Mathematik für Einsteiger
Vor- und Brückenkurs zum Studienbeginn
3rd Edition
Published on 15. May 2003
Book
Paperback/Softback
320 pages
978-3-8274-1435-9 (ISBN)
Description
In der Mathematik werden viele Studienanfänger mit Methoden und Denkweisen konfrontiert, auf die sie in der Schule nicht vorbereitet wurden. Dieses Buch bietet Schulabgängern unterschiedlicher Qualifikation einen leichteren Einstieg ins Studium.
Zunächst stellt das vorliegende Werk die nötigen Hilfsmittel bereit: Axiomatik, Logik und Mengenlehre. Die dabei erlernten Beweistechniken werden anschließend eingesetzt, um die aus der Schule bekannten Themen neu zu präsentieren. Schwerpunkte sind Zahlensysteme, algebraische Rechentechniken, Folgen und Grenzwerte, Funktionen bis hin zu Logarithmen und Winkelfunktionen, Geometrie und Vektorrechnung, Lineare Gleichungssysteme, Differentiationen und Integration.
Der Autor legt - bei aller mathematischen Strenge - Wert auf Verständlichkeit. Zur Vertiefung werden Übungsaufgaben mit Lösungen angeboten. Beispiele und historische Überblicke lockern die Darstellung auf. Es gelingt dem Autor zu zeigen, daß Mathematik Spaß machen kann!
In der vorliegenden 2. Auflage wurde die Konzeption des Kapitels "Geometrie" optimiert, der Aufgabenteil wurde ergänzt und die Lösungen erweitert.
Zunächst stellt das vorliegende Werk die nötigen Hilfsmittel bereit: Axiomatik, Logik und Mengenlehre. Die dabei erlernten Beweistechniken werden anschließend eingesetzt, um die aus der Schule bekannten Themen neu zu präsentieren. Schwerpunkte sind Zahlensysteme, algebraische Rechentechniken, Folgen und Grenzwerte, Funktionen bis hin zu Logarithmen und Winkelfunktionen, Geometrie und Vektorrechnung, Lineare Gleichungssysteme, Differentiationen und Integration.
Der Autor legt - bei aller mathematischen Strenge - Wert auf Verständlichkeit. Zur Vertiefung werden Übungsaufgaben mit Lösungen angeboten. Beispiele und historische Überblicke lockern die Darstellung auf. Es gelingt dem Autor zu zeigen, daß Mathematik Spaß machen kann!
In der vorliegenden 2. Auflage wurde die Konzeption des Kapitels "Geometrie" optimiert, der Aufgabenteil wurde ergänzt und die Lösungen erweitert.
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Person
Prof. Dr. Klaus Fritzsche lehrt Mathematik an der Universität Wuppertal. Er hat bereits mehrfach den Brückenkurs "Mathematik für Mathematiker" gehalten.
Content
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Wie wahr ist die Mathematik?
Mathematik im Alltag
Von Thales bis Euklid
Axomiensysteme
Sätze und Beweise in der Geometrie
Aussagenlogik
Prädikatenlogik und Tautolgien
Aufbau einer mathematischen Theorie
Beweismethoden
2 Von Mengen und Unmengen
Der Mengenbegriff
Probleme der Mengenbildung
Mengen-Algebra
Die Arbeit mit Quantoren
Verneinungsregeln
3 Unendlich viele Zahlen
Die Axiome der Addition
Die Axiome der Multiplikation
Die Axiome der Anordnung
Natürliche Zahlen
Das Induktionsprinzip
Ganze Zahlen
Endliche Mengen
Teilbarkeit und Primzahlen
Euklidischer Algorithmus
Große Zahlen
4 Auf dem Weg ins Irrationale
Das Summenzeichen
Elementare Kombinatorik
Geometrische Folgen
Das Vollständigkeitsaxiom
Der Betrag einer reellen Zahl
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen
Wurzeln
Folgen
Grenzwertsätze
Geometrische Reihen
Monotone Konvergenz
Intervallschachtelungen
5 Eins hängt vom andern ab
Produktmegen und Relationen
Der Funktionsbegriff
Mengen von Funktionen
Polynome
Injektive und surjektive Abbildungen
Mächtigkeit
Verknüpfung von Abbildungen
Umkehrabbildungen und Monotonie
Logarithmen
Automorphismen und Gruppen
