Zahlen

A. Von den natürlichen zu den komplexen und p-adisehen Zahlen.- 1. Natürliche, ganze und rationale Zahlen.- §1. Historisches.- 1. Ägypten und Babylonien.- 2. Griechenland.- 3. Indisch-arabische Rechenpraxis.- 4. Neuzeit.- §2. Natürliche Zahlen.- 1. Definition der natürlichen Zahlen.- 2. Rekursionssatz und Einzigkeit von ?.- 3. Addition, Multiplikation und Anordnung der natürlichen Zahlen.- 4. Peanos Axiome.- §3. Ganze Zahlen.- 1. Die additive Gruppe ?.- 2. Der Integritätsring ?.- 3. Die Anordnung in ?.- §4. Rationale Zahlen.- 1. Historisches.- 2. Der Körper ?.- 3. Die Anordnung in ?.- Literatur.- 2. Reelle Zahlen.- §1. Historisches.- 1. Hippasus und das Pentagon.- 2. Eudoxos und die Proportionenlehre.- 3. Irrationalzahlen in der neuzeitlichen Mathematik.- 4. Präzisierungen des 19. Jahrhunderts.- §2. DEDEKiNDsche Schnitte.- 1. Die Menge ? der Schnitte.- 2. Die Anordnung in ?.- 3. Die Addition in ?.- 4. Die Multiplikation in ?.- §3. Fundamentalfolgen.- 1. Historisches.- 2. Das Cauchysche Konvergenzkriterium.- 3. Der Ring der Fundamentalfolgen.- 4. Der Restklassenkörper F/N der Fundamentalfolgen modulo den Nullfolgen.- 5. Der vollständig geordnete Restklassenkörper F/N.- §4. Intervallschachtelungen.- 1. Historisches.- 2. Intervallschachtelungen und Vollständigkeit.- §5. Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen.- 1. Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen im reellen Zahlkörper.- 2. Vollständigkeitssätze.- 3. Einzigkeit und Existenz der reellen Zahlen.- Literatur.- 3. Komplexe Zahlen.- §1. Genesis der komplexen Zahlen.- 1. Cardano (1501-1576).- 2. Bombelli (1526-1572).- 3. Descartes (1596-1650), Newton (1643-1727) und Leibniz (1646-1716).- 4. Euler (1707-1783).- 5. Wallis (1616-1703), Wessel (1745-1818) und Argand (1768-1822).- 6. Gauss (1777-1855).- 7. Cauchy (1789-1857).- 8. Hamilton (1805-1865).- 9. Ausblick.- §2. Der Körper ?.- 1. Definition durch reelle Zahlenpaare.- 2. Die imaginäre Einheit i.- 3. Geometrische Darstellung.- 4. Nichtanordbarkeit des Körpers C.- 5. Darstellung durch reelle 2 × 2 Matrizen.- §3. Algebraische Eigenschaften des Körpers ?.- 1. Die Konjugierung ? ? ?, z ? z?.- 2. Körperautomorphismen von ?.- 3. Das natürliche Skalarprodukt Re(wz?) und die euklidische Länge ?z?.- 4. Produktregel und "Zwei-Quadrate-Satz".- 5. Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen.- 6. Quadratwurzeln und n-te Wurzeln.- §4. Geometrische Eigenschaften des Körpers ?.- 1. Die Identität 2 + 2 = ?w?2 ?z?2.- 2. Cosinussatz und Dreiecksungleichung.- 3. Zahlen auf Geraden und Kreisen. Doppelverhältnis.- 4. Sehnenvierecke und Doppelverhältnis.- 5. Satz von Ptolemäus, 6. WALLACEsche Gerade.- §5. Die Gruppen O(?) und SO(2).- 1. Abstandstreue Abbildungen von ?.- 2. Die Gruppe O (?).- 3. Die Gruppe SO (2) und der Isomorphismus S1 ? SO (2).- 4. Rationale Parametrisierung eigentlich orthogonaler 2 × 2 Matrizen.- §6. Polarkoordinaten und n-te Wurzeln.- 1. Polarkoordinaten.- 2. Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten.- 3. MoiVREsche Formel.- 4. Einheitswurzeln.- 4. Fundamentalsatz der Algebra.- §1. Zur Geschichte des Fundamentalsatzes.- 1. Girard (1595-1632) und Descartes (1596-1650).- 2. Leibniz (1646-1716).- 3. Euler (1707-1783).- 4. d'Alembert (1717-1783).- 5. Lagrange (1736-1813) und Laplace (1749-1827).- 6. Die Kritik durch Gauss.- 7. Die vier Beweise von Gauss.- 8. Argand (1768-1822) und Cauchy (1789-1857).- 9. Fundamentalsatz der Algebra: einst und jetzt.- 10. Kurzbiographie 0 für 0 < y < ? und die Gleichung $$ {e^{{i\frac{\pi }{2}}}} = i $$.- 6. Der Polarkoordinatenepimorphismus p: ? ? S1.- 7. Die Zahl ? und Umfang und Inhalt eines Kreises.- §4. Klassische Formeln für ?.