Mathematik-Formeln

1 Grundlegende Begriffe 11
1.1 Zahlbereiche 11
1.1.1 Reelle Zahlen 11
1.1.2 Intervalle 12
1.1.3 Reelle Variablen 12
1.1.4 Maximum und Minimum 13
1.2 Mengenoperationen und -relationen 14
1.3 Tupel und Vektoren 15
1.3.1 Tupel und Zeilenvektoren 15
1.3.2 Spaltenvektoren 15
1.3.3 Kartesisches Produkt 16
1.4 Funktionen 16
1.4.1 Grundbegriffe für Funktionen 16
1.4.2 Verkettung von Funktionen 17
1.4.3 Identität 17
1.4.4 Umkehrfunktion 18
1.5 Matrizen 19
1.6 Operationen zwischen Matrizen und Vektoren 19
1.6.1 Transposition 20
1.6.2 Addition und skalare Multiplikation 21
1.6.3 Matrixprodukt 21
2 Lineare Gleichungssysteme 23
2.1 Zeilenumformungen und Zeilenstufenform 24
2.1.1 Zeilenstufenform 24
2.1.2 Basisform 25
2.2 Lösungsmenge eines LGS anhand der Zeilenstufenform 25
2.3 Eliminationsverfahren nach Gauß 26
3 Vektoren 27
3.1 Linearkombinationen 27
3.1.1 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 28
3.1.2 Lineare Hülle, Bild 28
3.2 Untervektorraum, Basis und Dimension 28
3.2.1 Dimension und Basis eines Untervektorraums 29
3.2.2 Basis von Kern(A) 29
3.2.3 Lösungsmenge eines LGS Ax = b mittels Kern(A) 30
3.3 Skalarprodukt, Norm und Abstand 30
3.3.1 Skalarprodukt 30
3.3.2 Norm eines Vektors 30
3.3.3 Winkel zwischen Vektoren 30
3.3.4 Abstand und Offenheit 31
3.4 Projektionen 32
3.4.1 Normalgleichungen 32
3.4.2 Orthonormale Projektion 32
4 Matrizen 33
4.1 Regeln für das Rechnen mit Matrizen 33
4.2 Quadratische Matrizen 33
4.3 Inverse Matrix 34
4.3.1 Berechnung der inversen Matrix 34
4.3.2 Inverse einer 2 × 2-Matrix 34
4.3.3 Lösung von LGS mit Matrixinversion 34
4.4 Determinanten quadratischer Matrizen 35
4.4.1 Determinanten in Spezialfällen 35
4.4.2 Determinante und Zeilenumformungen 35
4.4.3 Determinantenberechnung durch Entwicklung 35
4.4.4 Weitere Rechenregeln 35
4.5 Anwendungen der Determinante 36
4.5.1 Prüfung auf Invertierbarkeit 36
4.5.2 Cramer'sche Regel 36
4.5.3 Eigenwerte 36
4.6 Symmetrische Matrizen 36
4.6.1 Eigenwerte symmetrischer Matrizen 36
4.6.2 Eigenvektoren symmetrischer Matrizen 37
4.7 Definitheit 37
4.7.1 Determinantenkriterium für Definitheit 37
4.7.2 Determinantenkriterium für Semidefinitheit 38
4.7.3 Eigenwertkriterium für (Semi-)Definitheit. 38
4.7.4 Eingeschränkte Definitheit 38
5 Folgen und Reihen 39
5.1 Folgen in den Wirtschaftswissenschaften 39
5.1.1 Summen- und Differenzenfolge 39
5.1.2 Explizite und implizite Bildungsgesetze 40
5.1.3 Monotone Folgen 40
5.1.4 Beschränkte Folgen 40
5.2 Grenzwerte 41
5.2.1 Konvergente Folgen 41
5.2.2 Eigenschaften konvergenter Folgen 41
5.2.3 Grenzwertsätze 42
5.2.4 Unendliche Reihen 42
5.3 Wichtige Folgen 42
5.3.1 Arithmetische Folge 42
5.3.2 Ganzrationale bzw. rationale Folge 43
5.3.3 Gebrochen-rationale Folge 44
