Einleitung

In dieser Einleitung erfahren Sie etwas über Aufbau, Inhalte und Grundideen dieses Buchs. Es werden auch die verwendeten Symbole erklärt.

Törichte Annahmen über den Leser

Wenn Sie dieses Buch gekauft haben,

• sind Sie vielleicht eine verzweifelte Mutter oder ein überforderter Vater und wollen Ihrem Kind trotzdem bei den Matheaufgaben helfen,
• standen Sie in der Schule selbst mit Mathe auf Kriegsfuß oder haben sehr viel vergessen,
• sind Sie einfach an Mathe interessiert und wollen über einige schöne Beispiele nachdenken.

Wie auch immer, Sie sollen mithilfe dieses Buchs spüren, dass Mathe Freude bereiten kann oder wenigstens verstehen, warum es Menschen gibt, die gerne Mathe treiben.

Übrigens: Denken Sie doch einmal darüber nach, für welche Tätigkeiten man das Wort »treiben« verwendet. Meist machen sie Spaß!

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch hat sieben Teile, die jeweils in mehrere Kapitel untergliedert sind. Wundern Sie sich nicht, es wird nur ein Teil des Unterrichtsstoffs der Sekundarstufe behandelt, nämlich Arithmetik, Algebra und ein paar Grenzbereiche zur Geometrie. Mehr wäre zu viel für ein Buch gewesen. Die ausgewählten Gebiete sind erfahrungsgemäß gerade diejenigen, die am häufigsten Probleme bereiten und in denen es Schülerinnen und Schülern oft an Grundvorstellungen mangelt.

Teil I: Zahlen und ihre Darstellung

Teil I beschäftigt sich mit der vermeintlich simplen Frage, was Zahlen sind und wie man sie darstellen kann.

In Kapitel 1 beginnen wir mit den natürlichen Zahlen. Mit natürlichen Zahlen gibt man zum Beispiel an, wie viele Schafe eine Herde hat (mathematisch ausgedrückt: wie viele Elemente eine Menge von Schafen hat). In unserem Kulturkreis schreibt man Zahlen mit Ziffern im Dezimalsystem. Diesem liegen zwei grundlegende Prinzipien zugrunde: das Prinzip der Bündelung und das Stellenwertprinzip.

Die Mathematik wird oft als die »Wissenschaft von den Mustern« bezeichnet. Einen Eindruck davon können Sie bekommen, wenn Sie die Zahlenmuster in Kapitel 2 betrachten. Kapitel 2 beschäftigt sich außerdem mit Primzahlen. Sie werden sehen, dass Primzahlen für die natürlichen Zahlen eine Art Grundbausteine sind - wie die chemischen Elemente für den Aufbau der Materie. In Kapitel 2 finden Sie einen besonders schönen Beweis für die Tatsache, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

In Kapitel 3 kommen Brüche, negative und irrationale Zahlen ins Spiel. Mit diesen Zahlen sind Vorstellungsumbrüche verbunden, die manchmal für Schwierigkeiten sorgen. Zum Beispiel müssen sich Schülerinnen und Schüler von der Idee verabschieden, dass es zu einer Zahl eine nächstgrößere oder nächstkleinere gibt.

Teil II: Rechnen mit Zahlen

In Teil II geht es um das grundlegende Handwerkszeug der Mathematik, nämlich um Rechenregeln und -verfahren.

In Kapitel 4 wiederholen Sie die Regeln für die Grundrechenarten bei natürlichen Zahlen und sehen, wie sich die beiden gebräuchlichsten Verfahren für die schriftliche Subtraktion unterscheiden.

Rechnen mit rationalen und irrationalen Zahlen wird in Kapitel 5 behandelt. Hier gibt es ein paar Stolperschwellen zu beachten.

Teil III: Rechnen mit Buchstaben: Variablen, Terme und Gleichungen

Der umfangreiche Teil III ist der Algebra gewidmet. Algebra ist einer der bedeutendsten Teilbereiche der Schulmathematik. Hier werden entscheidende Grundlagen für die höheren Klassenstufen und darüber hinaus gelegt.

In Kapitel 6 lernen Sie verschiedene Sichtweisen zum Begriff der Variablen kennen. Dies gehört zum Kern der Mathematik in Schule und Wissenschaft. Viele Probleme haben ihre Ursache in fehlendem Verständnis für Variablen.

Rechnet man mit Buchstaben, so bedeutet das, Terme zu verwenden und umzuformen. Darum geht es in Kapitel 7.

In Kapitel 8 erfahren Sie, was Potenzen sind - und zwar sogar allgemeine Potenzen, das heißt auch solche, deren Exponenten (Hochzahlen) negative Zahlen oder Brüche sind.

Kapitel 9 ist das längste Kapitel in diesem Buch. Auch in der Schule wird dem Lösen von Gleichungen viel Raum gegeben, schließlich handelt es sich um das Herzstück der Algebra. Wie auch an anderer Stelle werden Bezüge zur Geometrie deutlich.

Teil IV: Größen und Einheiten

In Sachaufgaben geht es meist um Größen. Das können Zeitspannen, Gewichte, Geldbeträge, aber auch geometrische Größen sein.

