Algebraische Zahlentheorie

Quelle: Wikipedia. Seiten: 37. Kapitel: Klassische Probleme der antiken Mathematik, P-adische Zahl, Algebraische Zahl, Quadratischer Zahlkörper, Euklidischer Körper, Projektive Quadrik, Eisenstein-Zahl, Diskriminante, Iwasawa-Theorie, Rinderproblem des Archimedes, Langlands-Programm, Brauergruppe, Kummertheorie, Vermutung von Schanuel, Ordnung, Tschebotarjowscher Dichtigkeitssatz, Gaußsche Zahl, Diophantische Gleichung, Kreisteilungskörper, Klassenzahl, Ganzheitsring, Klassenkörpertheorie, Reguläre Primzahl, Gaußsche Summe, Frobeniushomomorphismus, Dirichletscher Einheitensatz, Volkenborn-Integral, Heegner-Zahlen, Abelsche Erweiterung, Artinsches Reziprozitätsgesetz, Lokaler Körper, Proendliche Gruppe, Relativklassenzahl, Globaler Körper, Adelring, Algebraischer Zahlkörper, Hilbert-Symbol, Idelgruppe. Auszug: Ein quadratischer Zahlkörper ist eine algebraische Körpererweiterung der Form mit einer rationalen Zahl , die kein Quadrat in ist. Dies sind genau die Erweiterungen vom Grad über . Quadratische Zahlkörper sind, nach selbst, die einfachsten Zahlkörper. Die Theorie der quadratischen Zahlkörper entwickelte sich aus dem Studium der binären quadratischen Formen. Euler und Fermat hatten bei ihren Untersuchungen zu diophantischen Gleichungen viele fundamentale Einzelergebnisse zusammengetragen, welche anschließend Raum für weitere Forschungen boten. In seiner Disquisitiones Arithmeticae knüpft Gauß im Abschnitt V an die Arbeiten von Fermat, Euler und Lagrange an und behandelt dort ausgiebig die Theorie der binären quadratischen Formen. Obwohl sich Gauß bei seiner Darstellung im Bereich der ganzen Zahlen bewegt, ist es aus heutiger Sicht eleganter, den Körper der rationalen Zahlen so quadratisch zu erweitern, dass eine Zerlegung der quadratischen Formen in Linearfaktoren vorgenommen werden kann. Eine solche Zerlegung sieht dann wie folgt aus: Damit wird die Theorie der quadratischen Zahlkörper zu einem Bestandteil der Theorie der binären quadratischen Formen. Es lässt sich auf verschiedene Arten Körper der rationalen Zahlen zu einem umfassenden Körper erweitern. So untersucht man etwa den Ring der ganzalgebraischen Zahlen; dies sind jene komplexen Zahlen, die Nullstelle eines nichttrivial normierten Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sind. Zudem ist es sinnvoll, nur so viele der Zahlen hinzuzunehmen, wie für ein gegebenes Problem benötigt werden. Sei der kleinste Teilkörper des Körpers der algebraischen Zahlen und seien endlich viele algebraische Zahlen, die in enthalten sind. Dann schreibt man und sagt der Körper ist ein Erweiterungskörper oder eine Körpererweiterung von , der durch Adjunktion der Elemente aus entsteht. Insbesondere ist eine abelsche Gruppe. Weil zudem die Multiplikation von Elementen aus mit den Skalaren aus erklärt ist über erhält man aus den Körper