5.3.4 Geometrische Folge 44
5.4 Potenzreihen 45
5.4.1 Konvergenzkriterium 45
5.4.2 Ableiten von Potenzreihen 46
5.4.3 Koeffizientenvergleich 46
5.4.4 Wichtige Potenzreihen 46
5.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen 48
5.5.1 Grundformel der Kapitalentwicklung 48
5.5.2 Barwert und Endwert 49
5.5.3 Kapitalwert und interner Zinsfuß 50
6 Funktionen einer Variable 51
6.1 Grundlegende Sprechweisen 51
6.1.1 Graph einer Funktion 51
6.1.2 Ordinatenabschnitt und Nullstellen 52
6.1.3 Monotonie 52
6.1.4 Krümmungsverhalten 53
6.1.5 lokale und globale Extrema 54
6.1.6 Wendestellen 56
6.2 Rationale Funktionen 57
6.2.1 Ganzrationale Funktionen 57
6.2.2 Gebrochen-rationale Funktionen 58
6.2.3 Nullstellen 58
6.2.4 Partialbruchzerlegung 60
6.2.5 Ableitungen und Stammfunktionen 60
6.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenz 61
6.3.1 Exponentialfunktion 61
6.3.2 Logarithmus 62
6.3.3 Potenzfunktion 63
6.4 Trigonometrische Funktionen 64
6.4.1 Funktionswerttabelle 64
6.4.2 Rechenregeln 65
6.4.3 Ableitungen und Stammfunktionen 65
6.5 Betragsfunktion 65
6.6 Indikatorfunktion 66
7 Differentialrechnung 67
7.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 67
7.1.1 Funktionsgrenzwert 67
7.1.2 Stetigkeit 67
7.2 Partielle Ableitung und Differential 68
7.2.1 Gradient 68
7.2.2 Differential 68
7.3 Ableitungen bei Funktionen einer Variable 69
7.3.1 Ableitungsregeln 69
7.3.2 Ableitungen und Stammfunktionen für Funktionen einer Variablen 70
7.4 Kettenregeln 70
7.5 Ableitungsbegriffe auf Grundlage des Differentials 70
7.5.1 Richtungsableitung 71
7.5.2 Elastizität 71
7.5.3 Implizite Ableitungen 72
7.6 Homogene Funktionen 73
7.7 Ableitungen zweiter Ordnung 74
7.7.1 Hesse-Matrix und Richtungskrümmung 74
7.7.2 Konvexe und konkave Funktionen 74
8 Integralrechnung 75
8.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale 75
8.2 Bestimmte Integrale 76
8.2.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 77
8.2.2 Integrationsregeln 77
8.2.3 Uneigentliche Integrale 78
8.3 Mehrfachintegrale 78
8.3.1 Uneigentliche Mehrfachintegrale 79
8.3.2 Jordan-Mengen 79
8.3.3 Integrationsregeln 80
8.3.4 Doppelintegrale bei stetigen Funktionen 81
9 Optimierung differenzierbarer Funktionen 83
9.1 Optimierung ohne Nebenbedingungen 83
9.1.1 Notwendige Bedingung 83
9.1.2 Hinreichende Bedingung 83
9.1.3 Konvexe Optimierung 84
9.2 Optimierung mit Nebenbedingungen 84
9.2.1 Lagrange-Funktion 84
9.2.2 Kuhn-Tucker-Bedingungen 85
9.2.3 Notwendige Bedingung für lokales Minimum 85
9.2.4 Hinreichende Bedingung für lokales Minimum 85
9.2.5 Randwertvergleich für globale Extrema 86
9.2.6 Satz von Kuhn-Tucker, Konvexe Optimierung 86
9.3 Optimierung bei exogenen Parametern 86
Symbole und Abkürzungen 87
Das griechische Alphabet 92
Index 93