Positive /Negative-Conditional Equations

Thema dieser Dissertation ist das Beweisen induktiver Theoreme in Klauselform auf der Basis von Spezifikationen mit konstruktorbasierten, positiv/negativ bedingten Gleichungen. Das Beweisen induktiver Theoreme ist von entscheidender Bedeutung für jede Form der Argumentation über Computerprogramme. Da formale Methoden bei der Verifikation sicherheitskritischer Algorithmen unverzichtbar sind, ist davon auszugehen, dass mehr oder weniger omatisiertes Beweisen induktiver Theoreme in naher Zukunft wirtschaftliche Bedeutung erlangen wird.
Positiv/negativ bedingte Gleichungen sind universell quantifizierte Implikationen erster Stufe mit einer einzelnen Gleichung im Sukzedens und einer Konjunktion von positiven und negativen (d.h. negierten) Gleichungen im Antezedens. Sie eignen sich zur funktionalen Spezifikation erster Stufe und lassen sich in direkter Weise als Programme auffassen. Mit Hilfe eines konstruktorbasierten Ansatzes wird algebraischen Spezifikationen mit positiv/negativ bedingten Gleichungen eine ihnen gemäße Semantik gegeben.
Des weiteren wird die Reduktion mit positiv/negativ bedingten Regeln in solcher Weise definiert, dass die grundlegenden Ergebnisse für positiv bedingte Termersetzungssysteme ihre Gültigkeit behalten. Es ist von besonderer Wichtigkeit, dass die vorgestellten Begriffe induktiver Gültigkeit gegenüber konsistenter Spezifikationserweiterung ein monotones Verhalten aufweisen. Auf dieser Grundlage wird dann ein Inferenzsystem zum Nachweis verschiedener induktiver Gültigkeiten von Gleichungsklauseln entwickelt. Der konstruktorbasierte Ansatz erweist sich für einen derartigen Induktionsbeweis als gut geeignet, und auch das Auftreten partiell definierter und nichtterminierender Funktionen bereitet keine zusätzlichen Schwierigkeiten.

The subject of this thesis is clausal inductive theorem proving on the basis of specifications with constructor-based positive/negative- conditional equations. Proving inductive theorems is crucial for reasoning about computer programs. Since formal methods are indispensable to verifying safety-critical algorithms, it is to be expected that more or less omated inductive theorem proving will gain economic significance in the nearer future. Positive/negative-conditional equations are universally quantified first-order implications with a single equation in the succedent and a conjunction of positive and negative (i.e. negated) equations in the antecedent. They are convenient for writing first-order functional specifications, which can also be seen as programs.
With the help of a constructor-based approach an appropriate semantics is assigned to algebraic specifications given by positive/negative-conditional equations. Furthermore, a reduction relation for positive/negative-conditional rules is defined, for which the fundamental results for positive- conditional rewrite systems can be sustained. It is important that the presented notions of inductive validity are monotonic w.r.t. consistent extension of the specification. On this basis, an inference system for clausal theorem proving w.r.t. various kinds of inductive validity is developed. The constructor-based approach turns out to be well-suited for inductive theorem proving, even in the presence of partially defined and non-terminating functions.