Kosmologie

1.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Der Erste Hauptsatz besagt nichts anderes, als dass unterschiedliche Energieformen, wie z.B. Arbeit oder Wärme, ineinander umwandelbar sind, wobei die Energie dem Betrag nach erhalten bleibt. Folglich ist der Erste Hauptsatz im Prinzip ein Energieerhaltungssatz. Generell setzt sich die Energie E eines Systems zusammen aus der Arbeit W, die im System verrichtet wird, und einer Wärmemenge Q. Als Gleichung geschrieben bedeutet das: E = W + Q.

Eine Änderung der Energie bedingt somit eine Änderung in der Arbeit oder der Wärme oder eine Änderung beider Größen. Bezeichnen wir die Änderungen mit einem ?, so lautet die Gleichung:

(1.1)

Das ?Q in (1.1) bezeichnet man übrigens auch als Abwärme.

1.6 Rudolf Clausius (1822-1888)

An dieser Stelle kommt nun Rudolf Clausius (1822-1888) ins Spiel. Er hat sich diese (Ab-)Wärme Q genauer angesehen und eine weitere Größe eingeführt, die zu der Wärmeänderung ?Q in Beziehung steht. Clausius stellte fest, dass mit einer Änderung der Wärme Q bei einer gegebenen Temperatur T auch die Änderung einer neuen Größe S verbunden ist, die er Entropie nannte:

(1.2)

Dass in (1.2) die linke und die rechte Seite gleich sind, d.h. dass ein Gleichheitszeichen zu stehen kommt, gilt nur im Falle idealisierter Prozesse, die reversibel verlaufen, die also als Kreisprozesse in einer Schleife ohne Verluste wieder am Ausgangspunkt ankommen. Beispielsweise könnte ein ideal elastischer Gummiball, den man aus einer gewissen Höhe auf eine Steinplatte fallen lässt, dort abprallen und wieder auf die Ausgangshöhe zurückspringen. Dazu dürfte aber die Wärme, die beim Aufprall des Balles durch dessen Verformung entsteht, nicht verlorengehen, sondern müsste komplett wieder in Bewegungsenergie umgewandelt werden und zur Bewegungsenergie des zurückprallenden Gummiballes beitragen. Bislang hat man Derartiges jedoch noch nicht beobachtet.

1.7 Sadi Carnot (1796-1832)

Mit solchen sogenannten idealen Kreisprozessen hat sich auch Sadi Carnot beschäftigt. Anstelle von Gummibällen untersuchte er das Verhalten von in einen Zylinder mit beweglichem Kolben eingesperrten Gasen und ob man damit Arbeit verrichten könne. Zu diesem Thema hatten bereits Robert Boyle (1626-1691) und Edme Mariotte (1620-1684) sowie Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850) Vorarbeit geleistet und festgestellt, dass der Druck eines in einem Zylinder eingesperrten Gases multipliziert mit seinem Volumen eine Prozesskonstante darstellt, dass also gilt:

(1.3)

Demnach nimmt der Gasdruck ab, wenn man durch ein Herausziehen des Kolbens aus dem Zylinder das Volumen des Gases vergrößert und umgekehrt. Am Produkt p mal V ändert sich nichts. Später stellte sich heraus, dass sich die Konstante aus drei Größen zusammensetzt: der Anzahl N der Moleküle in dem betrachteten Gasvolumen, der Temperatur des Gases und einer weiteren Konstante k, auf die wir noch zu sprechen kommen. Damit können wir Gleichung (1.3) erweitern zu

(1.4)

Diese Gleichung wird auch als ideale Gasgleichung bezeichnet. Dabei werden die Teilchen eines idealen Gases als punktförmige, d.h. ausdehnungslose Masseteilchen angenommen, die sich frei im Raum bewegen können und Energie und Impuls nur über elastische Stöße austauschen.

Warum wir diese Gleichung anführen, hat damit zu tun, dass wir für das ?W in Gleichung (1.1), also für die zu verrichtende Arbeit, einen entsprechenden mathematischen Ausdruck benötigen, den wir anstelle von W setzen können. Denn wenn wir das Volumen unseres Gases in dem Zylinder verkleinern wollen, so müssen wir an dem Kolben Arbeit verrichten, wobei sich der Druck erhöht. Druck mal Volumen ist also eine Arbeit. Und da wir diese Arbeit in das System hineinstecken, muss sie ein negatives Vorzeichen haben. Schreiben wir also Gleichung (1.1) neu an und verwenden anstelle der Wärme Q den gemäß Gleichung (1.2) nach Q umgestellten Ausdruck

(1.5)

dann transformiert sich (1.1) zu

(1.6)

Dass nun anstelle des Symbols ? ein d steht, hat damit zu tun, dass wir uns auf beliebig kleine Veränderungen beschränken wollen, so dass wir die differenzielle Schreibweise mit dem Buchstaben d benutzen können.

