1. Zahlen und Vektoren.- §1. Mengen und Abbildungen.- 1.1 Mengen -.- 1.2 Mengenoperationen -.- 1.3 Abbildungen.- §2. Die reellen Zahlen.- 2.1 Bezeichnungen -.- 2.2 Ungleichungen -.- 2.3 Intervalle -.- 2.4 Schranken -.- 2.5 Der Betrag -.- 2.6 Die vollständige Induktion -.- 2.7 Binomialkoeffizienten und die binomische Formel - Aufgaben.- §3. Die Ebene.- 3.1 Kartesische Koordinatensysteme -.- 3.2 Winkel -.- 3.3 Sinus, Cosinus -.- 3.4 Drehungen.- §4. Vektoren.- 4.1 Kartesische Koordinatensysteme im Raum -.- 4.2 Vektoren -.- 4.3 Die Addition von Vektoren -.- 4.4 Die skalaren Vielfachen eines Vektors -.- 4.5 Der Betrag -.- 4.6 Vektoren im Koordinatensystem.- §5. Produkte.- 5.1 Der Winkel zwischen zwei Vektoren -.- 5.2 Das Skalarprodukt -.- 5.3 Das Vektorprodukt -.- 5.4 Das Spatprodukt - Aufgaben.- §6. Geraden und Ebenen.- 6.1 Parameterdarstellungen einer Geraden -.- 6.2 Die Koordinatengleichungen einer Geraden -.- 6.3 Die Momentengleichung der Geraden -.- 6.4 Abstand Punkt-Gerade -.- 6.5 Abstand Gerade-Gerade -.- 6.6 Parameterdarstellungen einer Ebene -.- 6.7 Parameterfreie Darstellungen einer Ebene -.- 6.8 Die Gerade als Schnitt zweier Ebenen -.- 6.9 Die Winkel zwischen zwei Ebenen und zwischen einer Ebene und einer Geraden - Aufgaben.- §7. Gebundene Vektoren.- 7.1 Gebundene Vektoren -.- 7.2 Ein System gebundener Vektoren -.- 7.3 Die Reduktion eines Systems gebundener Vektoren - Aufgaben.- §8. Die komplexen Zahlen.- 8.1 Die Menge der komplexen Zahlen -.- 8.2 Die vier Grundrechenarten in ? -.- 8.3 Die Konjugation und der Betrag komplexer Zahlen -.- 8.4 Anwendungen.- 2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit.- §1. Funktionen (Grundbegriffe).- 1.1 Funktionen -.- 1.2 Monotonie -.- 1.3 Das Rechnen mit Funktionen.- §2. Polynome und rationale Funktionen.- 2.1 Polynome -.- 2.2 Polynomnullstellen - Faktorisierung -.- 2.3 Polynominterpolation -.- 2.4 Der Graph -.- 2.5 Rationale Funktionen, Polynomdivision -.- 2.6 Der Definitionsbereich D -.- 2.7 Ergänzung: Polynome über ? - Aufgaben.- §3. Die Kreisfunktionen.- 3.1 Definition und einfache Eigenschaften -.- 3.2 Die Tangens- und Cotangensfunktion -.- 3.3 Die Polardarstellung komplexer Zahlen -.- 3.4 Anwendungen der De Moivre-Formeln -.- 3.5 Harmonische Schwingungen - Aufgaben.- §4. Zahlenfolgen und Grenzwerte.- 4.1 Folgen -.- 4.2 Definition des Grenzwerts; konvergente Zahlenfolgen.- §5. Rechenregeln für Grenzwerte und Konvergenzkriterien.- 5.1 Rechenregeln -.- 5.2 Grenzwertbestimmung durch Abschätzung -.- 5.3 Monotone Folgen -.- 5.4 Die Exponentialfunktion -.- 5.5 Für Fortgeschrittene: Das Cauchy-Konvergenzkriterium - Aufgaben.- §6. Funktionengrenzwerte, Stetigkeit.- 6.1 Definitionen -.- 6.2 Die 6 elementaren Methoden der Grenzwertbestimmung -.- 6.3 Asymptoten -.- 6.4 Stetigkeit - Aufgaben.- 3. Differentiation.- §1. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion.- 1.1 Die Definition der Ableitung -.- 1.2 Die geometrische Deutung der Ableitung: Tangentenanstieg -.- 1.3 Die analytische Deutung der Ableitung: Lineare Approximation -.- 1.4 Die physikalische Deutung der Ableitung: Geschwindigkeit -.- 1.5 Stetigkeit ist notwendig für Differenzierbarkeit -.- 1.6 Differentiationsregeln -.- 1.7 Die Differentiation der Polynome und der rationalen Funktionen -.- 1.8 Die Ableitung der Kreisfunktionen -.- 1.9 Die Kettenregel -.- 1.10 Höhere Ableitungen - Aufgaben.- §2. Anwendungen der Differentiation.- 2.1 Maxima und Minima einer Funktion -.- 2.2 Der Mittelwertsatz -.- 2.3 Wendepunkte -.- 2.4 Die Regeln von De L'Hospital -.- 2.5 Kurvendiskussion -.- 2.6 Nullstellen und Fixpunkte -.