1 Grundlagen.- 1.1 Mathematische Grundlagen.- 1.1.1 Ausdrücke aus der Vektoralgebra.- 1.1.2 Differentialoperatoren.- 1.1.2.1 Gradient.- 1.1.2.2 Divergenz.- 1.1.2.3 Rotation.- 1.1.3 Linearität der Differentialoperatoren.- 1.1.4 Mehrfache Anwendung von Differentialoperatoren.- 1.1.5 Transformation von Differentialoperatoren.- 1.1.5.1 Gradient in Kugelkoordinaten.- 1.1.5.2 Divergenz in Kugelkoordinaten.- 1.1.5.3 Rotation in Kugelkoordinaten.- 1.1.5.4 Laplaceoperator in Kugelkoordinaten.- 1.1.5.5 Gefahren bei der Anwendung des Nablaoperators.- 1.1.6 Integrale.- 1.1.6.1 Kurvenintegrale.- 1.1.6.2 Umlaufintegrale.- 1.1.6.3 Flächenintegrale.- 1.1.6.4 Raumintegrale.- 1.1.7 Integralsätze.- 1.1.7.1 Gaußscher Integralsatz.- 1.1.7.2 Stokesscher Integralsatz.- 1.1.7.3 Erste Greensche Integralformel.- 1.1.7.4 Zweite Greensche Integralformel.- 1.1.8 Distributionen.- 1.1.9 Separationsansätze.- 1.2 Feldtheoretische Grundlagen.- 1.2.1 Differentialform der Maxwellgleichungen.- 1.2.2 Integralform der Maxwellgleichungen.- 1.2.3 Spannung und Strom.- 1.2.4 Stetigkeitsbedingungen.- 1.2.4.1 Stetigkeit der elektrischen Feldstärke.- 1.2.4.2 Stetigkeit der elektrischen Verschiebungsdichte.- 1.2.4.3 Stetigkeit der magnetischen Erregung.- 1.2.4.4 Stetigkeit der magnetischen Flußdichte.- 1.2.4.5 Stetigkeit der Stromdichte.- 1.2.5 Elektrisch und magnetisch ideal leitende Wände.- 1.2.5.1 Elektrisch ideal leitende Wände.- 1.2.5.2 Magnetisch ideal leitende Wände.- 1.2.6 Energie.- 1.2.7 Mechanische Einflüsse elektromagnetischer Felder.- 1.3 Lösungsmethoden und Vertiefung der Grundlagen.- 1.3.1 Potentialansätze.- 1.3.1.1 Elektrostatik.- 1.3.1.2 Stationäres Strömungsfeld.- 1.3.1.3 Magnetostatik.- 1.3.1.4 Wellengleichung.- 1.3.2 Skineffekt.- 1.3.3 Verallgemeinerung ideal leitender Wände.- 1.3.3.1 Harmonisch zeitveränderliche Felder.- 1.3.3.2 Statische Felder.- 1.3.3.3 Leiteroberflächen im stationären Strömungsfeld.- 1.3.4 Power-Loss-Methode.- 1.3.5 Bezüge zur Optik.- 1.3.6 Elektrostatisches Potential für eine beliebige Ladungsverteilung.- 1.3.6.1 Symmetriebetrachtung bei der Punktladung.- 1.3.6.2 Feld einer Punktladung.- 1.3.6.3 Potential einer Punktladung.- 1.3.6.4 Potential einer beliebigen Ladungsverteilung.- 1.3.6.5 Delta-Distribution und Fundamentallösung der Poissongleichung.- 1.3.7 Lösung der Wellengleichung.- 1.3.7.1 Eindimensionale homogene Wellengleichung.- 1.3.7.2 Dreidimensionale homogene Wellengleichung.- 1.3.7.3 Dreidimensionale inhomogene Wellengleichung.- 1.3.8 Greensche Funktionen.- 1.3.8.1 Dreidimensionaler Fall.- 1.3.8.2 Zweidimensionaler Fall.- 1.3.8.3 Beispiel.- 1.3.8.4 Magnetischer Multipol.- 1.3.9 Inverse Operatoren.- 1.3.9.1 Inverser Laplaceoperator.- 1.3.9.2 Inverser Operator für die Divergenz.- 1.3.9.3 Inverser Operator für den Gradienten.- 1.3.9.4 Inverser Operator für die Rotation.- 1.3.10 Ohmscher Widerstand, Kapazität und Induktivität.- 1.3.10.1 Kapazität.