Lineare Algebra: Ein geometrischer Zugang

1 Descartes' Entdeckung.- 1.1 Lokale und globale Koordinaten in 2D.- 1.2 Der Übergang von globalen auf lokale Koordinaten.- 1.3 Lokale und globale Koordinaten in 3D.- 1.4 Wir verlassen den Quader.- 1.5 Wie man Koordinaten erhält.- 1.6 Aufgaben.- 2 Hier und Dort: Punkte und Vektoren in 2D.- 2.1 Punkte und Vektoren.- 2.2 Wo liegen die Unterschiede?.- 2.3 Vektorfelder.- 2.4 Wie Punkte kombiniert werden.- 2.5 Die Länge eines Vektors.- 2.6 Lineare Unabhängigkeit.- 2.7 Das Skalarprodukt.- 2.8 Ungleichungen.- 2.9 Aufgaben.- 3 Geraden in 2D.- 3.1 Definition der Geraden.- 3.2 Die Parameterdarstellung einer Geraden.- 3.3 Die implizite Darstellung einer Geraden.- 3.4 Die explizite Darstellung einer Geraden.- 3.5 Konvertierung zwischen parametrischer und impliziter Darstellung.- 3.5.1 Umwandlung von parametrisch zu implizit.- 3.5.2 Umwandlung von implizit zu parametrisch.- 3.6 Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden.- 3.6.1 Abstandsberechnung bei impliziter Darstellung.- 3.6.2 Abstandsberechnung für eine parametrische Darstellung.- 3.7 Der Lotfußpunkt.- 3.8 Treffpunkte: Zur Berechnung von Schnittpunkten.- 3.8.1 Parametrische und implizite Darstellung.- 3.8.2 Zwei parametrische Darstellungen.- 3.8.3 Zwei implizite Darstellungen.- 3.9 Aufgaben.- 4 Lineare Abbildungen in 2D.- 4.1 Schiefes Zielgebiet.- 4.2 Die Matrixdarstellung.- 4.3 Weiteres über Matrizen.- 4.4 Skalierungen.- 4.5 Spiegelungen.- 4.6 Rotationen.- 4.7 Scherungen.- 4.8 Projektionen.- 4.9 Flächeninhalte und lineare Abbildungen: Determinanten.- 4.10 Hintereinanderschaltung linearer Abbildungen.- 4.11 Weiteres über Matrixmultiplikation.- 4.12 Weitere Gesetze der Matrixarithmetik.- 4.13 Aufgaben.- 5 Lineare Systeme der Dimension 2×2.- 5.1 Koordinatentransformationen.- 5.2 Die Matrixdarstellung.- 5.3 Ein direkter Ansatz: die Cramer'sche Regel.- 5.4 Gauß-Elimination.- 5.5 Invertierung von Abbildungen und Matrizen.- 5.6 Unlösbare Systeme.- 5.7 Unterbestimmte Systeme.- 5.8 Homogene Systeme.- 5.9 Numerische Strategien: Pivotelemente.- 5.10 Bestimmung einer Abbildung.- 5.11 Aufgaben.- 6 Dinge in Bewegung setzen: Affine Abbildungen.- 6.1 Affine und lineare Abbildungen.- 6.2 Translationen.- 6.3 Allgemeinere affine Abbildungen.- 6.4 Dreiecke auf Dreiecke abbilden.- 6.5 Hintereinanderausfuhrung affiner Abbildungen.- 6.6 Aufgaben.- 7 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 7.1 Fixierte Richtungen.- 7.2 Eigenwerte.- 7.3 Eigenvektoren.- 7.4 Spezialfälle.- 7.5 Die Geometrie symmetrischer Matrizen.- 7.6 Wiederholte Anwendung von Abbildungen.