Das vorliegende Lehrbuch bietet eine moderne Einführung in die Differentialgeometrie etwa im Umfang einer einsemestrigen Vorlesung. Zunächst wird die Geometrie von Flächen im Raum behandelt. Hierbei wird die geometrische Anschauung des Lesers anhand vieler Beispiele gefördert, deren wichtigste Klasse die Minimalflächen bilden. Zu ihrem Studium werden analytische Methoden entwickelt, und in diesem Zusammenhang wird auch das Plateausche Problem, eine Minimalfläche mit vorgegebener Berandung zu finden, gelöst. Als Beispiel einer globalen Aussage der Differentialgeometrie wird der Bernsteinsche Satz bewiesen. Weitere Kapitel behandeln die innere Geometrie von Flächen, einschließlich des Satzes von Gauss-Bonnet und einer ausführlichen Darstellung der hyperbolischen Geometrie. Verschiedene geistesgeschichtliche Bemerkungen runden diesen Text ab, welcher durch seine Verbindung von geometrischen Konstruktionen und analytischen Methoden einem zentralen Trend der modernen mathematischen Forschung folgt. Das erste Lehrbuch, das eine gründliche Einführung in die Theorie der Minimalflächen gewährleistet.
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ISBN-13
978-3-662-06718-5 (9783662067185)
DOI
10.1007/978-3-662-06718-5
Schweitzer Klassifikation
1. Raumkurven; die Frenetschen Formeln.- 2. Flächen im E3; die erste Fundamentalform.- 3. Die zweite Fundamentalform. Krümmung von Flächen.- 4. Minimalflächen. Das Plateausche Problem.- 5. Das Gaußsche Theorema egregium. Die innere Geometrie von Flächen. Zweidimensionale Riemannsche Geometrie.- 6. Eigenschaften geodätischer Linien. Der Satz von Gauß-Bonnet.- Bibliographie.
