Lineare Algebra I

1 Lineare Gleichungssysteme §1 Zwei lineare Gleichungen in zwei Unbekannten §2 Grundbegriffe für lineare Gleichungssysteme §3 Elementare Umformungen linearer Gleichungssysteme und elementare Zeilenumformungen von Matrizen §4 Rechenverfahren zur Lösung homogener und inhomogener Gleichungssysteme §5 Zwei Problemstellungen 2 Vektorräume §1 Der Begriff eines Körpers §2 Definition eines Vektorraumes; Begriff des Teilraumes eines Vektorraumes §3 Linearkombinationen von Vektoren; Begriff der Basis eines Vektorraumes §4 Über die Existenz von Basen in beliebigen Vektorräumen; lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit §5 Der Rang eines endlichen Systems von Vektoren; Rangbestimmung mittels elementarer Umformungen §6 Dimension von Vektorräumen; der Basisergänzungssatz §7 Elementare Umformungen und der Rang von Matrizen (Lösung von Problem 1 aus Kapitel 1) §8 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme (Lösung von Problem 2 aus Kapitel 1) 3 Lineare Abbildungen §1 Der Begriff einer linearen Abbildung; Homomorphismus und Isomorphismus von Vektorräumen §2 Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen §3 Vektorräume linearer Abbildungen §4 Lineare Abbildungen und Matrizen §5 Isomorphismen von Vektorräumen und Basiswechsel §6 Die lineare Gruppe GL(V) eines Vektorraumes 4 Determinanten §1 Der Begriff einer Determinantenfunktion §2 Entwicklung nach der letzten Zeile und der Existenzbeweis für Determinantenfunktionen §3 Grundeigenschaften der Determinante §4 Zur Berechnung von Determinanten (Beispiele) §5 Die Darstellung der Determinante einer Matrix nach Leibniz §6 Alternierende Multilinearformen §7 Determinante und Spur von Endomorphismen endlichdimensionaler Vektorräume §8 Anhang: Determinanten über kommutativen Ringen 5 Eigenvektoren und das charakteristische Polynom eines Endomorphismus §1 Polynome §2 Der Begriff des Eigenwertes bei Endomorphismen von Vektorräumen §3 Diagonalisierbare Endomorphismen §4 Der Satz von Cayley-Hamilton und der Begriff des Minimalpolynoms §5 Trigonalisierbare Endomorphismen