- 1.3.10.2 Ohmscher Widerstand.- 1.3.10.3 Induktivität.- 1.3.11 Definition von ohmschem Widerstand, Kapazität und Induktivität mit Hilfe der Energie.- 1.3.11.1 Kapazität.- 1.3.11.2 Ohmscher Widerstand.- 1.3.11.3 Induktivität.- 1.3.12 Kapazitätsbelag, Induktivitätsbelag und Widerstandsbelag.- 2 Koordinatentransformationen.- 2.1 Wahl des Koordinatensystems.- 2.1.1 Kartesische Koordinaten.- 2.1.2 Kugelkoordinaten.- 2.1.3 Vergleich der Koordinatensysteme.- 2.2 Anwendungsbeispiel.- 2.2.1 Berechnung des Potentials.- 2.2.2 Widerstandsberechnung.- 2.3 Konforme Abbildungen.- 2.3.1 Eigenschaften.- 2.3.2 Laplaceoperator und Laplacegleichung.- 2.3.3 Elektrisches Feld.- 2.3.4 Anwendungsbeispiel.- 2.3.4.1 Berechnung des Potentials.- 2.3.4.2 Berechnung der elektrischen Feldstärke.- 2.3.5 Stromstärke, Spannung und Widerstand.- 2.3.6 Anwendungsbeispiel.- 2.3.7 Schwarz-Christoffel-Transformation.- 2.3.7.1 Transformationsvorschrift.- 2.3.7.2 Anwendungsbeispiel: Koplanare Zweibandleitung.- 2.4 Dualität zwischen magnetischem und elektrischem Feld.- 2.5 Leitungstheorie.- 3 Tensoranalysis.- 3.1 Vektoren.- 3.2 Auswirkungen der Summationskonvention.- 3.3 Gradient.- 3.4 Weitere Abkürzungen.- 3.5 Anwendungsbeispiele.- 3.5.1 Elektrisches Feld.- 3.5.2 Gradient in Kugelkoordinaten.- 3.5.3 Gradient in Zylinderkoordinaten.- 3.6 Differentiationsregeln.- 3.6.1 Produktregel.- 3.6.2 Kettenregel.- 3.7 Divergenz.- 3.7.1 Christoffelsymbol.- 3.7.2 Praktische Berechnung der Christoffelsymbole.- 3.7.3 Divergenz in Kugelkoordinaten.- 3.7.4 Divergenz in Zylinderkoordinaten.- 3.8 Rotation.- 3.8.1 Rotation in Kugelkoordinaten.- 3.8.2 Rotation in Zylinderkoordinaten.- 3.9 Vereinfachte Berechnung der Divergenz.- 3.10 Laplaceoperator.- 3.10.1 Laplaceoperator in Kugelkoordinaten.- 3.10.2 Laplaceoperator in Zylinderkoordinaten.- 3.11 Transformationseigenschaften.- 3.11.1 Transformation der Basisvektoren.- 3.11.2 Transformation der Komponenten eines Vektors.- 3.11.3 Transformation der Metrikkoeffizienten.- 3.12 Kovariante Ableitung von Vektorkomponenten.- 3.13 Kovariante Ableitung eines Skalars.- 3.14 Transformationsverhalten.- 3.14.1 Transformationsverhalten des Christoffelsymbols.- 3.14.2 Transformationsverhalten der partiellen Ableitung.- 3.14.3 Transformationsverhalten der kovarianten Ableitung.- 3.15 Gradient mit Hilfe der kovarianten Ableitung.- 3.16 Divergenz mit Hilfe der kovarianten Ableitung.- 3.17 Rotation mit Hilfe der kovarianten Ableitung.- 3.18 Invarianz.- 3.19 Invariante Darstellung von Produkten.- 3.19.1 Skalarprodukt.- 3.19.2 Vektorprodukt.- 3.20 Definition von Tensorkomponenten.- 3.20.1 Heben und Senken von Indizes.- 3.20.2 Äquivalenz von Hin- und Rücktransformation.- 3.20.3 Heben und Senken von Indizes bei Transformationen.- 3.21 Tensoren nullter Stufe.- 3.22 Spezielle Tensoren.- 3.22.1 Metriktensor.- 3.22.2 eikl Tensor dritter Stufe.- 3.22.3 Gradient als Tensor erster Stufe.