E1
Wellenausbreitung im Baugrund

1 Grundlagen

Ein durch stationäre oder impulsförmige dynamische Kräfte belasteter Gründungskörper an der Erdoberfläche oder im Untergrund (Fundament, Pfahlgründung, unterirdisches Bauwerk) führt aufgrund der Interaktion mit dem Boden Schwingungen aus. Diese Schwingungen breiten sich von der Schwingungsquelle in Form von Wellen im umgebenden Untergrund aus.

Wenn das Material des Baugrunds sich entsprechend einem elastischen Spannungs-Verzerrungs-Gesetz verformt, pflanzen sich Schwingungen als elastische Wellen fort. Bei der Fortpflanzung von elastischen Wellen wird nur Energie transportiert, aber keine Masse. Im folgenden werden nur Wellen in einem linear-elastischen Material (Hookesches Gesetz) - in Abschnitt 4.1 auch mit Dämpfung - betrachtet.

2 Wellenarten in homogenen, inhomogenen und geschichteten Medien

2.1 Vorbemerkungen

Die einfachste Wellenart ist die so genannte eindimensionale, harmonische Welle. Sie wird mathematisch dargestellt durch die Beziehung:

mit

Die Beziehung (E1-1) stellt die sich in der positiven x-Richtung fortpflanzende physikalische Größe a - z. B. Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Verformung, Spannung - dar. A ist die Amplitude (maximaler Ausschlag) der Größe a. Die Amplitude A bleibt konstant, sofern keine Dämpfung vorhanden ist.

Bild E1-1 gibt die Darstellung einer eindimensionalen Welle zu zwei verschiedenen Zeitpunkten t = 0 und t = t1 an.

Bei einer dreidimensionalen Wellenausbreitung ist die mathematische Darstellung komplizierter, da die eindimensionale Koordinate x in Gleichung (E1-1) durch einen dreidimensionalen Ortsvektor zu ersetzen ist [1]. Statt der hier gewählten Schreibweise mit reellen Größen ist auch die Darstellung mit komplexen Größen möglich und oft vorteilhafter.

2.2 Raumwellen

In einem unbegrenzten elastischen homogenen isotropen Körper (Vollraum) können lediglich zwei Typen von Wellen, die so genannten Raumwellen, unabhängig voneinander existieren (Bild E1-2):

• Kompressionswelle (P-Welle, Druckwelle, Longitudinalwelle),
• Scherwelle (S-Welle, Schubwelle, Transversalwelle).

Die Wellengeschwindigkeiten ergeben sich entsprechend den Gleichungen (E1-2) und (E1-3).

Kompressionswelle

Bild E1-1 Eindimensionale Welle zu den Zeitpunkten t = 0 und t = t1

Bild E1-2 Raumwellentypen: Kompressionswelle (a), Scherwelle (b)

Scherwelle

mit

In einem Halbraum treten zusätzlich Oberflächenwellen auf.

2.3 Oberflächenwellen

Ein Baugrund mit einer annähernd ebenen Oberfläche kann auf einen unendlich ausgedehnten, mit einer freien Fläche begrenzten Körper (Halbraum) abgebildet werden. In einem solchen System pflanzen sich Schwingungen entlang der Oberfläche als Oberflächenwellen fort. Im Spezialfall des homogenen Halbraums werden sie Rayleighwellen genannt. Diese Wellen haben u. a. folgende Eigenschaften:

• Sie breiten sich parallel zur Oberfläche mit der Wellengeschwindigkeit cR aus.
• Die Teilchenbewegung besteht aus einer Kombination von Vertikal- und Horizontalschwingungen, die eine Ellipsenbahn bildet (Bild E1-3).
• Die Amplitude der Vertikal- bzw. der Horizontalschwingung nimmt mit der Tiefe rasch ab (Bild E1-3).

Bild E1-3 Verlauf der horizontalen und vertikalen Schwingamplituden UR(z') und VR(z') der freien Rayleighwelle über die Tiefe z' = z/?R bezogen auf die vertikale Schwingamplitude an der Oberfläche VR(0)

• Für die effektive Eindringtiefe der Wellen in den Halbraum wird rund eine Wellenlänge angesetzt (Bild E1-3).
• Die Ausbreitungsgeschwindigkeit cR der Rayleighwellen hängt von der Querdehnzahl ? ab und entspricht näherungsweise 90 % der Scherwellengeschwindigkeit. Eine etwas genauere Näherung erhält man nach [21] zu

• Grundwasser beeinflusst die Ausbreitung der Wellen nur in geringem Maß.

In geschichteten Medien können weitere Typen von Oberflächenwellen, z. B. Love-Wellen, auftreten.

3 Lage der Schwingungsquelle

3.1 Quelle an der Oberfläche

Bei einer Wellenquelle an der Oberfläche - z. B. einem schwingenden Fundament (Bild E1-4 aus [2]) - bestimmen im Nahfeld überwiegend Raumwellen (P-, S-Wellen) die Ausbreitungscharakteristik, wohingegen ab einer Entfernung von rund einer Wellenlänge ?R von der Quelle (Fernfeld) sich die Schwingungen an der Oberfläche hauptsächlich in Form von Oberflächenwellen ausbreiten. Diese Zusammenhänge gelten bei impulsförmiger Erregung für die der vorherrschenden Frequenz entsprechenden Wellenlänge. Bei breitbandigem Frequenzspektrum eines Impulses kann ein solcher Zusammenhang nicht angegeben werden.

Die Abnahme der Amplitude an der freien Oberfläche mit der Entfernung r von der Wellenquelle aufgrund der Ausbreitung - auch geometrische Dämpfung oder Abstrahlungsdämpfung genannt - kann näherungsweise mit der Beziehung

Bild E1-4 Wellentypen an einem stationär harmonisch schwingenden Fundament (Punktquelle); die Entfernung zur Quelle gibt die relative Wellengeschwindigkeit an [2]

beschrieben werden. Darin sind r und r0 die Entfernungen des betrachteten Punktes (Amplitude A) bzw. eines Referenzpunktes (Amplitude A0) von der Wellenquelle.

In Tabelle E1-1 sind die Exponenten angegeben, in Bild E1-5 die entsprechenden Ausbreitungsgesetze. Der Exponent n ist abhängig von:

• dem Typ der Schwingungen: harmonisch/stationär (HS), impulsförmig (I),
• der Form der Wellenquelle: Punktquelle (PQ), Linienquelle (LQ),
• dem Wellentyp: Raumwellen (R), Oberflächenwellen (O)

Tabelle E1-1 Exponent n zu Gleichung (E1-5)

Die Erhöhung der Exponenten bei impulsförmiger Erregung ergibt sich aus den frequenzabhängigen Eigenschaften des natürlichen Baugrunds (Dispersion). Es handelt sich um experimentell ermittelte Näherungswerte. Bei Gewinnungssprengungen wurden aus Erschütterungsmessungen auch in größerer Entfernung I/PQ/O-Exponenten größer als 1,0 ermittelt [3].

Bild E1-5 Amplitudenabnahme bei der Wellenausbreitung an der Oberfläche entsprechend Gleichung (E1-5) und Tabelle E1-1

Bei in ihrer Ausdehnung begrenzten Linienquellen (lange Fundamente) entspricht der Exponent in unmittelbarer Nähe dem der Linienquelle und nähert sich mit wachsender Entfernung dem der Punktquelle an [4]. Fundamente mit Seitenabmessungen in der Größenordnung von mehr als einer halben Wellenlänge können nicht mehr als eine Punktquelle betrachtet werden. Züge können...