Analysis 1

1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion.- 1.1 Vollständige Induktion.- 1.2 Fakultät und Binomialkoeffizienten.- 1.3 Aufgaben.- 2 Reelle Zahlen.- 2.1 Die Körperstruktur von $$ \mathbb{R} $$.- 2.2 Die Anordnung von $$ \mathbb{R} $$.- 2.3 Die Vollständigkeit von $$ \mathbb{R} $$.- 2.4 R ist nicht abzählbar.- 2.5 Aufgaben.- 3 Komplexe Zahlen.- 3.1 Der Körper der komplexen Zahlen.- 3.2 Die komplexe Zahlenebene.- 3.3 Algebraische Gleichungen in.- 3.4 Unmöglichkeit einer Anordnung von ?.- 3.5 Aufgaben.- 4 Funktionen.- 4.1 Grundbegriffe.- 4.2 Polynome.- 4.3 Rationale Funktionen.- 4.4 Aufgaben.- 5 Folgen.- 5.1 Konvergenz von Folgen.- 5.2 Rechenregeln.- 5.3 Monotone Folgen.- 5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln.- 5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß.- 5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von $$ \mathbb{R} $$.- 5.7 Uneigentliche Konvergenz.- 5.8 Aufgaben.- 6 Reihen.- 6.1 Konvergenz von Reihen.- 6.2 Konvergenzkriterien.- 6.3 Summierbare Familien.- 6.4 Potenzreihen.- 6.5 Aufgaben.- 7 Stetige Funktionen. Grenzwerte.- 7.1 Stetigkeit.- 7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen.- 7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen.- 7.4 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen. Der Zwischenwertsatz.- 7.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Satz vom Maximum und Minimum.- 7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.- 7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen.- 7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte.- 7.9 Aufgaben.- 8 Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen.- 8.1 Definition der Exponentialfunktion.- 8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente.- 8.3 Der natürliche Logarithmus.- 8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenzen.- 8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe.- 8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen.- 8.7 Nullstellen und Periodizität.- 8.8 Die Arcus-Funktionen.- 8.9 Polarkoordinaten.- 8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des komplexen Logarithmus und des Arcustangens.- 8.11 Die Zahl ?.- 8.12 Die hyperbolischen Funktionen.- 8.13 Aufgaben.- 9 Differentialrechnung.- 9.1 Die Ableitung einer Funktion.- 9.2 Ableitungsregeln.- 9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz.- 9.4 Beispiele und Anwendungen.- 9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen.- 9.6 Ableitungen höherer Ordnung.- 9.7 Konvexität.- 9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen.- 9.9 Fast überall differenzierbare Funktionen. Verallgemeinerter Schrankensatz.- 9.10 Begriff der Stammfunktion.- 9.11 Eine auf ganz $$ \mathbb{R} $$ stetige, aber nirgends differenzierbare Funktion.- 9.12 Aufgaben.- 10 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 10.1 Einführende Feststellungen.- 10.2 Der Eindeutigkeitssatz.- 10.3 Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung.- 10.4 Berechnung einer partikulären Lösung bei speziellen Inhomogenitäten.- 10.5 Anwendung auf Schwingungsprobleme.- 10.6 Partikuläre Lösungen bei allgemeinen Inhomogenitäten. Erweiterung des Lösungsbegriffes.- 10.7 Aufgaben.- 11 Integralrechnung.- 11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration.- 11.2 Regelfunktionen.- 11.3 Integration der Regelfunktionen über kompakte Intervalle.- 11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Stammfunktionen zu Regelfunktionen.- 11.5 Erste Anwendungen.- 11.6 Integration elementarer Funktionen.- 11.7 Integration normal konvergenter Reihen.- 11.8 Riemannsche Summen.- 11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle. Uneigentliche Integrale.- 11.10 Die Eulersche Summationsformel.- 11.11 Aufgaben.- 12 Geometrie differenzierbarer Kurven.- 12.1 Parametrisierte Kurven.- 12.2 Die Bogenlänge.- 12.3 Parameterwechsel.- 12.4 Krümmung ebener Kurven.- 12.5 Die Sektorfläche.- 12.6 Windungszahlen.- 12.7 Kurven in Polarkoordinaten.- 12.8 Geometrie der Planetenbewegung. Die drei Keplerschen Gesetze.- 12.9 Aufgaben.- 13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen.- 13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen...- 13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen.- 13.3 Nicht-lineare Schwingungen. Die Differentialgleichung $$ \ddot{x} = f(x) $$.- 13.4 Aufgaben.- 14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen.- 14.1 Approximation durch Taylorpolynome.- 14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen.- 14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe..- Die Bernoulli-Polynome.- 14.4 Das Newton-Verfahren.- 14.5 Aufgaben.- 15 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz.- 15.1 Gleichmäßige Konvergenz.- 15.2 Vertauschungssätze.- 15.3 Kriterien für gleichmäßige Konvergenz.- 15.4 Anwendung: die Eulerschen Formeln für ?(2n).- 15.5 Lokal gleichmäßige Konvergenz.- 15.6 Der Weierstraßsche Approximationssatz.- 15.7 Aufgaben.- 16 Die Gammafunktion.- 16.1 Die Gammafunktion nach Gauß.- 16.2 Charakterisierung der IT-Funktion nach Bohr-Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung.- 16.3 Die Stirlingsche Formel.- 16.4 Aufgaben.- 17 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen.- 17.1 Der Weierstraßsche Approximationssatz für periodische Funktionen.- 17.2 Definition der Fourierreihen. Der Identitätssatz.- 17.3 Anwendung: die Partialbruchreihe des Cotangens.- 17.4 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet.- 17.5 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen.- 17.6 Anwendung: Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer Funktionen.- 17.7 Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsche Gleichung.- 17.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem.- 17.9 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion.- 17.10 Aufgaben.- Biographische Notiz zu Euler.- Literaturhinweise.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.