Topology of Algebraic Curves

1 - Preface [Seite 7]
2 - I Skeletons and dessins [Seite 17]
2.1 - 1 Graphs [Seite 19]
2.1.1 - 1.1 Graphs and trees [Seite 19]
2.1.1.1 - 1.1.1 Graphs [Seite 19]
2.1.1.2 - 1.1.2 Trees [Seite 22]
2.1.1.3 - 1.1.3 Dynkin diagrams [Seite 23]
2.1.2 - 1.2 Skeletons [Seite 25]
2.1.2.1 - 1.2.1 Ribbon graphs [Seite 25]
2.1.2.2 - 1.2.2 Regions [Seite 28]
2.1.2.3 - 1.2.3 The fundamental group [Seite 32]
2.1.2.4 - 1.2.4 First applications [Seite 38]
2.1.3 - 1.3 Pseudo-trees [Seite 42]
2.1.3.1 - 1.3.1 Admissible trees [Seite 42]
2.1.3.2 - 1.3.2 The counts [Seite 47]
2.1.3.3 - 1.3.3 The associated lattice [Seite 52]
2.2 - 2 The groups G and B3 [Seite 57]
2.2.1 - 2.1 The modular group G := PSL(2, Z) [Seite 57]
2.2.1.1 - 2.1.1 The presentation of G [Seite 57]
2.2.1.2 - 2.1.2 Subgroups [Seite 63]
2.2.2 - 2.2 The braid group B3 [Seite 66]
2.2.2.1 - 2.2.1 Artin's braid groups Bn [Seite 66]
2.2.2.2 - 2.2.2 The Burau representation [Seite 70]
2.2.2.3 - 2.2.3 The group B3 [Seite 73]
2.3 - 3 Trigonal curves and elliptic surfaces [Seite 79]
2.3.1 - 3.1 Trigonal curves [Seite 79]
2.3.1.1 - 3.1.1 Basic definitions and properties [Seite 79]
2.3.1.2 - 3.1.2 Singular fibers [Seite 87]
2.3.1.3 - 3.1.3 Special geometric structures [Seite 92]
2.3.2 - 3.2 Elliptic surfaces [Seite 95]
2.3.2.1 - 3.2.1 The local theory [Seite 95]
2.3.2.2 - 3.2.2 Compact elliptic surfaces [Seite 99]
2.3.3 - 3.3 Real structures [Seite 106]
2.3.3.1 - 3.3.1 Real varieties [Seite 107]
2.3.3.2 - 3.3.2 Real trigonal curves and real elliptic surfaces [Seite 112]
2.3.3.3 - 3.3.3 Lefschetz fibrations [Seite 117]
2.4 - 4 Dessins [Seite 125]
2.4.1 - 4.1 Dessins [Seite 125]
2.4.1.1 - 4.1.1 Trichotomic graphs [Seite 125]
2.4.1.2 - 4.1.2 Deformations [Seite 131]
2.4.2 - 4.2 Trigonal curves via dessins [Seite 134]
2.4.2.1 - 4.2.1 The correspondence theorems [Seite 134]
2.4.2.2 - 4.2.2 Complex curves [Seite 136]
2.4.2.3 - 4.2.3 Generic real curves [Seite 147]
2.4.3 - 4.3 First applications [Seite 153]
2.4.3.1 - 4.3.1 Ribbon curves [Seite 153]
2.4.3.2 - 4.3.2 Elliptic Lefschetz fibrations revisited [Seite 158]
2.5 - 5 The braid monodromy [Seite 162]
2.5.1 - 5.1 The Zariski-van Kampen theorem [Seite 162]
2.5.1.1 - 5.1.1 The monodromy of a proper n-gonal curve [Seite 162]
2.5.1.2 - 5.1.2 The fundamental groups [Seite 168]
2.5.1.3 - 5.1.3 Improper curves: slopes [Seite 174]
2.5.2 - 5.2 The case of trigonal curves [Seite 180]
2.5.2.1 - 5.2.1 Monodromy via skeletons [Seite 180]
2.5.2.2 - 5.2.2 Slopes [Seite 186]
2.5.2.3 - 5.2.3 The strategy [Seite 189]
2.5.3 - 5.3 Universal curves [Seite 193]
2.5.3.1 - 5.3.1 Universal curves [Seite 193]
2.5.3.2 - 5.3.2 The irreducibility criteria [Seite 195]
3 - II Applications [Seite 197]
3.1 - 6 The metabelian invariants [Seite 199]
3.1.1 - 6.1 Dihedral quotients [Seite 199]
3.1.1.1 - 6.1.1 Uniform dihedral quotients [Seite 199]
3.1.1.2 - 6.1.2 Geometric implications [Seite 203]
3.1.2 - 6.2 The Alexander module [Seite 206]
3.1.2.1 - 6.2.1 Statements [Seite 206]
3.1.2.2 - 6.2.2 Proof of Theorem 6.16: the case N . 7 [Seite 209]
3.1.2.3 - 6.2.3 Congruence subgroups (the case N . 5) [Seite 212]
3.1.2.4 - 6.2.4 The parabolic case N = 6 [Seite 215]
3.2 - 7 A few simple computations [Seite 219]
3.2.1 - 7.1 Trigonal curves in .2 [Seite 219]
3.2.1.1 - 7.1.1 Proper curves in .2 [Seite 219]
