Höhere Mathematik 2

9. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- §1. Einführung.- 1.1 Grundbegriffe.- 1.2 Anfangswertprobleme.- 1.3 Geometrische Bedeutung der DGL 1. Ordnung.- §2. Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.1 Exakte Differentialgleichungen.- 2.2 Trennbare Differentialgleichungen.- 2.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.4 Der integrierende Faktor.- 2.5 Integration durch Substitution.- 2.6 Integration durch Differentiation.- Aufgaben.- §3. Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung.- 3.1 Lineare DGLn 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 3.2 Komplexifizierung und die komplexe Exponentialfunktion.- 3.3 Ein Fundamentalsystem für die homogene lineare DGL.- 3.4 Die Lösungen der inhomogenen DGL.- 3.5 Lineare mechanische Schwingungen.- 3.6 Der RCL-Schwingkreis.- 3.7 Die DGL vom Typ $$y'' = f(x,y')$$.- 3.8 Die DGL vom Typ $$y'' = f(y,y')$$.- Aufgaben.- §4. Existenzsätze.- 4.1 Der Existenz-Satz von Peano.- 4.2 Die L-Bedingung.- 4.3 Approximation durch Picard-Iteration.- 4.4 Die stetige Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten.- 4.5 Die stetige Abhängigkeit der Lösung von der rechten Seite.- Aufgaben.- §5. Numerische Lösung des Anfangswertproblems 1. Ordnung.- 5.1 Einschrittverfahren.- 5.2 Fehlerabschätzungen.- 5.3 Schrittweitenkontrolle.- Aufgaben.- §6. Die Laplace-Transformation.- 6.1 Grundlagen.- 6.2 Rechenregeln.- 6.3 Anwendungen.- 6.4 Die Dirac-Deltafunktion.- 6.5 L-Tabelle. Allgemeine Regeln und wichtige Korrespondenzen.- Aufgaben.- §7. Lösung mittels Potenzreihenansatz.- 7.1 Der Potenzreihenansatz.- 7.2 Der modifizierte Ansatz.- 7.3 Die Bessel-DGL.- 7.4 Die Legendre-DGL.- Aufgaben.- §8. DGL-Systeme und DGLn höherer Ordnung.- 8.1 Grundsätzliches, Beispiele.- 8.2 Der EE-Satz.- 8.3 Lineare DGL-Systeme, die Grundprinzipien.- 8.4 Lineare DGLn n-ter Ordnung.- Aufgaben.- §9. Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten.- 9.1 Die Schur-Normalform und Hauptvektoren.- 9.2 Die Matrix-Exponentialfunktion.- 9.3 Die allgemeine Lösung, Fundamentalsysteme.- 9.4 Lösungsbasis mit Eigen- und Hauptvektoren.- 9.5 Der Fall n = 2-9.6 Das inhomogene lineare DGL-System.- 9.7 Die Eliminationsmethode.- 9.8 Die homogene lineare DG1 n-ter Ordnung.- 9.9 Die inhomogene lineare DGL n-ter Ordnung.- Aufgaben.- §10. Stabilität, periodische Lösungen.- 10.1 Autonome Systeme.- 10.2 Ebene autonome Systeme, die Phasen-DGL.- 10.3 Stabilität.- 10.4 Ausblick: Periodische Lösungen ebener autonomer Systeme.- Aufgaben.- §11. Rand- und Eigenwertprobleme.- 11.1 Einführung.- 11.2 Das lineare RWP für DGL-Systeme.- 11.3 Das lineare RWP für DGLn n-ter Ordnung.- 11.4 Eigenwertprobleme (an Beispielen).- 11.5 Das Sturm-Liouville-EWP.- 11.6 Singuläre RWP und EWP.- Aufgaben.- 10. Funktionentheorie.- §1. Punktmengen in der komplexen Ebene.- 1.1 Die komplexe Ebene.- 1.2 Gebiete.- 1.3 Randpunkte, Häufungspunkte.- 1.4 Zahlenfolgen.- 1.5 Die Zahlenkugel; der Punkt ?.