6 Die Prallelität der Ereignisse
Der Begriff des Lineals
Projektionen
Koordinaten
Lineare Gleichungssysteme
Halbebenen und Dreiecke
Orthogonalität
Der Satz des Pythagoras
Flächenfunktionen
7 Allerlei Winkelzüge
Kreis und Bogenmaß
Winkel in Dreiecken
Winkelfunktionen
Die Additionstheoreme
Bewegungen
8 Das Parallelogramm der Kräfte
Vektoren
Vektorräume
Lineare Unabhängigkeit
Ortsvektoren
Geraden und Ebenen
Norm und Skalarprodukt
Die Hesse'sche Normalform
Basis und Dimension
Matrizen und Determinanten
Das Gaußverfahren
Das Vektorprodukt
9 Extremfälle
Stetigkeit
Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen
Stetigkeitsbeweise
Die Ableitung
Ableitungsregeln
Extremwerte
Der Mittelwertsatz
Wendepunkte und Krümmung
10 Die Kunst des Integrierens
Das Riemann'sche Integral
Berechnung von Integralen
Der Fundamentalsatz
Natürlicher Logarithmus und Exponentialfunktion
Partielle Integration uns Substitution
11 Imaginäre Welten
Kubische Gleichungen
Komplexe Zahlen
Komplexe Folgen und Funktionen
Die Euler'sche Formel
Einheitswurzeln
Der Fundmentalsatz der Algebra
Quaternionen
A1: Einige Beweise
A2: Lösungen zu den Aufgaben im Text
A3: Zusätzliche Übungsaufgaben
Literaturverzeichnis
Stichwortverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Wie wahr ist die Mathematik?
Mathematik im Alltag
Von Thales bis Euklid
Axomiensysteme
Sätze und Beweise in der Geometrie
Aussagenlogik
Prädikatenlogik und Tautolgien
Aufbau einer mathematischen Theorie
Beweismethoden
2 Von Mengen und Unmengen
Der Mengenbegriff
Probleme der Mengenbildung
Mengen-Algebra
Die Arbeit mit Quantoren
Verneinungsregeln
3 Unendlich viele Zahlen
Die Axiome der Addition
Die Axiome der Multiplikation
Die Axiome der Anordnung
Natürliche Zahlen
Das Induktionsprinzip
Ganze Zahlen
Endliche Mengen
Teilbarkeit und Primzahlen
Euklidischer Algorithmus
Große Zahlen
4 Auf dem Weg ins Irrationale
Das Summenzeichen
Elementare Kombinatorik
Geometrische Folgen
Das Vollständigkeitsaxiom
Der Betrag einer reellen Zahl
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen
Wurzeln
Folgen
Grenzwertsätze
Geometrische Reihen
Monotone Konvergenz
Intervallschachtelungen
5 Eins hängt vom andern ab
Produktmegen und Relationen
Der Funktionsbegriff
Mengen von Funktionen
Polynome
Injektive und surjektive Abbildungen
Mächtigkeit
Verknüpfung von Abbildungen
Umkehrabbildungen und Monotonie
Logarithmen
Automorphismen und Gruppen
6 Die Prallelität der Ereignisse
Der Begriff des Lineals
Projektionen
Koordinaten
Lineare Gleichungssysteme
Halbebenen und Dreiecke
Orthogonalität
Der Satz des Pythagoras
Flächenfunktionen
7 Allerlei Winkelzüge
Kreis und Bogenmaß
Winkel in Dreiecken
Winkelfunktionen
Die Additionstheoreme
Bewegungen
8 Das Parallelogramm der Kräfte
Vektoren
Vektorräume
Lineare Unabhängigkeit
Ortsvektoren
Geraden und Ebenen
Norm und Skalarprodukt
Die Hesse'sche Normalform
Basis und Dimension
Matrizen und Determinanten
Das Gaußverfahren
Das Vektorprodukt
9 Extremfälle
Stetigkeit
Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen
Stetigkeitsbeweise
Die Ableitung
Ableitungsregeln
Extremwerte
Der Mittelwertsatz
Wendepunkte und Krümmung
10 Die Kunst des Integrierens
Das Riemann'sche Integral
Berechnung von Integralen
Der Fundamentalsatz
Natürlicher Logarithmus und Exponentialfunktion
Partielle Integration uns Substitution
11 Imaginäre Welten
Kubische Gleichungen
Komplexe Zahlen
Komplexe Folgen und Funktionen
Die Euler'sche Formel
Einheitswurzeln
Der Fundmentalsatz der Algebra
Quaternionen
A1: Einige Beweise
A2: Lösungen zu den Aufgaben im Text
A3: Zusätzliche Übungsaufgaben
Literaturverzeichnis
Stichwortverzeichnis