3.2.1.2 - 7.1.2 Perturbations of simple singularities [Seite 223]
3.2.2 - 7.2 Sextics with a non-simple triple point [Seite 229]
3.2.2.1 - 7.2.1 A gentle introduction to plane sextics [Seite 229]
3.2.2.2 - 7.2.2 Classification and fundamental groups [Seite 236]
3.2.2.3 - 7.2.3 A summary of further results [Seite 237]
3.2.3 - 7.3 Plane quintics [Seite 240]
3.3 - 8 Fundamental groups of plane sextics [Seite 243]
3.3.1 - 8.1 Statements [Seite 243]
3.3.1.1 - 8.1.1 Principal results [Seite 243]
3.3.1.2 - 8.1.2 Beginning of the proof [Seite 244]
3.3.2 - 8.2 A distinguished point of type E [Seite 247]
3.3.2.1 - 8.2.1 A point of type E8 [Seite 248]
3.3.2.2 - 8.2.2 A point of type E7 [Seite 254]
3.3.2.3 - 8.2.3 A point of type E6 [Seite 260]
3.3.3 - 8.3 A distinguished point of type D [Seite 275]
3.3.3.1 - 8.3.1 A point of type Dp, p . 6 [Seite 275]
3.3.3.2 - 8.3.2 A point of type D5 [Seite 279]
3.3.3.3 - 8.3.3 A point of type D4 [Seite 285]
3.4 - 9 The transcendental lattice [Seite 291]
3.4.1 - 9.1 Extremal elliptic surfaces without exceptional fibers [Seite 291]
3.4.1.1 - 9.1.1 The tripod calculus [Seite 291]
3.4.1.2 - 9.1.2 Proofs and further observations [Seite 293]
3.4.2 - 9.2 Generalizations and examples [Seite 297]
3.4.2.1 - 9.2.1 A computation via the homological invariant [Seite 297]
3.4.2.2 - 9.2.2 An example [Seite 300]
3.5 - 10 Monodromy factorizations [Seite 304]
3.5.1 - 10.1 Hurwitz equivalence [Seite 304]
3.5.1.1 - 10.1.1 Statement of the problem [Seite 304]
3.5.1.2 - 10.1.2 Fn-valued factorizations [Seite 307]
3.5.1.3 - 10.1.3 Sn-valued factorizations [Seite 308]
3.5.2 - 10.2 Factorizations in G [Seite 313]
3.5.2.1 - 10.2.1 Exponential examples [Seite 313]
3.5.2.2 - 10.2.2 2-factorizations [Seite 317]
3.5.2.3 - 10.2.3 The transcendental lattice [Seite 323]
3.5.2.4 - 10.2.4 2-factorizations via matrices [Seite 329]
3.5.3 - 10.3 Geometric applications [Seite 332]
3.5.3.1 - 10.3.1 Extremal elliptic surfaces [Seite 332]
3.5.3.2 - 10.3.2 Ribbon curves via skeletons [Seite 334]
3.5.3.3 - 10.3.3 Maximal Lefschetz fibrations are algebraic [Seite 339]
4 - Appendices [Seite 343]
4.1 - A An algebraic complement [Seite 345]
4.1.1 - A.1 Integral lattices [Seite 345]
4.1.1.1 - A.1.1 Nikulin's theory of discriminant forms [Seite 345]
4.1.1.2 - A.1.2 Definite lattices [Seite 347]
4.1.2 - A.2 Quotient groups [Seite 351]
4.1.2.1 - A.2.1 Zariski quotients [Seite 351]
4.1.2.2 - A.2.2 Auxiliary lemmas [Seite 352]
4.1.2.3 - A.2.3 Alexander module and dihedral quotients [Seite 353]
4.2 - B Bigonal curves in .d [Seite 356]
4.2.1 - B.1 Bigonal curves in .d [Seite 356]
4.2.2 - B.2 Plane quartics, quintics, and sextics [Seite 360]
4.3 - C Computer implementations [Seite 362]
4.3.1 - C.1 GAP implementations [Seite 362]
4.3.1.1 - C.1.1 Manipulating skeletons in GAP [Seite 362]
4.3.1.2 - C.1.2 Proof of Theorem 6.16 [Seite 368]
4.4 - D Definitions and notation [Seite 375]
4.4.1 - D.1 Common notation [Seite 375]
4.4.1.1 - D.1.1 Groups and group actions [Seite 375]
4.4.1.2 - D.1.2 Topology and homotopy theory [Seite 376]
4.4.1.3 - D.1.3 Algebraic geometry [Seite 378]
4.4.1.4 - D.1.4 Miscellaneous notation [Seite 380]
4.4.2 - D.2 Index of notation [Seite 381]
5 - Bibliography [Seite 385]
6 - Index of figures [Seite 395]
7 - Index of tables [Seite 398]
8 - Index [Seite 399]