Dieser Band
Numerische Mathematik
hat Prinzipien des numerischen Rechnens, numerische lineare Algebra und Näherungsmethoden in der Analysis zum Inhalt. Der Begriff der Approximation zieht sich als roter Faden durch den gesamten Text. Die Betonung liegt dabei weniger auf der Bereitstellung möglichst vieler Algorithmen als vielmehr auf der Vermittlung mathematischer Überlegungen, die zur Konstruktion von Verfahren führen. Jedoch werden auch der algorithmische Aspekt und entsprechende Effizienzbetrachtungen gebührend berücksichtigt. An vielen Stellen wie etwa bei den Untersuchungen zur Komplexität von Algorithmen, bei der Behandlung schlecht konditionierter Probleme, in dem Abschnitt über Splines oder auch bei der numerischen Kubatur geht der dargebotene Stoff über den Inhalt einer einsemestrigen Vorlesung zur numerischen Mathematik hinaus, so daß man beim Gebrauch des Buches für eine solche Vorlesung eine Auswahl treffen wird. Zahlreiche historische Anmerkungen sowie Querverbindungen und motivierende Erklärungen runden dieses Buch ab. Wer glaubt, daß die "Numerische Mathematik" nur aus einer Ansammlung von Algorithmen zur Lösung von Problemen besteht, der hat dieses Buch noch nicht in der Hand gehabt. Die Autoren haben die Betonung auf die Vermittlung mathematischer Überlegungen, die zur Konstruktion von Verfahren führen gelegt, ohne dabei den algorithmischen Aspekt und die entsprechende Effizienzsteigerung zu vernachlässigen. Zahlreiche historische Anmerkungen, Querverbindungen und motivierende Erklärungen haben dieses Buch zu einen Juwel der Lehrbücher zur "Numerischen Mathematik" gemacht.
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Broschur/Paperback
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Höhe: 23.5 cm
Breite: 15.5 cm
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ISBN-13
978-3-540-55652-7 (9783540556527)
DOI
10.1007/978-3-662-00173-8
Schweitzer Klassifikation
1. Rechnen.- §1. Zahlen und ihre Darstellung.- 1.1 Zahldarstellung zu beliebiger Basis.- 1.2 Realisierung von Zahldarstellungen auf Rechenhilfsmitteln.- 1.3 Rechnen im Dualsystem.- 1.4 Festkomma-Arithmetik.- 1.5 Gleitkomma-Arithmetik.- 1.6 Aufgaben.- §2. Operationen mit Gleitkommazahlen.- 2.1 Die Rundungsvorschrift.- 2.2 Verknüpfung von Gleitkommazahlen.- 2.3 Numerisch stabile bzw. instabile Auswertung von Formeln.- 2.4 Aufgaben.- §3. Fehleranalysen.- 3.1 Die Kondition eines Problems.- 3.2 Abschätzung der Rundungsfehler durch Vorwärtsanalyse.- 3.3 Die Rückwärtsanalyse des Rundungsfehlers.- 3.4 Intervallarithmetik.- 3.5 Aufgaben.- §4. Algorithmen.- 4.1 Der euklidische Algorithmus.- 4.2 Bewertung von Algorithmen.- 4.3 Komplexität von Algorithmen.- 4.4 Berechnung der Komplexität einiger Algorithmen.- 4.5 Ein Konzept zur Verbesserung der Komplexitätsordnung.- 4.6 Schnelle Matrixmultiplikation.- 4.7 Aufgaben.- 2. Lineare Gleichungssysteme.- §1. Das Eliminationsverfahren nach Gauß.