- 3.22.4 Divergenz als Tensor nullter Stufe.- 3.22.5 Rotation als Tensor erster Stufe.- 3.23 Tensorgleichungen.- 3.23.1 Invarianz von Tensorgleichungen.- 3.23.2 Heben und Senken von Indizes in Tensorgleichungen.- 3.24 Kovariante Ableitung von Tensoren zweiter Stufe.- 3.25 Kovariante Ableitung des Metriktensors.- 3.26 Kovariante Ableitung von Tensoren höherer Stufe.- 3.27 Produktregeln für kovariante Ableitungen.- 3.28 Ableitung des vollständig antisymmetrischen Tensors.- 3.29 Tensorielles Produkt.- 3.30 Verjüngendes Produkt.- 3.31 Tensorgleichungen.- 3.32 Nablaoperator.- 3.32.1 Divergenz mit Hilfe des Nablaoperators.- 3.32.2 Gradient mit Hilfe des Nablaoperators.- 3.32.3 Rotation mit Hilfe des Nablaoperators.- 3.32.4 Besonderheiten des Nablaoperators.- 3.33 Anwendung des Nablaoperators auf Tensoren.- 3.33.1 Divergenz von Tensoren zweiter und höherer Stufe.- 3.33.2 Gradient von Tensoren erster und höherer Stufe.- 3.33.3 Rotation von Tensoren höherer Stufe.- 3.34 Mehrfache Anwendungen von Differentialoperatoren.- 3.34.1 Der Operator grad div.- 3.34.2 Der Operator Div Grad.- 3.34.3 Der Operator rot rot.- 3.35 Anwendung von Differentialoperatoren auf Produkte.- 3.35.1 Rotation eines Vektorproduktes.- 3.35.2 Divergenz eines Vektorproduktes.- 3.35.3 Gradient eines Skalarproduktes.- 3.36 Orthogonale Transformation.- 3.37 Drehmatrix.- 4 Lorentztransformation und Relativitätstheorie.- 4.1 Spezielle Lorentztransformation.- 4.2 Drehungen und Verschiebungen.- 4.3 Zeitdilatation.- 4.4 Längenkontraktion.- 4.5 Dopplereffekt.- 4.5.1 Spezialfall.- 4.5.2 Allgemeiner Fall.- 4.6 Transformation der Geschwindigkeit.- 4.7 Transformation der Beschleunigung.- 4.8 Die vierdimensionale Form der Maxwellschen Gleichungen.- 4.8.1 Maxwellgleichungen für das Vektorpotential und das skalare Potential.- 4.8.2 Maxwellgleichungen für das elektrische und das magnetische Feld.- 4.9 Transformation des elektromagnetischen Feldes.- 4.10 Rücktransformation.- 4.11 Transformation von Ladung und Stromdichte.- 4.12 Beispiel Plattenkondensator/Bandleitung.- 4.13 Dielektrische und permeable Medien.- 4.14 Gleichförmig bewegte Ladung.- 4.15 Gesetz von Biot-Savart.- 4.15.1 Herleitung.- 4.15.2 Vergleich mit bewegter Ladung.- 4.16 Induktionsgesetz für bewegte Körper.- 4.16.1 Leiterschleife im Magnetfeld.- 4.16.2 Unipolare Induktion.- 4.17 Induktion bei Materie-abhängiger Geschwindigkeit.- 4.17.1 Leiterschleife im Magnetfeld.- 4.17.2 Unipolare Induktion.- 4.18 Magnetischer Fluß und Induktion.- 4.18.1 In z-Richtung bewegte, rechteckige Integrationsfläche.- 4.18.2 Gleichförmig bewegte Integrationsfläche beliebiger Form.- 4.18.3 Zeitveränderliche Integrationsfläche.- 4.18.3.1 Leiterschleife im Magnetfeld.- 4.18.3.2 Unipolare Induktion.- 4.18.3.3 Anwendungsbeispiel.- 4.18.4 Fazit.- 4.19 Kraft und bewegte Masse.- 4.19.1 Beispiel.- 4.19.2 Transformationsgesetz für die Kraft.