- 7.7 Die Konditionszahl einer Abbildung.- 7.8 Eigenwerte und Eigenvektoren in höheren Dimensionen.- 7.9 Aufgaben.- 8 Teile des Ganzen: Dreiecke.- 8.1 Baryzentrische Koordinaten.- 8.2 Affine Invarianz.- 8.3 Einige besondere Punkte.- 8.4 2D-Triangulierungen.- 8.5 Eine Datenstruktur einer Triangulierung.- 8.6 Ortsbestimmung.- 8.6.1 Algorithmus zur Ortsbestimmung.- 8.7 3D-Triangulierungen.- 8.8 Aufgaben.- 9 Kegelschnitte.- 9.1 Der allgemeine Kegelschnitt.- 9.2 Die Analyse von Kegelschnitten.- 9.3 Die Lage eines Kegelschnitts.- 9.4 Aufgaben.- 10 3D-Geometrie.- 10.1 Von 2D nach 3D.- 10.2 Das Kreuzprodukt.- 10.3 Geraden.- 10.4 Ebenen.- 10.5 Das Spatprodukt.- 10.6 Aufgaben.- 11 Begegnungen in 3D.- 11.1 Der Abstand eines Punktes von einer Ebene.- 11.2 Der Abstand zwischen zwei Geraden.- 11.3 Schnitte von Geraden und Ebenen.- 11.4 Schnittbildung zwischen einem Dreieck und einer Geraden.- 11.5 Reflektionen von Geraden an Ebenen.- 11.6 Schnittbildung zwischen drei Ebenen.- 11.7 Schnittbildung zweier Ebenen.- 11.8 Aufgaben.- 12 Lineare Abbildungen in 3D.- 12.1 Matrizen und lineare Abbildungen.- 12.2 Skalierungen.- 12.3 Spiegelungen.- 12.4 Scherungen.- 12.5 Projektionen.- 12.6 Rotationen.- 12.7 Volumen und lineare Abbildungen: Determinanten.- 12.8 Hintereinanderausführung linearer Abbildungen.- 12.9 Invertierung von Matrizen.- 12.10 Aufgaben.- 13 Affine Abbildungen in 3D.- 13.1 Affine Abbildungen.- 13.2 Translationen.- 13.3 Die Abbildungen von Tetraedern.- 13.4 Projektionen.- 13.5 Homogene Koordinaten und perspektivische Abbildungen.- 13.6 Aufgaben.- 14 Lineare Systeme allgemeiner Form.- 14.1 Die Problemstellung.- 14.2 Die Lösung durch Gauß-Elimination.- 14.3 Determinanten.- 14.4 Iterative Lösungsmethoden.- 14.5 Überbestimmte Systeme.- 14.6 Inverse Matrizen.- 14.7 Die LU-Zerlegung.- 14.8 Aufgaben.- 15 Streckenzüge und Polygone.- 15.1 Streckenzüge.- 15.2 Polygone.- 15.3 Konvexität.- 15.4 Spezielle Polygone.- 15.5 Ungewähnliche Polygone.- 15.6 Drehwinkel und Windungszahl.- 15.7 Flächeninhalte.- 15.8 Test auf Ebenheit.- 15.9 Innen oder Außen?.- 15.9.1 Das Strahlverfahren.- 15.9.2 Das Windungszahlverfahren.- 15.10 Aufgaben.- 16 Kurven.- 16.1 Parametrische Kurven.- 16.2 Eigenschaften von Bézierkurven.- 16.3 Die Matrixform.- 16.4 Ableitungen.- 16.5 Zusammengesetzte Kurven.- 16.6 Die Geometrie ebener Kurven.- 16.7 Bewegung entlang einer Kurve.- 16.8 Aufgaben.- A Eine kurze Einführung in PostScript.- A.1 Ein Beispiel zum Aufwärmen.- A.2 Ein Überblick.- A.3 Affine Abbildungen.- A.4 Variable.- A.5 Schleifen.- A.6 CTM.- B Lösungen ausgewählter Probleme.- Literatur.- Deutsche Literatur.