des ersten Bandes.- Erste Vorlesung.- Alter, Begründung und Abgrenzung der Arithmetik. - Geschichte der Arithmetik. Die orientalischen Völker. Die Arithmetik bei den Griechen. - Euklid. Die Elemente. Vollkommene Zahlen. Anzahl aller Primzahlen. Jede arithmetische Reihe enthält unendlich viele Primzahlen. - Diophant. Theon. Hypatia. - Die Araber. Die arabischen Ziffern.- Zweite Vorlesung.- Niedergang der Wissenschaft8n im Mittelalter. - Die Arithmetik im siebzehnten und achtzehnten Jahrhundert. - Fermat und einige von seinen Sätzen. - Beweis des sog. kleinen Fermatschen Satzes. - Die Polygonalzahlen. - Der sog. grofse Fermatsche Satz: Die Gleichung xn+yn = zn ist nur für n = 2 in ganzen Zahlen lösbar. - Euler; sein Leben und einige seiner arithmetischen Arbeiten. - Die vollkommenen und die befreundeten Zahlen. - Diophantische Probleme. - Eulers Lösung des Fermatschen Problemes in den Fällen n = 2 und n = 4. - Die Pellsche Gleichung. - Das Reciprocitätsgesetz. - Legendre und sein Essai sur la théorie des nombres.- Dritte Vorlesung.- Die beiden Hauptrichtungen der Arithmetik im neunzehnten Jahrhundert. - Gauss und der systematische Aufbau der Arithmetik in den disquisitiones arithmeticae. - Inhaltsübersicht. - Das Problem der Kreisteilung. - Dirichlet, Jacobi, Kummer. - Theorie der algebraischen Zahlen; arithmetische Behandlung dieses Problemes. - Dirichlet und die Anwendung der Analysis auf Probleme der Zahlentheorie. - Beispiele: Die Binomiásl- und Polynomialkoefficienten sind ganze Zahlen. - Einige Untersuchungen Eulers aus diesem Gebiete.- Erster Teil. Teilbarkeit und Kongruenz im Gebiete der Zahlen.- Vierte Vorlesung.- Systematische Arithmetik. - Der Zahlbegriff. - Die Ordnungszahlen. - Die Kardinalzahlen. - Der Begriff der Anzahl. - Addition. - Vertauschbarkeit der Summanden. - Die Multiplikation. - Vertauschbarkeit der Faktoren eines Produktes.- Fünfte Vorlesung.- Die Dekomposition der Zahlen. - Bestimmung der Teiler einer Zahl. - Die Anzahl der auszuführenden Operationen ist endlich. - Aufstellung aller Teiler einer Zahl. - Die Primzahlen. - Elementare Eigenschaften der Primzahlen. - Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren. - Beweis der Eindeutigkeit jener Zerlegung.- Sechste Vorlesung.- Darstellung der ganzen Zahlen durch ihre Exponentensysteme. - Die Teilbarkeit einer Zahl durch eine andere. - Die gemeinsamen Teiler zweier Zahlen und ihr gröfster gemeinsamer Teiler. - Teiler-fremde Zahlen. - Die gemeinsamen Multipla zweier Zahlen und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches. - Ausdehnung auf beliebig viele Zahlen. - Hauptsätze über die Teilbarkeit der ganzen Zahlen. - Die Summe der nten Potenzen aller Divisoren einer Zahl.- Siebente Vorlesung.- Die Kongruenz der Zahlen. - Kongruenz und Äquivalenz. - Die Grundregeln für das Rechnen mit Kongruenzen.. - Kongruenzen für einen Primzahlmodul. - Anwendungen.- Achte Vorlesung.- Die höheren Kongruenzen. - Aufsuchung ihrer Wurzeln. - Hauptsätze über die höheren Kongruenzen. - Anzahl der Wurzeln einer Kongruenz. - Kongruenzen für einen Primzahlmodul. - Anwendungen: Der Wilsonsche und der Fermatscho Satz.- Neunte Vorlesung.