- 4.19.3 Transformationsgesetz für den Impuls.- 4.19.4 Vierervektor des Ortes.- 4.19.5 Vierervektor der Geschwindigkeit, Eigenzeit.- 4.19.6 Viererimpuls.- 4.19.7 Äquivalenz von Masse und Energie.- 4.19.8 Viererbeschleunigung und Viererkraft.- 4.19.9 Lorentzkraft und Viererkraft.- 4.19.10 Lorentz-Faktoren.- 4.20 Vierdimensionale Potentialtheorie.- 4.20.1 Lösung der Wellengleichung.- 4.20.2 Raumintegral über die Viererstromdichte einer Punktladung.- 4.20.3 Vierdimensionales Potential einer bewegten Punktladung.- 4.20.3.1 Magnetisches Feld.- 4.20.3.2 Elektrisches Feld.- 4.20.4 Schwingende Punktladungen und Hertzsche Dipole.- 4.20.4.1 Schwingende Punktladung in Kugelkoordinaten.- 4.20.4.2 Verschiebung des Koordinatensystems.- 4.20.4.3 Elektrisches Feld.- 4.20.4.4 Magnetisches Feld.- 4.20.4.5 Vergleich mit dem Hertzschen Dipol.- 4.20.5 Strahlungsverluste.- 4.20.6 Lösung der vierdimensionalen Poissongleichung.- 4.20.6.1 Skalares Potential.- 4.20.6.2 Vektorpotential.- 4.20.6.3 Anwendung auf die Maxwellgleichungen.- 4.20.6.4 Anwendung des Residuensatzes.- 5 Paradoxa.- 5.1 Definition der imaginären Einheit.- 5.2 Heringsches Experiment.- 5.2.1 Geschwindigkeit als Konstante.- 5.2.2 Geschwindigkeit als Eigenschaft des Raumpunktes.- 5.3 Uhrenparadoxon.- 5.3.1 Erste Hypothese.- 5.3.2 Schlagartige Richtungsumkehr.- 5.3.3 Zweite Hypothese.- 5.3.4 Fazit.- 6 Anhang.- 6.1 Tangentenvektor und Basisvektoren.- 6.2 Spatprodukt dreier Vektoren.- 6.3 Flächenintegrale.- 6.4 Differentiation von Parameterintegralen.- 6.5 Konzentrierte Bauelemente in der Feldtheorie.- 6.5.1 Energie, Spannung und Ladung im elektrostatischen Feld.- 6.5.2 Verlustleistung im stationären Strömungsfeld.- 6.5.3 Energie, Magnetischer Fluß und Strom in der Magnetostatik.- 6.6 Umkehrfunktion einer analytischen Funktion.- 6.7 Transformation der Basisvektoren.- 6.8 Verschiedene konforme Abbildungen.- 6.8.1 Potenzfunktion.- 6.8.2 Summe zweier analytischer Funktionen.- 6.8.3 Produkt zweier analytischer Funktionen.- 6.8.4 Verkettung zweier analytischer Funktionen.- 6.8.5 Polynome und rationale Funktionen.- 6.9 Elliptische Integrale; Schwarz-Christoffel-Transformation.- 6.10 Summationskonvention.- 6.11 Vollständig antisymmetrischer Tensor und Metriktensor.- 6.12 Kovariante Ableitung als Tensor.- 6.12.1 Heben und Senken von Indizes bei der kovarianten Ableitung.- 6.12.2 Transformationsverhalten der kovarianten Ableitung.- 6.12.3 Vertauschen der Differentiationsreihenfolge.- 6.13 Divergenz als Tensor.- 6.14 Gradient als Tensor.- 6.15 Invarianz des Abstandes bei orthogonaler Transformation.- 6.16 Ableitung von Determinanten.- 6.17 Vollst. antisymmetrischer Tensor im n-dimensionalen Raum.- 6.18 Christoffelsymbole und Determinante des Metiktensors.- 6.19 Duale Tensoren.- 6.20 Banachscher Fixpunktsatz.- 6.21 Vierdimensionale Kugeln.- 6.22 Mehrdimensionale Kugeln.- 7 Lösung der Übungsaufgaben.- 8 Literatur.