- Aufgaben.- §2. Einige elementare Funktionen.- 2.1 Funktionen, Abbildungen.- 2.2 Grenzwerte, Stetigkeit.- 2.3 Die komplexe Exponentialfunktion.- 2.4 Der komplexe Logarithmus.- 2.5 Allgemeine Potenzen.- 2.6 Die trigonometrischen Funktionen.- 2.7 Die hyperbolischen Funktionen.- 2.8 Die Quadratwurzel $$w=\sqrt z$$.- 2.9 n-te Wurzeln.- Aufgaben.- §3. Gebrochen-lineare Funktionen.- 3.1 Die gebrochen-linearen Funktionen oder Möbius-Transformationen.- 3.2 Kreis-, Winkel- und Orientierungstreue.- 3.3 Die 6-Punkte-Formel.- 3.4 Symmetrische Punkte.- Aufgaben.- §4. Potenzreihen.- 4.1 Unendliche Reihen.- 4.2 Potenzreihen.- 4.3 Gleichmäßige Konvergenz.- Aufgaben.- §5. Differentiation, analytische Funktionen.- 5.1 Definition und Rechenregeln.- 5.2 Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.- 5.3 Die geometrische Deutung der Ableitung.- 5.4 Die physikalische Deutung der Ableitung: Das komplexe Potential.- Aufgaben.- §6. Integration.- 6.1 Grundlagen.- 6.2 Rechenregeln.- 6.3 Der Cauchy-Integralsatz.- 6.4 Die Cauchy-Integralformel.- 6.5 Vorgabe von Funktionswerten.- Aufgaben.- §7. Anwendungen der Cauchy-Integralformel.- 7.1 Vorbereitung: Der Trick mit der geometrischen Reihe.- 7.2 Die Taylor-Reihe einer analytischen Funktion.- 7.3 Der Fundamentalsatz der Algebra.- 7.4 Die Mittelwerteigenschaft analytischer Funktionen.- 7.5 Das Maximumprinzip.- Aufgaben.- §8. Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem.- 8.1 Harmonische Funktionen.- 8.2 Die praktische Bestimmung eines komplexen Potentials zu vorgegebener Potentialfunktion.- 8.3 Die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen.- 8.4 Das Maximumprinzip für harmonische Funktionen.- 8.5 Das Dirichlet-Problem.- 8.6 Lösung des Dirichlet-Problems in beliebigen Gebieten.- Aufgaben.- §9. Laurent-Reihen und Singularitäten.- 9.1 Die Laurent-Entwicklung.- 9.2 Methoden der Laurent-Entwicklung.- 9.3 Isolierte Singularitäten.- 9.4 Hebbare Singularitäten.- 9.5 Polstellen.- 9.6 Wesentliche Singularitäten.- 9.7 Anwendung auf Potentialströmungen.- 9.8 Die z-Transformation.- Aufgaben.- §10. Residuentheorie.- 10.1 Der Residuensatz.- 10.2 Methoden der Residuenberechnung.- 10.3 Beispiele zum Residuensatz.- 10.4 Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz.- 10.5 Das Null- und Polstellen zählende Integral.- Aufgaben.- 11. Fourier-Analysis.- §1. Trigonometrische Polynome und Reihen.- 1.1 Periodische Funktionen.- 1.2 Trigonometrische Polynome.- 1.3 Trigonometrische Reihen.- 1.4 Das Fundamentalbeispiel.- 1.5 Aus dem Fundamentalbeispiel abgeleitete Reihen.- Aufgaben.- §2. Fourier-Reihen.- 2.1 Die Fourier-Reihe einer Funktion.- 2.2 Rechenregeln.- 2.3 Die Bessel-Ungleichung.- 2.4 Methoden der Fourier-Entwicklung.- Aufgaben.- §3. Konvergenz der Fourier-Reihe.- 3.1 Vollständigkeit und Eindeutigkeit.- 3.2 Der Darstellungssatz.- 3.3 Konvergenz im quadratischen Mittel.- 3.4 F-Tabelle. Elementare Fourier-Reihen.- Aufgaben.- §4. Anwendungen (an Beispielen).