- Lineare Kongruenzen. Bedingung für ihre Auflösbarkeit. Anzahl ihrer Wurzeln. - Auflösung der linearen Kongruenzen; erste Me- thode: Reduktion auf lineare Kongruenzen für einen Primzahlmodul. - Die Einheiten modulo p. - Beweis des Wilsonschen Satzes. - Zweite Auflösungsmethode mit Hülfe der Theorie der Kettenbrüche.- Zehnte Vorlesung.- Anwendung der Theorie der linearen Kongruenzen. - Die Einheiten und die Teiler der Null für einen zusammengesetzten Modul m. - Die Anzahl ? (m) der. Einheiten modulo m. - Die Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes. - Bestimmung der Zahl ? (m). - Die Ver. allgemeinerung des Wilsonschen Satzes.- Elfte Vorlesung.- Die Invarianten der Kongruenz. - Arithmetische und analytische Invarianten. - Jede Invariante der Kongruenz ist eine symmetrische Funktion aller kongruenten Zahlen. - Arithmetische Untersuchung der Fundamentalinvariante der Kongruenz..- Zweiter Teil. Die Rationalitätsberelehe und die Theorie der Modulsysteme.- Zwölfte Vorlesung.- Die Kongruenz nach einem. Modulsystem. - Teiler eines Modulsystems. - Äquivalente Modulsysteme. - Reduktion der Modulsysteme. - Theorie der ganzzahligen Formen. - Äquivalente Formen. - Einheitsformen.- Dreizehnte Vorlesung.- Die.Rationalitätsbereiche. - Allgemeine Theorie der Modulsysteme - Allgemeine Theorie der Formen. Der gröfste gemeinsame Teiler zweier Divisorensysteme. - Die Komposition der Modulsysteme. - Anwendungen. - Die Verallgemeinerung des Fermatschen Theoremes.- Vierzehnte Vorlesung.- Der Rationalitätsbereich von einer Veränderlichen. - Das Euklidische Verfahren zur Bestimmung des gröfsten gemeinsamen Teilers für diesen Bereich. - Die Modulsysteme erster und zweiter Stufe. - Beispiele. - Reine und gemischte Modulsysteme zweiter Stufe.- Fünfzehnte Vorlesung.- Die reinen Divisorensysteme erster Stufe oder die ganzen ganzzahligen Funktionen. - Ihre Zerlegung in irreduktible Faktoren. - Beweis der Eindeutigkeit dieser Zerlegung. - Hülfssätze.- Sechzehnte Vorlesung.- Die reinen Divisorensysteme zweiter Stufe. - Ihre charakteristischen Eigenschaften. - Die Anzahl der inkongruenten Gröfsen ist stets endlich. - Die Einheiten. - Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes. - Komplementäre Einheiten.- Siebzehnte Vorlesung.- Die Dekomposition der reinen Modulsysteme zweiter Stufe (m, fi(x)). - Zerlegung derselben in die Systeme (ph, fi(x)). - Reduktion der einfachsten Systeme (p, fi(x)). - Reduktion der Systeme (p2, fi(x)) und (p3, fi(x)). - Die reduzierte Form der Systeme zweiter Stufe.- Achtzehnte Vorlesung.- Erste Reduktion eines beliebigen Modulsystemes (ph, fi, ... fv). - Weitere Reduktion desselben Systemes. - Beweis, daSs das so gefundene System ein reduziertes ist.- Neunzehnte Vorlesung.- Die Teiler modulo p der ganzen Funktionen von x. - Der gröfste gemeinsame Teiler modulo p. - Die Primfunktionen modulo p. - Die Primmodulsysteme (p, P(x)). - Ihre Analogie mit den Primzahlen. - Eindeutigkeit der Zerlegung der ganzen Funktionen in Primfaktoren modulo p. - Zerlegung des Systemes (p, f (x)). - Primmodulsysteme und unzerlegbare Modulsysteme. - Untersuchung des Bereiches [x] für ein Primmodulsystem. - Der Fermatsche Satz und der Wilsonsche Satz für ein Primmodulsystem. - Zerlegung der Funktion $$ {{x}^{{{{p}^{n}}}}} $$ - x modulo p. - Die einfachen Modulsysteme. - Ihre Fundamentaleigenschaften. - Dekomposition eines beliebigen Divisorensystemes in einfache Systeme.