- 2.7 Kubische Splines - Aufgaben.- §3. Umkehrfunktionen.- 3.1 Grundlagen -.- 3.2 n-te Wurzel, rationale Exponenten -.- 3.3 Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens - Aufgaben.- §4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion.- 4.1 Die e-Funktion -.- 4.2 Die Kurve y = ex -.- 4.3 Exponentiell wachsende bzw. fallende Prozesse -.- 4.4 Der natürliche Logarithmus -.- 4.5 Allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen -.- 4.6 Die Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh - Aufgaben.- 4. Integration.- §1. Das bestimmte Integral.- 1.1 Die Definition des bestimmten Integrals -.- 1.2 Die geometrische Deutung -.- 1.3 Elementare Integrationsregeln und der Mittelwertsatz -.- 1.4 Differentiation und Integration - Aufgaben.- §2. Integrationsregeln.- 2.1 Linearität -.- 2.2 Partielle Integration -.- 2.3 Die Substitutionsmethode -.- 2.4 Symmetrien beachten -.- 2.5 Ausblicke - Aufgaben.- §3. Die Integration der rationalen Funktionen.- 3.1 Die Partialbruchzerlegung -.- 3.2 Die Integration -.- 3.3 Die Integration von R(ex) -.- 3.4 Die Integration von 1, ae-bc ? 0 -.- 3.5 Die Integration von R(sin x, cos x) -.- 3.6 Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen - Aufgaben.- §4. Uneigentliche Integrale.- 4.1 Die Definition der uneigentlichen Integrale -.- 4.2 Ein Konvergenz-Test -.- 4.3 Ein an beiden Grenzen uneigentliches Integral -.- 4.4 Ausnahmestellen im Innern des Integrationsintervalls - Aufgaben.- §5. Kurven, Längen- und Flächenmessung.- 5.1 Die Parameterdarstellung -.- 5.2 Tangente und Normale -.- 5.3 Kurvenlänge -.- 5.4 Krümmung und Krümmungskreis -.- 5.5 Die Polardarstellung einer ebenen Kurve -.- 5.6 Flächeninhalte - Aufgaben.- §6. Weitere Anwendungen des Integrals.- 6.1 Abkürzende Redeweisen -.- 6.2 Das Volumen eines Rotationskörpers -.- 6.3 Die Mantelfläche - Aufgaben.- §7. Numerische Integration.- Aufgaben.- 5. Potenzreihen.- §1. Unendliche Reihen.- 1.1 Grundbegriffe -.- 1.2 Absolute Konvergenz - Aufgaben.- §2. Reihen von Funktionen.- 2.1 Gleichmäßige Konvergenz -.- 2.2 Gleichmäßig konvergente Funktionenreihen - Aufgaben.- §3. Potenzreihen.- 3.1 Der Konvergenzradius -.- 3.2 Berechnung des Konvergenzradius -.- 3.3 Die Differentiation und Integration von Potenzreihen -.- 3.4 Die Potenzreihendarstellung einiger Funktionen -.- 3.5 Die Binomialreihe -.- 3.6 Potenzreihen mit dem Zentrum a ? 0 -.- 3.7 Koeffizientenvergleich - Aufgaben.- §4. Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen.- 4.1 Die Taylor-Formel -.- 4.2 Die Taylor-Reihe -.- 4.3 Methoden der Reihenentwicklung - Aufgaben.- §5. Anwendungen (an Beispielen).- 5.1 Grenzwertberechnungen -.- 5.2 Näherungsformeln (Approximation) -.- 5.3 Die Reihendarstellung und Berechnung einer Integralfunktion mit nicht elementar integrierbarem Integranden -.- 5.4 Potenzreihenansatz zur Lösung einfacher Differentialgleichungen - Aufgaben.- 6. Lineare Algebra.- §1. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen.- 1.1 Was ist eine Matrix? -.- 1.2 Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Zahlenfaktor -.- 1.3 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen -.- 1.4 Das Gaußsche Lösungsverfahren - Aufgaben.- §2. Die Matrizenmultiplikation.- 2.1 "Zeile mal Spalte"-.- 2.2 Die Multiplikation zweier Matrizen -.- 2.3 Rechenregeln -.- 2.4 Die Transponierte einer Matrix -.- 2.5 Invertierbare Matrizen -.- 2.6 Diagonal- und Dreiecksmatrizen - Aufgaben.- §3. Vektorräume.- 3.1 Der "abstrakte"Vektorraum -.- 3.2 Unterräume, Linearkombinationen, lineare Hülle -.- 3.3 Basis und Dimension - Aufgaben.