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Mathematische Methoden der Elektrodynamik

1.1 Vektor- und Tensoralgebra

Wir wählen im dreidimensionalen Raum ein rechtwinkliges und geradliniges (kartesisches) Koordinatensystem . Der Raum werde als Euklidisch angenommen. Das bedeutet, dass in ihm die Axiome der Euklidischen Geometrie und deren Folgerungen erfüllt sind, die man aus der Schulmathematik kennt. Zum Beispiel berechnet sich das Quadrat des Abstands zwischen zwei eng benachbarten Punkten gemäß folgender Beziehung:

Neben dem ursprünglichen betrachten wir noch weitere ebensolche Koordinatensysteme, die alle denselben Koordinatenursprung haben, aber gegenüber dem ursprünglichen System gedreht sind (siehe Abb. 1.1).

Abb 1.1 Drehung des Koordinatensystems

Als Skalar oder Invariantebezeichnet man eine Größe, die ihren Wert bei einer Drehung des Koordinatensystems nicht ändert, d.h. sie hat ein und denselben Wert im ursprünglichen und im gedrehten Koordinatensystem:

So ist insbesondere

Ein Vektor im dreidimensionalen Raum ist durch drei Komponenten charakterisiert, die bezüglich jedes der Koordinatensysteme de?niert sind und sich bei Drehung derselben nach der Beziehung

transformieren, wobei über die Größen mit den sich wiederholenden Indizes von 1 bis 3 zu summieren ist. Die sind die Projektionen des Vektors auf die entsprechenden -Achsen des ursprünglichen Koordinatensystems, die die Projektionen auf die -Achsen des gedrehten Koordinatensystems und die Transformationskoe?zienten die Kosinus der Winkel zwischen der jeweiligen -Achse des ursprünglichen und der -Achse des gedrehten Koordinatensystems, die man als Skalarprodukt der Einheitsvektoren in Richtung der entsprechenden Koordinatenachsen schreiben kann:

(1.4)

Ein Tensor zweiter Stufe im dreidimensionalen Raum ist eine neunkomponentige Größe ( ), die in allen Koordinatensystemen de?niert ist und sich bei Drehung des Koordinatensystems wie das Produkt der Komponenten zweier Vektoren folgendermaßen transformiert:

Analog hat ein Tensor s-ter Stufe s Indizes und transformiert sich wie das Produkt von s Vektorkomponenten:

Skalare und Vektoren kann man als Tensoren nullter bzw. erster Stufe betrachten.

Eine Drehmatrix hat folgende Eigenschaften:

1. Orthogonalität: (1.7) Für das Kroneckersymbol gilt: (1.8)
2. Die Determinante der Drehmatrix ist gleich eins: (1.9)
3. Das Produkt zweier Drehmatrizen (1.10) beschreibt die Drehung eines Koordinatensystems, die sich ergibt, wenn man zuerst eine Drehung mit der Matrix und anschließend eine mit der Matrix durchführt.
4. Die inverse Matrix bewirkt die inverse Transformation (1.11) Sie ist durch die Beziehungen (1.12)

   de?niert. Man erhält sie aus der Ausgangsmatrix als transponierte Matrix, d.h. durch Vertauschen der Zeilen mit den Spalten und umgekehrt:

   (1.13)

Während sich Vektoren bei Drehungen immer gemäß Gleichung (1.3) transformieren, können sie sich auf zwei verschiedene Arten bei der Inversion des Koordinatensystems verhalten, bei der die Koordinaten gemäß

ihr Vorzeichen umkehren. Die Transformationsmatrix ist hierbei Diejenigen Vektoren, deren Komponenten ebenso wie die Koordinaten bei der Inversion ihr Vorzeichen ändern, nennt man polare Vektoren. Vektoren, deren Komponenten bei der Inversion des Koordinatensystems ihr Vorzeichen nicht ändern, nennt man axiale oder Pseudovektoren(z. B. die Winkelgeschwindigkeit, das Vektorprodukt zweier polarer Vektoren A × B usw.). Diese De?nition umfasst auch Tensoren beliebiger Stufe s: Die Komponenten polarer (echter) Tensoren werden bei der Inversion mit multipliziert, die Komponenten der Pseudotensoren mit

Ein Tensor wird symmetrisch (antisymmetrisch) bezüglich eines Indexpaares und genannt, wenn die Komponenten die Bedingungen

erfüllen.