Kommen wir nochmals zurück zur Gleichung (1.2). Wenn es sich um einen Kreisprozess handelt, der ohne Verluste abläuft, dann steht, wie schon erwähnt, anstelle des Zeichens = das Gleichheitszeichen. In der Praxis kommen aber solche idealisierten Prozesse nicht vor. Mit dem Ball, den wir haben fallen lassen, klappt es schon deswegen nicht, weil es keine vollkommen elastischen Körper gibt. Noch klarer wird die Sache, wenn wir ein Hühnerei fallen lassen. Zunächst veranstalten wir damit eine ziemliche Sauerei. Betrachtet man den Matsch jedoch genauer, so zeigt sich: Er hat sich etwas erwärmt. Verantwortlich dafür ist die Gravitation, die an dem Ei Arbeit verrichtet hat. Da aber die ursprünglichen Bestandteile des Eies nach wie vor vorhanden sind, könnte man doch - rein theoretisch - die Energie, die in dieser Abwärme steckt, dazu nutzen, das Ei wieder zusammenzusetzen und gegen die Schwerkraft unversehrt zum Ausgangspunkt hochzuheben. Das funktioniert aber nicht, zumindest hat man so etwas noch nie beobachtet. Fazit: Diese Größe S, die Entropie, die spuckt uns, salopp gesagt, in die Suppe. Doch bevor wir uns mit diesem Problem näher befassen, kehren wir kurz zurück zur Gleichung (1.6). Aus Gründen der Vollständigkeit muss neben den Termen -p dV und T dS noch ein dritter Term in Betracht gezogen werden, der ebenfalls zur Gesamtenergie E beiträgt. Es spricht ja nichts dagegen, dem System noch N weitere Teilchen mit anderen (z.B. chemischen) Eigenschaften hinzuzufügen. Damit erweitert sich Gleichung (1.6) zu

(1.7)

wobei µ, das die Dimension Joule pro Mol hat, für das chemische Potential der jeweiligen Teilchenart steht. Mit anderen Worten: Die Größe µ beschreibt, wie sich die Energie eines Systems ändert, wenn dem System Teilchen hinzugefügt bzw. entnommen werden. Je nachdem, welche Eigenschaften diese Teilchen haben, wirken sie sich auf das System aus. Für die weiteren Betrachtungen ist der Beitrag µ·dN jedoch ohne Belang, wir dürfen ihn daher gleich wieder vergessen.

Fassen wir kurz zusammen. Der Energieerhaltungssatz - Gleichung (1.7) - zählt zu den Grundpfeilern der Thermodynamik, weshalb man ihn auch als Ersten Hauptsatz der Thermodynamik bezeichnet. Er besagt: Soll sich an der Gesamtenergie eines Systems etwas ändern, so muss entweder Arbeit verrichtet, Wärme zu- oder abgeführt, oder es müssen dem System irgendwelche Teilchen hinzugefügt bzw. entnommen werden. Ferner hat sich gezeigt: Die Größe dS, die Änderung der Entropie, wird bestenfalls dann gleich null, wenn man es mit reversiblen Kreisprozessen zu tun hat. Da in der realen Welt derartige Prozesse jedoch nicht vorkommen, gilt dort dS > 0, d.h., in einem abgeschlossenen System nimmt die Entropie ohne äußeres Zutun immer zu. Damit zerplatzte bereits sehr früh ein Traum, der vermutlich sogar älter als die Thermodynamik ist: eine Maschine, die ohne äußeres Zutun ewig Arbeit verrichten könnte. Die Energieerhaltung in Form der Gleichung (1.7) schlägt diesem Wunsch die Türe zu.

In der Thermodynamik kommt der Entropie eine entscheidende Rolle zu. Der Schlüssel zum Verständnis der Thermodynamik liegt in der Deutung dieser Größe, also darin, wie dieser Begriff zu interpretieren ist. Man hat erkannt, dass die Entropie etwas mit der Ordnung in einem System zu tun hat. Anders ausgedrückt: Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung in einem System. Machen wir das anhand eines geordneten Papierstapels mit 100 durchnummerierten Blättern deutlich. Schusselig wie Physiker sind, fällt uns der Stapel aus der Hand, und als wir ihn wieder aufheben, stellen wir fest, dass sich vier Blätter nicht mehr an den richtigen Stellen befinden. Da wir nicht nur schusselig, sondern auch zu faul sind, die Blätter neu zu ordnen, kommen wir auf die Idee, den Stapel erneut zu Boden fallen zu lassen, in der Hoffnung, dass sich die Fehler wieder korrigieren. Leider zeigt sich, dass nun nicht nur vier, sondern viel mehr Blätter »verrutscht« sind. Ein weiterer Fallversuch ergibt sogar ein noch größeres Durcheinander. Doch warum ist das so? Woher kommt das? Gibt es etwa ein Gesetz, wonach zu Boden fallende Papierstapel in Unordnung geraten müssen? Wieso nimmt die Unordnung zu? Grundsätzlich wäre es doch möglich, dass sich die Ordnung des Stapels beim Hinunterfallen wieder verbessert. Physikalisch spricht da nichts dagegen. Denn jeder »Fallversuch« hat zum Ergebnis, dass sich eine der vielen möglichen Anordnungen der Blätter einstellt. Und damit sind wir schon bei der Lösung des Problems: Es gibt viel mehr Anordnungen, die ein höheres Maß an Unordnung aufweisen, als die wenigen, nahezu geordneten...