Mathematik-Formeln

1 Grundlegende Begriffe 11
1.1 Zahlbereiche 11
1.1.1 Reelle Zahlen 11
1.1.2 Intervalle 12
1.1.3 Reelle Variablen 12
1.1.4 Maximum und Minimum 13
1.2 Mengenoperationen und -relationen 14
1.3 Tupel und Vektoren 15
1.3.1 Tupel und Zeilenvektoren 15
1.3.2 Spaltenvektoren 15
1.3.3 Kartesisches Produkt 16
1.4 Funktionen 16
1.4.1 Grundbegriffe für Funktionen 16
1.4.2 Verkettung von Funktionen 17
1.4.3 Identität 17
1.4.4 Umkehrfunktion 18
1.5 Matrizen 19
1.6 Operationen zwischen Matrizen und Vektoren 20
1.6.1 Transposition 20
1.6.2 Addition und skalare Multiplikation 21
1.6.3 Matrixprodukt 21
2 Lineare Gleichungssysteme 23
2.1 Zeilenumformungen und Zeilenstufenform 24
2.1.1 Zeilenstufenform 24
2.1.2 Basisform 25
2.2 Lösungsmenge eines LGS anhand der Zeilenstufenform 25
2.3 Eliminationsverfahren nach Gauß 26
3 Vektoren 27
3.1 Linearkombinationen 27
3.1.1 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 28
3.1.2 Lineare Hülle, Bild 28
3.2 Untervektorraum, Basis und Dimension 28
3.2.1 Dimension und Basis eines Untervektorraums 29
3.2.2 Bestimmung einer Basis von Kern(A) 29
3.3 Skalarprodukt, Norm und Abstand 30
3.3.1 Skalarprodukt 30
3.3.2 Norm eines Vektors 30
3.3.3 Winkel zwischen Vektoren 30
3.3.4 Abstand und Offenheit 31
3.4 Projektionen 32
3.4.1 Normalgleichungen 32
3.4.2 Orthonormale Projektion 32
4 Matrizen 33
4.1 Regeln für das Rechnen mit Matrizen 33
4.2 Quadratische Matrizen 33
4.3 Inverse Matrix 34
4.3.1 Berechnung der inversen Matrix 34
4.3.2 Inverse einer 2 × 2-Matrix 35
4.3.3 Lösung von LGS mit Matrixinversion 35
4.4 Determinanten quadratischer Matrizen 35
4.4.1 Determinanten in Spezialfällen 35
4.4.2 Determinante und Zeilenumformungen 36
4.4.3 Determinantenberechnung durch Entwicklung 36
4.4.4 Weitere Rechenregeln 36
4.5 Anwendungen der Determinante 37
4.5.1 Prüfung auf Invertierbarkeit 37
4.5.2 Cramer'sche Regel 37
4.5.3 Eigenwerte 37
4.6 Symmetrische Matrizen 38
4.6.1 Eigenwerte symmetrischer Matrizen 38
4.6.2 Eigenvektoren symmetrischer Matrizen 38
4.7 Definitheit 38
4.7.1 Determinantenkriterium für Definitheit 39
4.7.2 Determinantenkriterium für Semidefinitheit 39
4.7.3 Eigenwertkriterium für (Semi-)Definitheit 40
4.7.4 Eingeschränkte Definitheit 40
5 Folgen und Reihen 41
5.1 Folgen in den Wirtschaftswissenschaften 41
5.1.1 Summen- und Differenzenfolge 41
5.1.2 Explizite und implizite Bildungsgesetze 42
5.1.3 Monotone Folgen 42
5.1.4 Beschränkte Folgen 42
5.2 Grenzwerte 43
5.2.1 Konvergente Folgen 43
5.2.2 Eigenschaften konvergenter Folgen 43
5.2.3 Grenzwertsätze 44
5.2.4 Unendliche Reihen 44
5.3 Wichtige Folgen 44
5.3.1 Arithmetische Folge 44
5.3.2 Ganzrationale bzw. rationale Folge 45
5.3.3 Gebrochen-rationale Folge 46
5.3.4 Geometrische Folge 46
