen 55
Wahre und falsche Aussagen 56
Aussagen verknuepfen 56
Die Mathematik als Sprache erkennen 58
Terme als Worte im mathematischen Satz 59
Formeln sind die Saetze der mathematischen Sprache 59
Mit Quantoren neue Formeln bilden 61
Die Unendlichkeit - unzaehlige Welten? 63
Jenseits der Zaehlbarkeit - ueberabzaehlbare Mengen 65
Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 66
Methode 1: Direkter Beweis 67
Methode 2: Indirekter Beweis 67
Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 69
Methode 4: Beweis durch vollstaendige Induktion 70
3 Lineare Gleichungssysteme Schritt fuer Schritt analysieren 75
Gleichungen in verschiedenen Formen und Groessen 75
Lineare Gleichungen in einer Unbekannten 76
Quadratische Gleichungen in einer Unbekannten 77
Lineare Gleichungssysteme unter die Lupe genommen 78
Gleichungssyteme in Diagonalgestalt 80
Die nuetzliche Zeilenstufenform 81
Der legendaere Gauss-Algorithmus 83
4 Vektorraeume - mehr als eine Welt der Pfeile 89
Der Raum Kn 89
Praxisbeispiel: Kraefte an einem Ausleger berechnen 95
Schoene Teilmengen: Untervektorraeume 97
5 Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 105
Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 105
Punkte im Raum 105
Parametergleichung fuer Geraden 107
Zweipunktegleichung fuer Geraden 108
Parametergleichung fuer Ebenen 110
Dreipunktegleichung fuer Ebenen 111
Koordinatengleichung fuer Ebenen 112
Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 112
Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 115
Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden 115
Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen 118
Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene 121
Kollision waehrend einer Flugshow in Las Vegas? 124
6 Rechnen in Gruppen, Ringen und Koerpern 129
Grundlegende Strukturen: Gruppen 132
In Ringen mit zwei Operationen rechnen 134
Teilbarkeit und das Rechnen mit Restklassen 138
Rechnen mit Restklassen im Alltag 143
7 Keine Angst vor komplexen Zahlen 147
Definition der komplexen Zahlen 147
Komplexe Zahlen addieren und multiplizieren 149
Division komplexer Zahlen in der Praxis 149
Komplexe quadratische Gleichungen 151
Komplexe Zahlen als reelle Ebene 152
Komplexe Zahlen als Polarkoordinaten 154
Kurzer Ausblick auf die Anwendungen dieser Zahlen 158
Jenseits der komplexen Zahlen: Quaternionen und Oktonionen 158
8 UEberlebenstechniken in Vektorraeumen 161
Linearkombination und lineare Huellen 161
Lineare Unabhaengigkeit und Erzeugendensysteme 165
Vektorraeume und ihre Basen 168
Drei Existenzsaetze fuer Basen 170
Dimension eines Vektorraums 174
9 Lineare Abbildungen tiefgruendig verstehen lernen 181
Grundlagen linearer Abbildungen 181
Kerne und Bilder von linearen Abbildungen 186
Homomorphismen ueber Homomorphismen 190
Endliche Beschreibung von Homomorphismen 193
Klassifikation endlich-dimensionaler Vektorraeume 195
Der Dimensionssatz 197
Eigenschaften injektiver linearer Abbildungen 200
10 Die Welt der Matrizen 203
Darstellende Matrizen von linearen Abbildungen 203
Matrizenaddition und -skalarmultiplikation 207
Matrizenmultiplikation leicht gemacht 210
Inverse Matrizen verstehen 215
Matrizen als lineare Abbildungen auffassen 218
11 Praktische Anwendungen von Matrizen 221
Matrizen als Drehungen in der reellen Ebene 221
Matrizen als Spiegelungen in der reellen Ebene 225
UEberfuehrungsmatrizen in Produktionsprozessen 228
Elementare Zeilenumformungen als Matrizen 230
Matrizen als elementare Umformung: Vertauschen von zwei Zeilen 230
Matrizen als Elementare Umformung: Skalarmultiplikation einer Zeile 232
Matrizen als Elementare Umformung: Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen 233
12 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und lineare Abbildungen 237
Koeffizientenmatrizen und ihre Eigenschaften 237
Geometrie der Loesungsmengen 239
Unterraeume als Loesungsmengen 241
Praktisches Invertieren von Matrizen mit dem Gaussschen Algorithmus 243
Ausblick jenseits dieses Buches 247
13 Loesungen zu den Aufgaben 249
Glossar 261
Index 265