- 1.1 Notation und Aufgabenstellung.- 1.2 Der Rechenprozeß.- 1.3 Das Gaußsche Verfahren als Dreieckszerlegung.- 1.4 Einige spezielle Matrizen.- 1.5 Bemerkungen zur Pivotsuche.- 1.6 Komplexität des Gaußschen Algorithmus.- 1.7 Aufgaben.- §2. Die Cholesky-Zerlegung.- 2.1 Erinnerung an Bekanntes über positiv definite (n × n)-Matrizen.- 2.2 Der Satz von der Cholesky-Zerlegung.- 2.3 Komplexität der Cholesky-Zerlegung.- 2.4 Aufgaben.- §3. Die QR-Zerlegung nach Householder.- 3.1 Householder-Matrizen.- 3.2 Die Grundaufgabe.- 3.3 Der Algorithmus nach Householder.- 3.4 Komplexität der QR-Zerlegung.- 3.5 Aufgaben.- §4. Vektornormen und Normen von Matrizen.- 4.1 Normen auf Vektorräumen.- 4.2 Die natürliche Norm einer Matrix.- 4.3 Spezielle Normen von Matrizen.- 4.4 Aufgaben.- §5. Fehlerabschätzungen.- 5.1 Kondition einer Matrix.- 5.2 Eine Fehlerabschätzung bei gestörter Matrix.- 5.3 Brauchbare Lösungen.- 5.4 Aufgaben.- §6. Schlechtkonditionierte Probleme.- 6.1 Die Singulärwertzerlegung einer Matrix.- 6.2 Pseudonormallösungen linearer Gleichungssysteme.- 6.3 Die Pseudoinverse einer Matrix.- 6.4 Zurück zu linearen Gleichungssystemen.- 6.5 Verbesserung der Kondition und Regularisierung eines linearen Gleichungssystems.- 6.6 Aufgaben.- 3. Eigenwerte.- §1. Reduktion auf Tridiagonal- bzw. Hessenberg-Gestalt.- 1.1 Das Householder-Verfahren.- 1.2 Berechnung der Eigenwerte von Tridiagonalmatrizen.- 1.3 Berechnung der Eigenwerte von Hessenberg-Matrizen.- 1.4 Aufgaben.- §2. Die Jacobi-Rotation; Eigenwertabschätzungen.- 2.1 Das Jacobi-Verfahren.- 2.2 Abschätzungen der Eigenwerte.- 2.3 Aufgaben.- §3. Die Potenzmethode.- 3.1 Ein iterativer Ansatz.- 3.2 Berechnung der Eigenvektoren und weiterer Eigenwerte.- 3.3 Der Rayleigh-Quotient.- 3.4 Aufgaben.- §4. Der QR-Algorithmus.- 4.1 Konvergenz des QR-Algorithmus.- 4.2 Bemerkungen zum LR-Algorithmus.- 4.3 Aufgaben.- 4. Approximation.- §1. Vorbereitungen.- 1.1 Normierte Vektorräume.- 1.2 Banachräume.- 1.3 Hilberträume und Prae-Hilberträume.- 1.4 Die Räume Lp[a, b].- 1.5 Lineare Operatoren.- 1.6 Aufgaben.- §2. Die Approximationssätze von Weierstraß.- 2.1 Approximation durch Polynome.- 2.2 Der Approximationssatz für stetige Funktionen.- 2.3 Der Gedankenkreis von Korovkin.- 2.4 Anwendungen des Satzes 2.3..- 2.5 Approximationsgüte.- 2.6 Aufgaben.- §3. Das allgemeine Approximationsproblem.- 3.1 Beste Näherungen.- 3.2 Existenz eines Proximums.- 3.3 Eindeutigkeit des Proximums.- 3.4 Lineare Approximation.- 3.5 Eindeutigkeit in endlichdimensionalen linearen Unterräumen.- 3.6 Aufgaben.- §4. Gleichmäßige Approximation.- 4.1 Approximation durch Polynome.- 4.2 Haarsche Räume.- 4.3 Der Alternantensatz.- 4.4 Eindeutigkeit.- 4.5 Eine Abschätzung.- 4.6 Berechnung des Proximums.- 4.7 Tschebyschev-Polynome 1. Art.- 4.8 Entwicklung nach Tschebyschev-Polynomen.- 4.9 Konvergenz der Proxima.- 4.10 Zur nichtlinearen Approximation.- 4.11 Bemerkungen zur Approximationsaufgabe in (C[a, b], ? · ?1).