5.4 Potenzreihen 47
5.4.1 Konvergenzkriterium 47
5.4.2 Ableiten von Potenzreihen 48
5.4.3 Koeffizientenvergleich 48
5.4.4 Wichtige Potenzreihen 48
5.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen 49
5.5.1 Grundformel der Kapitalentwicklung 50
5.5.2 Endwert und Barwert 51
5.5.3 Kapitalwert und interner Zinsfuß 52
6 Funktionen einer Variable 53
6.1 Grundlegende Sprechweisen 53
6.1.1 Graph einer Funktion 53
6.1.2 Ordinatenabschnitt und Nullstellen 54
6.1.3 Monotonie 54
6.1.4 Krümmungsverhalten 55
6.1.5 lokale und globale Extrema 56
6.1.6 Wendestellen 58
6.2 Rationale Funktionen 59
6.2.1 Ganzrationale Funktionen 59
6.2.2 Gebrochen-rationale Funktionen 60
6.2.3 Nullstellen 60
6.2.4 Partialbruchzerlegung 62
6.2.5 Ableitungen und Stammfunktionen 62
6.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenz 63
6.3.1 Exponentialfunktion 63
6.3.2 Logarithmus 64
6.3.3 Potenzfunktion 65
6.4 Trigonometrische Funktionen 66
6.4.1 Funktionswerttabelle 66
6.4.2 Rechenregeln 67
6.4.3 Ableitungen und Stammfunktionen 67
6.5 Betragsfunktion 67
6.6 Indikatorfunktion 68
7 Differentialrechnung 69
7.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 69
7.1.1 Funktionsgrenzwert 69
7.1.2 Stetigkeit 69
7.2 Partielle Ableitung und Differential 70
7.2.1 Gradient 70
7.2.2 Differential 70
7.3 Ableitungen bei Funktionen einer Variable 71
7.3.1 Ableitungsregeln 71
7.3.2 Ableitungen und Stammfunktionen für Funktionen einer Variablen 72
7.4 Kettenregeln 72
7.5 Ableitungsbegriffe auf Grundlage des Differentials 72
7.5.1 Richtungsableitung 73
7.5.2 Elastizität 73
7.5.3 Implizite Ableitungen 74
7.6 Homogene Funktionen 75
7.7 Ableitungen zweiter Ordnung 76
7.7.1 Hesse-Matrix und Richtungskrümmung 76
7.7.2 Konvexe und konkave Funktionen 76
8 Integralrechnung 77
8.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale 77
8.2 Bestimmte Integrale 78
8.2.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 79
8.2.2 Integrationsregeln 79
8.2.3 Uneigentliche Integrale 80
8.3 Mehrfachintegrale 80
8.3.1 Uneigentliche Mehrfachintegrale 81
8.3.2 Jordan-Mengen 81
8.3.3 Integrationsregeln 82
8.3.4 Doppelintegrale bei stetigen Funktionen 83
9 Optimierung differenzierbarer Funktionen 85
9.1 Optimierung ohne Nebenbedingungen 85
9.1.1 Notwendige Bedingung 85
9.1.2 Hinreichende Bedingung 85
9.1.3 Konvexe Optimierung 86
9.2 Optimierung mit Nebenbedingungen 86
9.2.1 Lagrange-Funktion 86
9.2.2 Kuhn-Tucker-Bedingungen 87
9.2.3 Notwendige Bedingung für lokales Minimum 87
9.2.4 Hinreichende Bedingung für lokales Minimum 87
9.2.5 Randwertvergleich für globale Extrema 88
9.2.6 Satz von Kuhn-Tucker, Konvexe Optimierung 88
9.3 Optimierung bei exogenen Parametern 88
Symbole und Abkürzungen 89
Das griechische Alphabet 94
Index 95