In Kapitel 10 wird zunächst geklärt, was man unter einer Messung versteht. Dies ist eine Grundlage für die weiteren Überlegungen und unterstützt das Verständnis beim Umgang mit Größen.

Beim Rechnen mit Größen gibt es einige Besonderheiten und Fallstricke. Damit beschäftigt sich Kapitel 11.

Teil V: Funktionen und ihre Graphen

Mit Funktionen wird beschrieben, wie verschiedene Größen voneinander abhängen. Wie sich also eine Größe ändert, wenn eine andere variiert wird. Dafür gibt es zahlreiche Anwendungen. Um die Grundlagen zu verstehen, ist es aber auch sinnvoll, kontextfreie Beispiele zu bearbeiten.

Zunächst bietet Kapitel 12 eine Einführung in die Thematik, in der bereits drei relativ anspruchsvolle Beispiele vorkommen.

Kapitel 13 beschäftigt sich mit einfachen Funktionen, den Proportionalitäten. Eine besonders wichtige Anwendung ist die Prozentrechnung, die ausführlich behandelt wird.

Funktionen können in verschiedenen Darstellungsweisen repräsentiert sein. Es gibt zum Beispiel Wertetabellen, Funktionsgleichungen und Graphen. Letztere sind Thema in Kapitel 14. Am Graphen lassen sich die wesentlichen Informationen besonders leicht ablesen und interpretieren. Dies gilt insbesondere auch für funktionale Zusammenhänge, für die keine Funktionsgleichung bekannt ist.

In Kapitel 15 wird erläutert, was mit mathematischem Modellieren gemeint ist. Das hat nichts mit Tonfiguren oder Modellflugzeugen zu tun, sondern mit der mathematischen Bearbeitung von Sachverhalten aus dem Alltag. Erfolgreiche Modellierung gemessener Daten kann Prognosen für Werte ermöglichen, die nicht gemessen wurden.

Teil VI: Mathematische Probleme und Sachaufgaben

Mathematisch gebildete Menschen haben Vorteile auf dem Arbeitsmarkt, weil sie als gute Problemlöser gelten. Im letzten fachlichen Teil dieses Buchs gibt es Anregungen dafür, wie man lernen kann, Probleme zu lösen. Dabei spielt auch die Sprache eine wichtige Rolle, weil man, um Probleme lösen zu können, Texte verstehen und formulieren muss.

In Kapitel 16 geht es um die Frage, welche Hilfsmittel und Strategien beim Problemlösen helfen können. Macht man sich bewusst, welche Strategien bei bestimmten Problemen besonders erfolgreich sind, erleichtert das die Bearbeitung neuer Aufgaben.

Die Bearbeitung von Textaufgaben erfordert sprachliche Kompetenzen. Zwar gibt es keine Rezepte, aber einige unterstützende Anregungen sind in Kapitel 17 zu finden.

Teil VII: Top-Ten-Teil

Eine Liste von zehn Irrtümern über Mathematik rundet dieses Buch ab. Sie werden sehen, dass es eigentlich weniger um die Irrtümer geht, sondern vielmehr um ein paar damit verknüpfte Gedanken, die zeigen, warum Mathematik so toll ist.

Was Sie nicht lesen müssen

Natürlich will ich Sie eigentlich dazu animieren, das Buch ganz zu lesen. Aber das muss nicht sein. Es gibt Stellen, die eher in die Tiefe gehen und für das Gesamtverständnis nicht zwingend erforderlich sind. Sie sind an dem Techniker-Symbol erkennbar oder in grau hinterlegten Kästen untergebracht.

Sie müssen das Buch auch nicht Seite für Seite von vorne bis hinten lesen. Blättern Sie durch, suchen Sie im Inhaltsverzeichnis oder bei den Stichworten nach Themen, die Sie interessieren. Vielleicht tut es Ihnen auch gut, wenn Sie zwischendurch Pausen machen und das Buch eine Weile weglegen.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Insgesamt werden in diesem Buch fünf Symbole verwendet.

Dieses Symbol steht für ein ausführliches Beispiel. Kurze Beispiele gibt es zwar auch, sie werden aber nicht extra hervorgehoben. Da es viele Beispiele in diesem Buch gibt, werden Sie dem Symbol oft begegnen.

An manchen Stellen wird eine mathematische Definition formuliert. Die Lupe weist darauf hin. Sie wurde sehr sparsam verwendet.

Mit diesem Symbol sind kurze zusammenfassende Texte markiert, die Sie sich merken sollten. Sie enthalten die zentrale Botschaft eines Abschnitts oder gar eines ganzen Kapitels.

In der Mathematik gibt es bekanntlich einige Fallgruben und typische Fehler. In diesem Buch werden sie nicht nur benannt und mit dem explodierenden Stern gekennzeichnet, sondern Sie bekommen auch Vorschläge zur Behebung oder Vermeidung solcher Stolperstellen.

Mit dem Techniker-Symbol sind Stellen markiert, an denen es mathematisch in die Tiefe...