- 4.12 Aufgaben.- §5. Approximation in Prae-Hilberträumen.- 5.1 Charakterisierung des Proximums.- 5.2 Die Normalgleichungen.- 5.3 Orthonormalsysteme.- 5.4 Die Legendreschen Polynome.- 5.5 Eigenschaften orthonormierter Polynome.- 5.6 Konvergenz in C[a, b].- 5.7 Approximation stückweise stetiger Funktionen.- 5.8 Trigonometrische Approximation.- 5.9 Aufgaben.- §6. Die Methode der kleinsten Quadrate.- 6.1 Diskrete Approximation.- 6.2 Die Lösung der Normalgleichungen.- 6.3 Ausgleichung durch Polynome.- 6.4 Zusammenfallende Stützstellen.- 6.5 Diskrete Approximation durch trigonometrische Funktionen.- 6.6 Aufgaben.- 5. Interpolation.- §1. Das Interpolationsproblem.- 1.1 Interpolation in Haarschen Räumen.- 1.2 Interpolation durch Polynome.- 1.3 Das Restglied.- 1.4 Abschätzungen.- 1.5 Aufgaben.- §2. Interpolationsmethoden und Restglied.- 2.1 Ansatz von Lagrange.- 2.2 Ansatz von Newton.- 2.3 Steigungen.- 2.4 Die allgemeine Peanosche Restglieddarstellung.- 2.5 Eine ableitungsfreie Fehlerabschätzung.- 2.6 Verbindung zur Analysis.- 2.7 Aufgaben.- §3. Gleichabständige Stützstellen.- 3.1 Das Differenzenschema.- 3.2 Darstellungen des Interpolationspolynoms.- 3.3 Numerische Differentiation.- 3.4 Aufgaben.- §4. Konvergenz von Interpolationspolynomen.- 4.1 Beste Interpolation.- 4.2 Konvergenzprobleme.- 4.3 Konvergenzaussagen.- 4.4 Aufgaben.- §5. Spezielle Interpolationen.- 5.1 Das Hornerschema.- 5.2 Der Algorithmus von Aitken-Neville.- 5.3 Hermite-Interpolation.- 5.4 Trigonometrische Interpolation.- 5.5 Interpolation im Komplexen.- 5.6 Aufgaben.- §6. Mehrdimensionale Interpolation.- 6.1 Verschiedene Interpolationsaufgaben.- 6.2 Interpolation auf Rechtecken.- 6.3 Abschätzung des Interpolationsfehlers.- 6.4 Aufgaben 242.- 6. Splines.- §1. Polynom-Splines.- 1.1 Splineräume.- 1.2 Basis eines Splineraums.- 1.3 Proxima in Splineräumen.- 1.4 Aufgaben.- §2. Interpolierende Splines.- 2.1 Splines ungeraden Grades.- 2.2 Eine Extremaleigenschaft der Splines.- 2.3 Quadratische Splines.- 2.4 Konvergenzverhalten.- 2.5 Aufgaben.- §3. B-Splines.- 3.1 Existenz von B-Splines.- 3.2 Lokale Basen.- 3.3 Weitere Eigenschaften von B-Splines.- 3.4 Lineare B-Splines.- 3.5 Quadratische B-Splines.- 3.6 Kubische B-Splines.- 3.7 Aufgaben.- §4. Berechnung interpolierender Splines.- 4.1 Kubische Splines.- 4.2 Quadratische Splines.- 4.3 Ein allgemeines Interpolationsproblem.- 4.4 Aufgaben.- §5. Abschätzungen und Approximation durch Splines.- 5.1 Fehlerabschätzungen für lineare Splines.- 5.2 Zur gleichmäßigen Approximation durch lineare Splines.- 5.3 Ausgleichen durch lineare Splines.- 5.4 Fehlerabschätzungen für Splines höheren Grades.- 5.5 Ausgleichssplines höheren Grades.- 5.6 Aufgaben.- §6. Mehrdimensionale Splines.- 6.1 Bilineare Splines.- 6.2 Bikubische Splines.- 6.3 Blende-Splines.- 6.4 Aufgaben.- 7. Integration.- §1. Interpolationsquadratur.- 1.1 Rechteckregeln.