- Zwanzigste Vorlesung.- Die Modulsysteme im Bereiche von mehreren Veränderlichen. - Die Zerlegung der ganzen Gröfsen in ihre Primfaktoren. - Die Rationalitätsbereiche (x, y, ... z). - Der Rang oder die Stufe der Divisorensysteme. - Geometrische Anwendungen. - Die unzerlegbaren und die Primmodulsysteme. - Der Bereich {x, y, z} und die zugehörigen Primmodulsysteme. - Modulsysteme und Linearformen.- Dritter Teil. Anwendung der Analysis auf Probleme der Zahlentheorie.- Einundzwanzigste Vorlesung.- Zahlensysteme. - Neue Begründung der Fundamentaleigenschaften der Funktion ?(n). - Beweis einer arithmetischen Identität. - Die Zahlen ?m. - Die summatorischen Funktionen. - Anwendungen: Die Fundamentaleigenschaft der Zahlen ?m. - Berechnung der Potenzsummen aller inkongruenten Einheiten modulo m.- Zweiundzwanzigste Vorlesung.- Analytischer Beweis der eindeutigen Zerlegbarkeit der Zahlen in ihre Primfaktoren. - Die Dirichletschen Reihen. - Ihre Konvergenz. - Eine Funktion kann nur auf eine Art durch eine Dirichletscbe Reihe dargestellt werden. - Anwendungen: Analytische Begründung arithmetischer Sätze. - Bestimmung der Anzahl und der Summe. aller Teiler einer Zahl. - Untersuchung der Funktion ? (n). - Analytischer Beweis des Satzes, dafs die Anzahl aller Primzahlen unendlich grofs ist. - Analytischer Beweis arithmetischer Reprocitätsgleichungen. - Anwendungen.- Dreiundzwanzigste Vorlesung.- Die Kreisteilungsfunktionen xn - 1. - Die primitiven Funktionen Fn(x) und ihre Eigenschaften. - Die Berechnung der primitiven Funktionen. - Die Kreisteilungsgleichungen und die Wurzeln der Einheit. - Die primitiven nten Einheitswurzeln. - Anwendungen: Die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze.- Vierundzwanzigste Vorlesung.- Die arithmetische Funktion Xn (M, N). - Ihre genaue Berechnung - Anwendung: Bestimmung der Anzahl aller Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze. - Näherungsweise Berechnung der Funktion Xn (M, N). - Die arithmetische Funktion At (A, D). - Ihr ge nauer Wert. - Näherungsweise Berechnung dieser Funktion. - Anwendung: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dafs zwei beliebige Zahlen teilerfremd sind. - Der Mittelwert arithmetischer Funktionen. - Berechnung des Mittelwertes mit Hülfe der Eulerschen Summenformel. - Anwendungen. - Berechnung des Mittelwertes mit Hülfe der Dirichletschen Reihen.- Fünfundzwanzigste Vorlesung.- Die arithmetischen Funktionen von Zahlensystemen und ihre Mittel- werte. - Anwendungen: Die mittleren Werte der Funktionen ?(n) und
$$ \frac{{\varphi (n)}}{n}. $$. - Über die arithmetischen Funktionen, welche von den Divisoren einer Zahl abhängen und über die Mittelwerte derselben. - Die gröfseren und kleineren Divisoren einer Zahl.- Sechsundzwanzigste Vorlesung.- Der Mittelwert für die Anzahl der Divisoren. - Folgerungen aus diesem Resultate. - Die Summe der Divisoren. - Die Summe der reziproken Teiler. - Die Summe der Logarithmen aller Teiler. - Der Überschufs der Teiler von der Form 4n + 1 über die von der Form 4n ? 1 und der Mittelwert dieser Anzahl.- Vierter Teil. Allgemeine Theorie der Potenzreste und Beweis des Satzes über die arithmetische Progression.- Siebenundzwanzigste Vorlesung.