- 1. Die Lwibnizsche Reihe für ?.- 2. Das Vietasche Produkt für ?.- 3. Das Eulersche Sinusprodukt und das Wallissche Produkt für ?.- 4. Die Eulerschen Reihen für ?2, ?4,.,.- 5. Die Weierstrasssche Definition von ?.- 6. Irrationalität von ? und Kettenbruchentwicklung.- 7. Transzendenz von ?.- 6. Die p-adischen Zahlen.- §1. Zahlen als Funktionen.- §2. Die arithmetische Bedeutung der p-adischen Zahlen.- §3. Die analytische Natur der p-adischen Zahlen.- §4. Die p-adischen Zahlen.- Literatur.- B. Reelle Divisionsalgebren.- Repertorium. Grundbegriffe aus der Theorie der Algebren.- 1. Reelle Algebren.- 2. Beispiele reeller Algebren.- 3. Unteralgebren und Algebra-Homomorphismen.- 4. Bestimmung aller eindimensionalen Algebren.- 5. Divisionsalgebren.- 6. Konstruktion von Algebren mittels Basen.- 7. Hamiltonsche Quaternionen.- §1. Die Quaternionenalgebra ?.- 1. Die Algebra ? der Quaternionen.- 2. Die Matrixalgebra ? und der Isomorphismus F: ? ? ?.- 3. Der Imaginärraum von ?.- 4. Quaternionenprodukt, Vektorprodukt und Skalarprodukt.- 5. Zur Nichtkommutativität von ?. Zentrum.- 6. Die Endomorphismen des ?-Vektorraumes ?.- 7. Quaternionenmultiplikation und Vektoranalysis.- 8. Fundamentalsatz der Algebra für Quaternionen.- §2. Die Algebra ? als euklidischer Vektorraum.- 1. Konjugierung und Linearform Re.- 2. Eigenschaften des Skalarproduktes.- 3. Der "Vier-Quadrate-Satz".- 4. Konjugierungs- und Längentreue von Automorphismen.- 5. Die Gruppe S3 der Quaternionen der Länge.- 6. Die spezielle unitäre Gruppe SU(2) und der Isomorphismus S3 ? SU(2).- §3. Die orthogonalen Gruppen O (3), O (4) und die Quaternionen.- 1. Orthogonale Gruppen.- 2. Die Gruppe O(?). Satz von Cayley.- 3. Die Gruppe O(Im?). Satz von Hamilton.- 4. Die Epimorphismen S3 ? SO (3) und S3 × S3 ? SO(4).- 5. Drehachse und Drehwinkel.- 6. EuLERsche Parameterdarstellung der SO (3).- 8. Isomorphiesätze vonFrobenius, HopfundGelfand-Mazur.- §1. Hamiltonsche Tripel in alternativen Algebren.- 1. Die rein-imaginären Elemente einer Algebra.- 2. Hamiltonsche Tripel.- 3. Existenz Hamiltonscher Tripel in alternativen Algebren.- 4. Alternative Algebren.- §2. Satz von Frobenius.- 1. Lemma von Frobenius.- 2. Beispiele quadratischer Algebren.- 3. Quaternionen-Lemma.- 4. Satz von Frobenius (1877).- §3. Satz von Hopf.- 1. Topologisierung reeller Algebren.- 2. Die Quadratabbildung ?? ? ??, x ? x2. Hopfsches Lemma.- 3. Satz von Hopf.- 4. Der ursprüngliche Hopfsche Beweis.- 5. Beschreibung aller 2-dimensionalen Algebren mit Einselement.- §4. Satz von Gelfand-Mazur.- 1. Banach-Algebren.- 2. Die binomische Reihe.- 3. Lokaler Umkehrsatz.- 4. Die multiplikative Gruppe ??×.- 5. Satz von Gelfand-Mazur.- 6. Struktur normierter assoziativer Divisionsalgebren.- 7. Das Spektrum.- 8. Historisches zum Satz von Gelfand-Mazur, 9. Ausblick.- 9. Cayley-Zahlen oder alternative Divisionsalgebren.- §1. Alternative quadratische Algebren.- 1. Quadratische Algebren.- 2. Satz über die Bilinearform.- 3. Satz über die Konjugierungsabbildung.- 4. Die Dreier-Identität.- 5. Der euklidische Vektorraum sé und die orthogonale Gruppe O (??).- §2. Existenz und Eigenschaften der Cayley-Algebra $$ \mathbb{O} $$.- 1. Konstruktion der quadratischen Algebra $$ \mathbb{O} $$ der Oktaven.- 2. Imaginärraum, Linearform, Bilinearform und Konjugierung von $$ \mathbb{O} $$.- 3. $$ \mathbb{O} $$ als alternative Divisionsalgebra.- 4. "Acht-Quadrate-Satz".- 5. Die Gleichung $$ \mathbb{O} $$ = ? ? ?p.- 6. Multiplikationstafel für $$ \mathbb{O} $$.- §3. Einzigkeit der Cayley-Algebra.- 1. Verdopplungssatz.- 2. Einzigkeit der Cayley-Algebra (Zorn 1933).- 3. Beschreibung von $$ \mathbb{O} $$ durch Zornsche Vektormatrizen.