- 1.2 Die Sehnentrapezregel.- 1.3 Die Euler-MacLaurinsche Entwicklung.- 1.4 Die Simpsonsche Regel.- 1.5 Newton-Cotes-Formeln.- 1.6 Unsymmetrische Quadraturformeln.- 1.7 Aufgaben.- §2. Schrittweitenextrapolation.- 2.1 Das Halbierungsverfahren.- 2.2 Fehlerbetrachtung.- 2.3 Extrapolation.- 2.4 Konvergenz.- 2.5 Aufgaben.- §3. Numerische Integration nach Gauß.- 3.1 Ansatz von Gauß.- 3.2 Gauß-Quadratur als Interpolationsquadratur.- 3.3 Fehlerdarstellung.- 3.4 Modifikationen.- 3.5 Uneigentliche Integrale.- 3.6 Stützstellen und Gewichte Gaußscher Quadraturformeln.- 3.7 Aufgaben.- §4. Spezielle Quadraturen.- 4.1 Integration über ein unendliches Intervall.- 4.2 Singulärer Integrand.- 4.3 Periodische Funktionen.- 4.4 Aufgaben.- §5. Optimalität und Konvergenz.- 5.1 Normminimierung.- 5.2 Minimaler Einfluß zufälliger Fehler.- 5.3 Optimale Quadraturformeln.- 5.4 Konvergenz von Quadraturformeln.- 5.5 Quadraturoperatoren.- 5.6 Aufgaben.- §6. Mehrdimensionale Integration.- 6.1 Kartesische Produkte.- 6.2 Integration über Standardgebiete.- 6.3 Die Monte-Carlo-Methode.- 6.4 Aufgaben.- 8. Iteration.- §1. Das allgemeine Iterationsverfahren.- 1.1 Anschauliche Deutung des Iterationsverfahrens.- 1.2 Konvergenz des Iterationsverfahrens.- 1.3 Lipschitzkonstanten.- 1.4 Fehlerabschätzung.- 1.5 Konvergenzverhalten und Konvergenzgüte.- 1.6 Aufgaben.- §2. Das Newton-Verfahren.- 2.1 Konvergenzbeschleunigung des Iterationsverfahrens.- 2.2 Geometrische Deutung.- 2.3 Mehrfache Nullstellen.- 2.4 Das Sekantenverfahren.- 2.5 Das Newton-Verfahren für m > 1.- 2.6 Wurzeln algebraischer Gleichungen.- 2.7 Aufgaben.- §3. Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme.- 3.1 Folgen von Iterationsmatrizen.- 3.2 Das Gesamtschrittverfahren.- 3.3 Das Einzelschrittverfahren.- 3.4 Der Satz von Stein und Rosenberg.- 3.5 Aufgaben.- §4. Weitere Konvergenzuntersuchungen.- 4.1 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren.- 4.2 Relaxation beim Einzelschrittverfahren.- 4.3 Optimale Relaxationsparameter.- 4.4 Aufgaben.- 9. Lineare Optimierung.- §1. Einführende Beispiele, allgemeine Problemstellung.- 1.1 Eine optimale Produktionsplanung.- 1.2 Ein semiinfinites Optimierungsproblem.- 1.3 Ein lineares Steuerungsproblem.- 1.4 Die allgemeine Problemstellung.- 1.5 Aufgaben.- §2. Polyeder.- 2.1 Charakterisierung von Ecken.- 2 2 Existenz von Ecken.- 2.3 Das Hauptergebnis.- 2.4 Eine weitere Charakterisierung von Ecken.- 2.5 Aufgaben.- §3. Das Simplexverfahren.- 3.1 Vorbereitungen.- 3.2 Der Eckenaustausch ohne Entartung.- 3.3 Startecken.- 3.4 Bemerkungen zu entarteten Ecken.- 3.5 Die Zweiphasenmethode.- 3.6 Das revidierte Simplexverfahren.- 3.7 Aufgaben.- §4. Betrachtungen zur Komplexität.- 4.1 Die Beispiele von Klee und Minty.- 4.2 Zum Durchschnittsverhalten von Algorithmen.- 4.3 Laufzeitverhalten von Algorithmen.- 4.4 Polynomiale Algorithmen.- 4.5 Aufgaben.- Literatur.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.
