Numerische Behandlung linearer und semilinearer partieller differentiell-algebraischer Systeme mit Runge-Kutta-Methoden

Die vorliegende Arbeit ist ein Beitrag zur numerischen Behandlung einer speziellen Klasse von räumlich emph{d}-dimensionalen Anfangsrandwertaufgaben partieller differentiell-algebraischer Systeme.

Zunächst erfolgt eine Semidiskretisierung bezüglich der räumlichen Variablen mittels finiter Differenzen, das resultierende differentiell-algebraische System wird dann durch Runge-Kutta-Verfahren gelöst. Für lineare PDA-Systeme wird die Konvergenz der Ortsdiskretisierung sowohl auf der Grundlage der Lösungsdarstellung der linearen Fehlergleichung mittels Drazin-Inverser als auch mit einer Weierstraß-Kronecker-Transformation gezeigt, und es werden für die Gesamtdiskretisierung Konvergenzresultate in Abhängigkeit vom Typ der Randbedingungen und dem differentiellen Zeitindex angegeben. Insbesondere wird auf gebrochene Konvergenzordnungen bezüglich der Zeit eingegangen. Aufbauend auf den für lineare Systeme erzielten Ergebnissen werden Konvergenzaussagen auch für semi-lineare Systeme hergeleitet. Die bewiesenen Konvergenzsätze werden auf zwei praxisrelevante Verfahren, das implizite Euler-Verfahren und das dreistufige Radau-IIA-Verfahren, angewendet und durch numerische Beispiele bestätigt.