Algebraische Geometrie

Quelle: Wikipedia. Seiten: 55. Kapitel: Divisor, Elliptische Kurve, Garbe, Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, Gromov-Witten-Invariante, Elliptische Funktion, Modularitätssatz, Stabile Abbildung, Thetafunktion, Vektorbündel, Lie-Ableitung, Hyperelliptische Kurve, Singularität, Duale Zahlen, Pseudoholomorphe Kurve, Verschwindungssatz von Kodaira, Abwickelbare Fläche, Abelsche Varietät, Satz von Riemann-Roch, Lokaler Ring, Algebraische Varietät, Noetherscher Raum, Vermutung von Hodge, Träger, Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit, Formel von Riemann-Hurwitz, Graßmann-Plücker-Relation, Krulldimension, Schnittzahl, Normalität, Grothendieck-Topologie, Hilbertscher Nullstellensatz, Irreduzibler topologischer Raum, Spektrum eines Ringes, Basiswechsel, Schema, Endlichkeitsbedingungen der algebraischen Geometrie, Étale Fundamentalgruppe, Grad, Frobeniushomomorphismus, Kohärente Garbe, Zariski-Topologie, Satz von Mordell-Weil, Stabilität, Algebraische Fläche, Algebraische Gruppe, Generischer Punkt, Restklassenkörper, Abelsches Integral, Nephroide, Satz von Bézout, Hilberts Satz 90, Isogenie, Hyperfläche, Tautologisches Bündel, Anabelsche Geometrie, Funktionenkörper, Faltings-Höhe, Enzensberger-Stern, Modulgarbe, Kummersche Flächen. Auszug: In der Mathematik ist eine elliptische Kurve eine singularitätenfreie algebraische Kurve der Ordnung 3 in der projektiven Ebene. Beispiel einer elliptischen Kurve über dem Körper der reellen ZahlenElliptische Kurven über dem Körper der reellen Zahlen können als die Menge aller Punkte angesehen werden, die die Gleichung erfüllen. Die (reellen) Koeffizienten und müssen dabei die Bedingung erfüllen (um Singularitäten auszuschließen). Im Allgemeinen wird man sich bei der Betrachtung der angegebenen Gleichung aber nicht auf den Fall reeller Koeffizienten und Lösungen beschränken, sondern vielmehr den Fall betrachten, dass Koeffizienten und Lösungen aus einem beliebigen Körper stammen. Interessant sind hierbei insbesondere die Körper der komplexen und der rationalen Zahlen sowie endliche Körper und die Frage, welche Beziehungen zwischen elliptischen Kurven bestehen, bei denen die gleiche Formel über verschiedene Körper interpretiert wird. Elliptische Kurven sind für die Mathematik von Bedeutung, da mit ihrer Hilfe Verbindungen zwischen unterschiedlichen Bereichen der Mathematik geschaffen werden können. Eine besondere Rolle spielen sie bei zahlreichen zahlentheoretischen Problemen, so etwa beim Beweis des großen fermatschen Satzes durch Andrew Wiles im Jahre 1994. Praktische Anwendung finden elliptische Kurven in einigen modernen Verschlüsselungsverfahren (Elliptische-Kurven-Kryptosystem), da mit ihrer Hilfe sogenannte Einwegfunktionen definiert werden können. Weitere Anwendungen finden sich bei der Faktorisierung natürlicher Zahlen. Der Name der elliptischen Kurven leitet sich historisch davon ab, dass sie elliptische Integrale parametrisieren. Sie sind von Ellipsen zu unterscheiden. Wir definieren elliptische Kurven über dem Körper der reellen Zahlen als die Menge aller Punkte , die für reelles und die Gleichung lösen. Um die Entstehung von Singularitäten (d.h. von Stellen, an denen sich die Kurve selbst schneidet bzw. scharfe Spitzen oder isolierte Punkte ausbildet) zu