Sehr wichtig für die Anwendung sind die invarianten Einheitstensoren und Der erstere ist ein polarer, symmetrischer Tensor, dessen Komponenten mit dem Kroneckersymbol (1.8) übereinstimmen. Der zweite Tensor ist ein bezüglich beliebiger Indexpaare antisymmetrischer Pseudotensor mit dessen übrige Komponenten entweder gleich oder 0 sind.1 In beiden Tensoren behalten die Komponenten ihre Werte bei Transformationen gemäß der Gleichung (1.6) in allen Koordinatensystemen bei.

Die Summe zweier Tensoren gleicher Stufe ist ein dritter Tensor derselben Stufe mit den Komponenten

Aus den direkten Produkten der Komponenten zweier Vektoren (ohne Summation) ergibt sich ein Tensor, dessen Stufe gleich der Summe der Stufen der Tensor-Faktoren ist, z. B.

wobei ein Tensor dritter Stufe ist.

Unter der Kontraktion eines Tensors2 versteht man die Erzeugung eines neuen Tensors, dessen Komponenten dadurch gebildet werden, dass man die Komponenten mit zwei gleichen Indizes auswählt und über diese summiert. Zum Beispiel ist ein Vektor und ein anderer Vektor. Im Ergebnis der Kontraktion verringert sich die Stufe des Tensors um 2. So ist insbesondere

ein Skalar. Ein komplizierteres Beispiel einer Kontraktion erhalten wir, wenn wir die Komponenten des Vektorproduktes C = A ×B mit Hilfe des antisymmetrischen Einheitstensors bilden:

Dabei ergibt sich der Vektor als Resultat der Kontraktion des Tensors mit dem antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe

Beim Aufschreiben von Gleichungen zwischen Tensoren muss man beachten, dass sie die gleiche Dimensionalität haben: Man kann nur Tensoren gleicher Stufen gleichsetzen. Das bedeutet, dass die Zahl der freien Indizes (über die nicht summiert wird) auf der linken und der rechten Seite einer Gleichung identisch sein muss. Die Zahl der ,,stummen" Indizes, über die summiert wird, kann rechts und links beliebig sein.

Beispiel 1.1: Man bringe den reellen ( ) symmetrischen ( ) Tensor zweiter Stufe in Diagonalform, d.h. man ?nde ein solches Achsensystem, in dem nur die Diagonalkomponenten des Tensors von Null verschieden sind.

Lösung: Wir stellen ein algebraisches Gleichungssystem

zur Bestimmung der Eigenvektoren und der Hauptwerte S des betrachteten Tensors auf. Die Eigenvektoren werden wir auf eins normieren: Aus Gleichung (1.20) und den Eigenschaften des Tensors ?nden wir, dass die Eigenwerte S reelle Skalare sind: Sie werden aus der Bedingung berechnet, dass die Determinante des Gleichungssystems (1.20) gleich Null ist:

Das ist eine algebraische Gleichung dritten Grades in S, die drei reelle Lösungen hat. Im allgemeinen Fall sind diese voneinander verschieden. Jedoch sind auch mehrfache Lösungen entweder in der Form oder möglich. Hierbei sind die Indizes in Klammern keine Tensorindizes!

Wenn wir im Falle verschiedener Lösungen die gefundenen Werte S der Reihe nach in das Gleichungssystem (1.20) einsetzen, drücken wir zwei Projektionen jedes der Eigenvektoren durch die dritte aus, die durch die Normierungsbedingung bestimmt wird. Alle Eigenvektoren sind reell, weil die Koe?zienten des Gleichungssystems (1.20) reell sind. Sie stehen paarweise senkrecht aufeinander, was aus demselben Gleichungssystem folgt, z. B. und in analoger Weise für die anderen Paare. Verwendet man die Eigenvektoren als Einheitsvektoren eines Koordinatensystems (sie bestimmen die Hauptachsen des Tensors), so ?ndet man aus (1.20) die Gestalt des Tensors in...