Tree Structured Function Estimation with Haar Wavelets

Baumstrukturierte Methoden sind ein sehr nützliches Werkzeug zur statistischen Analyse hochdimensionaler Daten. Baumdarstellungen sind in der Regel intuitiv, leicht anzuwenden und führen zu übersichtlichen Darstellungen komplexer Datenstrukturen. Zur Entdeckung von Strukturen in hochdimensionalen Datensätzen wie z.B. Interaktionseffekte zwischen Variablen, zum Modellieren funktionaler Abhängigkeiten und zur Diskriminanzanalyse haben sich baumstrukturierte Methoden als sehr hilfreich zur explorativen Datenanalyse erwiesen. Zur Bewältigung des immensen Rechenaufwandes verlangen sie den Einsatz von Computern. Seit der Implementierung des CART Algorithmus ("Classification and Regression Trees") durch Breiman, Friedman, Olshen und Stone 1984 finden sich Verfahren zur baumstrukturierten Regressions- und Klassifikationsanalyse in vielen Statistikpaketen. Die in den bisherigen Algorithmen implementierten Verfahren zur Herleitung von Baumdarstellungen basieren auf vielen ad-hoc Entscheidungen, es ermangelt ihnen aber an mathematischer Fundierung und Herleitung aus allgemeinen mathematischen Prinzipien.
Als einfachste Klasse von Wavelets können Haarfunktionen innerhalb einer modernen mathematischen Theorie betrachtet werden, die in den letzten Jahren sehr viel Interesse in Statistik, Approximationstheorie und Signalverarbeitung gefunden hat. Haarreihenschätzer und somit auch baumstrukturierte Verfahren können somit im Licht jüngster Entwicklungen in Entscheidungstheorie und mathematischer Statistik betrachtet werden.