- Theorie der Potenzreste für einen zusammengesetzten und für einen Primzahlmodul. - Einteilung der Einheiten modulo p nach dem Exponenten, zu welcliem sie gehören. - Die primitiven Wurzeln. - Theorie der Indices für einen Primzahlmodul. - Jacobis "Canon arithmeticus". - Anwendungen: Die Auflösung linearer Kongruenzen. - Beweis des Wilsonschen Satzes. - Auflösung der. reinen Kongruenzen für einen Primzahlmodul.- Achtundzwanzigste Vorlesung.- Die höheren Kongruenzen für einen Primzahlmodul. - Die Bedingung für die Existenz einer Kongruenzwurzel. - Erste Herleitung der Bedingungen für die Existenz von s inkongruenten Wurzeln einer Kongruenz. - Die Systeme oder Matrizen. - Der Rang der Systeme. - Zweite Herleitung der Bedingungen für die Existenz von s inkongruenten Wurzeln einer Kongruenz. - Die recurrierenden Reihen. - Ihre Ordnung. - Die Ordnung von ganzzahligen recurrierenden Reihen für einen Primzahlmodul. - Der Grad des gröfsten gemeinsamen Teilers zweier ganzzahligen Funktionen für einen Primzahlmodul.- Neunundzwanzigste Vorlesung.- Einteilung der Einheiten für einen zusammengesetzten Modul nach dem Exponenten, zu welchem sie gehören. - Existenzbeweis für die primitiven Wurzeln in Bezug auf eine Primzahlpotenz und das Doppelte einer solchen. - Die Einheiten modulo 2v. - Die Indexsysteme der Einheiten für zusammengesetzte Moduln. - Anwendungen: Die Darstellung aller nicht äquivalenten reduzierten Brüche mit gegebenem Nenner. Die Entwickelung rationaler Brüche nach fallenden Potenzen einer Grundzahl. Die Anzahl der periodischen und nichtperiodischen Glieder dieser Entwickelung. - Anwendung auf die Theorie der Dezimalbrüche.- Dreifsigste Vorlesung.- Es giebt unendlich viele Primzahlen von der Form mh + r, sobald (m, r) = 1 ist. - Beweis dieses Satzes für einige spezielle Fälle. -Schärfere Formulierung der Aufgabe. - Die Charaktere einer Zahl r modulo m. - Grundeigenschaften der Charaktere. - Der Hauptcharakter, die reciproken und die ambigen Charaktere.- Einunddreifsigste Vorlesung.- Beispiel: Der Fall m = 4. Die Anzahl der Primzahlen von der Form 4n + 1 und 4n ? 1 ist unendlich grofs. - Aufstellung der Grundgleichung. - Abschätzung ihrer einzelnen Bestandteile. Spezialisierung der Grundgleichung für die beiden möglichen Fälle und Beweis des Dirichletschen Satzes.- Zweiunddreifsigste Vorlesung.- Der allgemeine Satz über die Primzahlen in einer arithmetischen Reihe. - Vereinfachung der Aufgabe. - Aufstellung der Grundgleichung. - Abschätzung ihrer Glieder. - Spezialisierung der Grundgleichung: Die dem Hauptcharakter entsprechende Gleichung. - Die den übrigen Charakteren entsprechende Gleichung. Beweis des Diricbletschen Satzes. - Folgerung: Die Primzahlen verteilen sich nahezu gleichmäfsig auf die ?(m) Reihen mx + r.- Dreiunddreifsigste Vorlesung.- Beweis, date die (?(m) - 1) Reihen
$$ \sum {\frac{{{{\Omega }^{{\left( k \right)}}}\left( n \right)}}{n}} $$ von Null verschieden sind. - Die den ambigen Charakteren entsprechenden Reihen. - Angabe einer unteren Grenze far ihren Zahlwert. - Die den komplexen Charakteren entsprechenden Reihen. - Bestimmung einer unteren Grenze für den absoluten Betrag derselben. - Über die Anwendung der Dirichletschen Methoden auf höhere Probleme der Arithmetik. - Die linearen, die quadratischen und die allgemeinen zerlegbaren Formen. - Die Theorie der Einheiten.- Anmerkungen zum ersten Bande.
