Vermutung (Mathematik)

Quelle: Wikipedia. Seiten: 31. Kapitel: Goldbachsche Vermutung, Riemannsche Vermutung, Collatz-Problem, Poincaré-Vermutung, Ungelöste Probleme der Mathematik, Abc-Vermutung, P-NP-Problem, Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, Keplersche Vermutung, Vermutung von Schanuel, Vermutung von Mordell, Vermutung von Hodge, Vermutung von Pólya, Vermutung von Andrica, Hadwigers Vermutung, Satz von Ringel-Youngs, Borsuk-Vermutung, Serre-Vermutung, Hajós-Vermutung, Millennium-Probleme, Eulersche Vermutung, Erdos-Straus-Vermutung, Vermutungen von Paul Erdos, Lindelöfsche Vermutung, Bieberbachsche Vermutung, Ringel-Kotzig-Vermutung, Legendresche Vermutung. Auszug: Die Riemannsche Vermutung oder Riemannsche Hypothese (nach Bernhard Riemann) ist eine Annahme über die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion. Sie besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen dieser komplexwertigen Funktion den Realteil ¿ besitzen. Ob die Vermutung zutrifft oder nicht, ist eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der Mathematik. Riemannsche Zetafunktion in der komplexen Ebene, horizontal und vertikal . Eine Reihe weißer Flecken markiert die Nullstellen bei ¿. Für eine vollständige Darstellung des Vorschaubildes hier klicken. Die Riemannsche Zetafunktion ist eine komplexwertige Funktion, die für Realteile durch die folgende unendliche Summe definiert ist: Dabei ist die Variable eine komplexe Zahl. Eine der wichtigsten Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion ist ihr Zusammenhang mit den Primzahlen. Sie stellt eine Beziehung zwischen komplexer Analysis und analytischer Zahlentheorie her und bildet den Ausgangspunkt der Riemannschen Vermutung. Der folgende Ausdruck, der auf Leonhard Euler (1748) zurückgeht, stellt den Zusammenhang formelhaft dar als wobei ein unendliches Produkt über alle Primzahlen darstellt. Der Ausdruck folgt unmittelbar aus dem Satz über die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung und der Summationsformel für die geometrische Reihe. Die Funktion lässt sich über den ursprünglichen Konvergenzbereich der Eulerschen Summen- bzw. Produktformel hinaus auf die gesamte komplexe Ebene - mit Ausnahme von - eindeutig analytisch fortsetzen. Man erhält eine meromorphe Funktion: Im Punkt besitzt sie einen einfachen Pol. ,wobei die Gamma-Funktion und die Bernoulli-Zahlen sind. Anmerkung: Bei der hier verwendeten Definition der Bernoulli-Zahlen gilt: Betrag der Zetafunktion auf der kritischen Geraden Re(s) = 1/2 Funktionswerte der Zetafunktion auf der kritischen Geraden Re(s) = 1/2Im Folgenden wird die Riemannsche Zetafunktion in analytischer Fortsetzung betrachtet. In dieser Form hat die Zeta-Funktion sogenannte ¿triviale Nullstellen¿, die s