- 10. Kompositionsalgebren. Satz von Hurwitz. Vektorprodukt-Algebren.- §1. Kompositionsalgebren.- 1. Historisches zur Kompositionstheorie.- 2. Beispiele.- 3. Kompositionsalgebren mit Einselement.- 4. Struktursatz für Kompositionsalgebren mit Einselement.- §2. Mutation von Kompositionsalgebren.- 1. Mutationen von Algebren.- 2. Mutationssatz für endlich-dimensionale Kompositionsalgebren.- 3. Satz von Hurwitz (1898).- §3. Vektorprodukt-Algebren.- 1. Der Begriff der Vektorprodukt-Algebra.- 2. Konstruktion von Vektorprodukt-Algebren.- 3. Beschreibung aller Vektorprodukt-Algebren.- 4* Malcev-Algebren.- 5. Historische Bemerkung.- 11. Divisionsalgebren und Topologie.- § 1. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist eine Potenz von 2.- 1. Ungerade Abbildungen und der Satz von Hopf.- 2. Homologie und Kohomologie mit Koeffizienten in F2.- 3. Beweis des Satzes von Hopf.- 4. Historische Bemerkungen zur Homologie- und Kohomologietheorie.- 5. Charakteristische Homologieklassen nach Stiefel.- §2. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist gleich 1, 2, 4 oder 8.- 1. Die mod 2-Invariante ?(f).- 2. Parallelisierbarkeit der Sphären und Divisionsalgebren.- 3. Vektorraumbündel.- 4. Charakteristische Kohomologieklassen nach Whitney.- 5. Der Ring der Vektorraumbündel.- 6. Die Bottsche Periodizität.- 7. Charakteristische Klassen von direkten Summen und Tensorprodukten.- 8. Schluß des Beweises.- 9. Historische Anmerkungen.- §3. Ergänzungen.- 1. Definition der Hopfschen Invarianten.- 2. Die Hopfsche Konstruktion.- 3. Der Satz von Adams über die Hopfsche Invariante.- 4. Zusammenfassung.- 5. Der Satz von Adams über Vektorfelder auf Sphären.- Literatur.- C. Ausblicke.- 12. Non-Standard Analysis.- §1. Einführung.- §2. Der Non-Standard Zahlbereich *?.- 1. Konstruktion von *?.- 2. Eigenschaften von *?.- §3. Gemeinsamkeiten von ? und *?.- §4. Differential-und Integralrechnung.- 1. Differentiation.- 2. Integration.- Epilog.- Literatur.- 13. Zahlen und Spiele.- §1. Einleitung.- 1. Der traditionelle Aufbau der reellen Zahlen.- 2. Die Conwaysche Methode.- 3. Übersicht.- §2. Conwayspiele.- 1. Diskussion der Dedekindschen Postulate.- 2. Conways Modifikation der Dedekindschen Postulate.- 3. Conwayspiele.- §3. Spiele.- 1. Der Spielbegriff.- 2. Beispiele für Spiele.- 3. Ein Induktionsprinzip für Spiele.- §4. Zur Theorie der Spiele.- 1. Gewinnstrategien.- 2. Positive und negative Spiele.- 3. Eine Einteilung der Spiele. Gleichwertigkeit von Spielen.- § 5. Eine halbgeordnete Gruppe äquivalenter Spiele.- 1. Das Negative eines Spiels.- 2. Die Summe zweier Spiele.- 3. Isomorphe Spiele.- 4. Eine Halbordnung der Spiele.- 5. Gleichheit von Spielen.- §6. Spiele und Conwayspiele.- 1. Die grundlegenden Abbildungen.- 2. Übertragung der für Spiele definierten Relationen und Operationen auf Conwayspiele.- 3. Beispiele.- §7. Conwayzahlen.- 1. Die Conwayschen Postulate (C1 und (C2).- 2. Elementare Eigenschaften der Ordnung.- 3. Beispiele.- §8. Der Körper der Conwayzahlen.- 1. Die Rechenoperationen für Zahlen.- 2. Beispiele.- 3. Eigenschaften des Körpers der Zahlen.- Literatur.- 14. Mengenlehre und Mathematik.- §1. Mengen und die Objekte der Mathematik.- 1. Urelemente und höhere Objekte.- 2. Mengentheoretische Definition höherer Objekte.- 3. Urelemente als Mengen.- §2. Axiomensysteme der Mengenlehre.- 1. Die Russellsche Antinomie.- 2. Zermelosche und Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre.- 3. Einige Folgerungen.- 4. Mengenlehre mit Klassen.- §3. Einige metamathematische Aspekte.- 1. Die von Neumannsche Hierarchie.- 2. Das Auswahlaxiom.- 3. Unabhängigkeitsbeweise.- Epilog.- Literatur.- Namenverzeichnis.- Porträts berühmter Mathematiker.