- 4.1 Periodische Lösungen linearer DGLn mit konstanten Koeffizienten und periodischer rechter Seite.- 4.2 Lösung partieller DGLn durch Trennung der Variablen.- 4.3 Näherungsformeln, Approximation.- 4.4 Harmonische Balance.- 4.5 Auflösung trigonometrischer Gleichungen.- Aufgaben.- §5. Diskrete Fourier-Analysis.- 5.1 Endliche diskrete Fourier-Transformation (DFT).- 5.2 Schnelle Fourier-Transformation (FFT).- 5.3 Anwendungen.- Aufgaben.- §6. Die Fourier-Transformation.- 6.1 Grundlagen.- 6.2 Rechenregeln.- 6.3 Die Konvergenz und Eindeutigkeit der Fourier-Transformation.- 6.4 Anwendungen.- Aufgaben.- 12. Partielle Differentialgleichungen.- §1. Einführung.- 1.1 Grundbegriffe.- 1.2 Beispiele.- 1.3 Die lineare PDG 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 1.4 Die eindimensionale Wellengleichung.- 1.5 Nebenbedingungen.- Aufgaben.- §2. Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.1 Ergänzungen zu autonomen DGL-Systemen: Erste Integrale.- 2.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.3 Quasilineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.- Aufgaben.- §3. Lineare und quasilineare PDGn 2. Ordnung.- 3.1 Klassifikation.- 3.2 Die Reduktion auf Normalform.- Aufgaben.- §4. Trennung der Variablen.- 4.1 Spezielle Ansätze.- 4.2 Die additive Trennung.- 4.3 Die Trennung der Variablen.- 4.4 Wärmeleitung.- 4.5 Die schwingende Saite.- 4.6 Das Dirichlet-Problem.- 4.7 Die schwingende Kreismembran.- 4.8 Fourier-Integral statt Fourier-Reihe.- Aufgaben.- §5 Lösungen mit Laplace- und Fourier-Transformation.- §6. Lösungen mit Green-Funktion.- 6.1 Die Delta-Funktion.- 6.2 Die Deutung von Integralkernen mit ?.- 6.3 Die Lösungsmethode mit Green-Funktionen.- 6.4 Wärmeleitung im beidseitig unbegrenzten Stab.- 6.5 Die Wellengleichung.- 6.6 Die Poisson-Gleichung in der Ebene.- 6.7 Ausblick.- 13. Variationsrechnung.- §1. Funktionale und die Gâteaux-Variation.- 1.1 Funktionale.- 1.2 Die Gâteaux-Variation.- §2. Die Euler-Differentialgleichung für $$I(y)=\smallint\!_a^b F(x,y,y')dx$$.- 2.1 Vorbereitung.- 2.2 Die Euler-Lagrange-Differentialgleichung.- 2.3 Sonderfalle.- Aufgaben.- §3. Natürliche Randbedingungen, Transversalitätsbedingung.- 1.1 Die natürliche Randbedingung.- 3.2 Die Transversalitätsbedingung.- 3.3 Modifizierte Randbedingungen.- Aufgaben.- §4. Variationsaufgaben mit allgemeineren Funktionalen.- 4.1 Der Integrand enthält höhere Ableitungen.- 4.2 Extremalkurven im $$\mathbb{R}^n$$.- Aufgaben.- §5. Variation mit Nebenbedingungen.- 5.1 Allgemeines.- 5.2 Isoperimetrische Probleme.- 5.3 Nebenbedingungen in Gleichungsform.- Aufgaben.- §6. Variationsrechnung mit Funktionen in mehreren Variablen.- 6.1 In der Ebene.- 6.2 Im Raum.- Aufgaben.- §7. Das Wechselspiel Variationsaufgaben - Differentialgleichungen.- 7.1 Allgemeines.- 7.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 7.3 Partielle Differentialgleichungen.- Aufgaben.- §8. Direkte Methoden.- 8.1 Die Ritz-Methode.- 8.2 Die Galerkin-Methode.- Aufgaben.- Namen- und Sachverzeichnis.