- §4. Elementarmatrizen und elementare Umformungen.- 4.1 Zeilenraum und Spaltenraum -.- 4.2 Elementarmatrizen -.- 4.3 Der Rang und die P-Q-Normalform -.- 4.4 Rechenverfahren - Aufgaben.- §5. Determinanten.- 5.1 Einführung -.- 5.2 Definition der Determinante einer n × n-Matrix -.- 5.3 Rechenregeln für Determinanten -.- 5.4 Die Entwicklung von det A nach einer beliebigen Zeile oder Spalte -.- 5.5 Beispiele -.- 5.6 Anwendungen - Aufgaben.- §6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte.- 6.1 Lineare Abbildungen -.- 6.2 V = W = 2n -.- 6.3 Längen und Winkel im 3n; Orthogonalität -.- 6.4 Speziell: Spiegelungen und Drehungen -.- 6.5 Das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren -.- 6.6 Basiswechsel, Koordinatentransformation -.- 6.7 Eigenwerte, Eigenvektoren -.- 6.8 Die orthogonale Gruppe - Aufgaben.- §7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen.- 7.1 Quadratische Formen -.- 7.2 Die Hauptachsentransformation -.- 7.3 Quadriken -.- 7.4 Die nichtorthogonale Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix -.- 7.5 Positiv definite Matrizen - Aufgaben.- 7. Funktionen in mehreren Variablen: Differentiation.- §1. Kurven im 4n.- 1.1 Parameterdarstellungen -.- 1.2 Das begleitende Dreibein, Krümmung, Torsion -.- 1.3 Ergänzung: Der natürliche Parameter und die Frenetschen Formeln - Aufgaben.- §2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher.- 2.1 Grundlagen -.- 2.2 Grenzwerte und Stetigkeit -.- 2.3 Partielle Ableitungen, der Gradient -.- 2.4 Die totale Ableitung und lineare Approximation -.- 2.5 Einfache Anwendungen -.- 2.6 Die Richtungsableitung, der Anstieg und die Kettenregel - Aufgaben.- §3. Anwendungen der Differentiation.- 3.1 Die Bedeutung des Gradienten -.- 3.2 Approximation höherer Ordnung; die Taylor-Formel -.- 3.3 Implizite Funktionen -.- 3.4 Lokale Minima und Maxima -.- 3.5 Ausgleichsrechnung -.- 3.6 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen - Aufgaben.- §4. Vektorwertige Funktionen.- 4.1 Die Differentiation -.- 4.2 Die Kettenregel -.- 4.3 Räumliche Skalaren-und Vektorfelder -.- 4.4 Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace-Operator - Aufgaben.- 8. Funktionen in mehreren Variablen: Integration.- §1. Parameterintegrale.- 1.1 Parameterintegrale - Aufgaben.- §2. Kurvenintegrale.- 2.1 Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion -.- 2.2 Anwendungen -.- 2.3 Die Integration eines Vektorfeldes längs einer Kurve -.- 2.4 Anwendungen und Beispiele -.- 2.5 Das Potential eines Gradientenfeldes -.- 2.6 Die praktische Bestimmung eines Potentials (n = 3) - Aufgaben.- §3. Die Integration über ebene Bereiche.- 3.1 Der Flächeninhalt -.- 3.2 Definition und einfache Eigenschaften des Doppelintegrals -.- 3.3 Die Berechnung des Doppelintegrals in kartesischen Koordinaten -.- 3.4 Weitere Anwendungen und Beispiele -.- 3.5 Der Satz von Green - Aufgaben.- §4. Die Integration über Flächen im Raum.- 4.1 Parameterdarstellungen -.- 4.2 Beispiele -.- 4.3 Der Flächeninhalt -.- 4.4 Das Oberflächenintegral einer skalaren Funktion -.- 4.5 Die Transformationsformel für Gebietsintegrale -.- 4.6 Das Oberflächenintegral eines Vektorfeldes -.- 4.7 Der Satz von Stokes - Aufgaben.- §5. Die Integration über dreidimensionale Bereiche.- 5.1 Definition und einfache Eigenschaften des Dreifachintegrals -.- 5.2 Einfache Anwendungsbeispiele -.- 5.3 Die Transformationsformel für Volumenintegrale -.- 5.4 Der Divergenzsatz -.- 5.5 Einige Anwendungen der Integralsätze -.- 5.6 Orthogonale krummlinige Koordinaten - Aufgaben.- Anhang: Pascal-Programme.- Namen- und Sachverzeichnis.
