Das Rasch-Modell
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Content
2 - Inhaltsverzeichnis [Seite 10]
3 - Verwendete griechische Buchstaben [Seite 12]
4 - 1 Bedeutung des Rasch-Modells für die Entwicklung psychologischer Tests [Seite 14]
5 - 2 Mathematische Formulierung und inhaltliche Bedeutung des Rasch-Modells [Seite 18]
5.1 - 2.1 Die Datenmatrix [Seite 18]
5.2 - 2.2 Die Modellgleichung [Seite 20]
5.3 - 2.3 Aufgaben- und Personencharakteristische Kurven [Seite 23]
5.4 - 2.4 Unterschiedliche Darstellungen der Modellgleichung [Seite 25]
5.5 - 2.5 Zentrale Annahmen und Eigenschaften [Seite 27]
5.5.1 - Suffiziente Statistiken [Seite 27]
5.5.2 - Lokale Stochastische Unabhängigkeit [Seite 29]
5.5.3 - Spezifische Objektivität [Seite 33]
5.5.4 - Eindimensionalität [Seite 36]
5.5.5 - Messniveau [Seite 36]
6 - 3 Parameterschätzung [Seite 40]
6.1 - 3.1 Schätzansätze für das Rasch-Modell [Seite 40]
6.1.1 - 3.1.1 Gemeinsame Maximum-Likelihood-Schätzung [Seite 41]
6.1.2 - 3.1.2 Bedingte Maximum-Likelihood-Schätzung [Seite 42]
6.1.3 - 3.1.3 Marginale Maximum-Likelihood-Schätzung [Seite 46]
6.1.4 - 3.1.4 Weitere Schätzansätze [Seite 47]
6.2 - 3.2 Die Information von Aufgaben und Tests [Seite 48]
7 - 4 Überprüfung der Modellannahmen [Seite 52]
7.1 - 4.1 Der graphische Modelltest [Seite 52]
7.2 - 4.2 Der Likelihood-Quotienten-Test [Seite 54]
7.3 - 4.3 Wald-Tests [Seite 57]
7.3.1 - 4.3.1 Aufgaben-spezifischer Wald-Test [Seite 57]
7.3.2 - 4.3.2 Globaler Wald-Test [Seite 58]
7.4 - 4.4 Weitere Modellgeltungstests für Differential Item Functioning und Mehrdimensionalität [Seite 58]
7.5 - 4.5 Der x2-Anpassungstest [Seite 59]
8 - 5 Ausblick auf verwandte Modelle [Seite 62]
8.1 - 5.1 Das linear-logistische-Testmodell [Seite 62]
8.2 - 5.2 Birnbaum-Modelle [Seite 63]
8.2.1 - 5.2.1 Das zwei-parametrige Birnbaum-Modell [Seite 63]
8.2.2 - 5.2.2 Das Birnbaum-Modell mit zusätzlichem Rateparameter [Seite 65]
8.3 - 5.3 Modelle mit mehrstufigen Antwortkategorien [Seite 67]
8.3.1 - 5.3.1 Das Partial-Credit-Modell [Seite 67]
8.3.2 - 5.3.2 Weitere Modelle für mehrstufige Antwortkategorien [Seite 70]
8.3.3 - Das Rating-Scale-Modell [Seite 70]
8.3.4 - Das Graded-Response-Modell [Seite 70]
8.4 - 5.4 Modellierung von Unterschieden zwischen Personen [Seite 71]
8.4.1 - 5.4.1 Mischverteilungs-Rasch-Modell [Seite 71]
8.4.2 - 5.4.2 Modellbasierte rekursive Partitionierung [Seite 72]
8.4.3 - 5.4.3 Das Rasch-Modell als gemischtes Modell [Seite 73]
8.5 - 5.5 Mehrdimensionale Rasch-Modelle [Seite 74]
9 - A Anpassung von Rasch-Modellen mit R [Seite 76]
9.1 - A.1 Vorbereitungen [Seite 76]
9.2 - A.2 R-Paket eRm [Seite 77]
9.2.1 - A.2.1 Bedingte Maximum-Likelihood-Schatzung der Aufgaben-Parameter [Seite 78]
9.2.2 - A.2.2 Modellkontrolle und Aufgaben-Selektion [Seite 78]
9.2.3 - A.2.3 Graphische Darstellung [Seite 82]
9.2.4 - A.2.4 Schätzung der Personen-Parameter [Seite 83]
9.3 - A.3 R-Paket ltm [Seite 84]
9.3.1 - A.3.1 Marginale Maximum-Likelihood-Schätzung der Aufgaben-Parameter [Seite 84]
9.3.2 - A.3.2 Modellkontrolle und Aufgaben-Selektion [Seite 85]
9.3.3 - A.3.3 Graphische Darstellung [Seite 86]
9.3.4 - A.3.4 Schätzung der Personen-Parameter [Seite 88]
9.4 - A.4 Weitere R-Pakete zur Anpassung von IRT-Modellen [Seite 88]
10 - B Mathematische und statistische Grundlagen [Seite 90]
10.1 - B.1 Mathematische Grundlagen [Seite 90]
10.1.1 - B.1.1 Summen- und Produktzeichen [Seite 90]
10.1.2 - B.1.2 Rechenregeln für Exponentialfunktion und Logarithmus [Seite 90]
10.1.3 - B.1.3 Ableitungsregeln [Seite 91]
10.2 - B.2 Grundlagen der Maximum-Likelihood-Schätzung [Seite 93]
10.3 - B.3 Grundlagen statistischer Tests [Seite 103]
10.3.1 - B.3.1 Tests basierend auf der x2-Verteilung [Seite 103]
10.3.2 - Testentscheidung anhand des Ablehnbereiches [Seite 104]
10.3.3 - Testentscheidung anhand des p-Wertes [Seite 105]
10.3.4 - B.3.2 Tests basierend auf der Normalverteilung [Seite 106]
11 - Literaturverzeichnis [Seite 108]
12 - Autorenregister [Seite 112]
13 - Index [Seite 114]
1 Bedeutung des Rasch-Modells für die Entwicklung psychologischer Tests (S. 1-2)
In vielen Situationen im schulischen, beruflichen und klinischen Alltag werden psychologische Tests verwendet, z.B. um die mathematische Kompetenz von Schülern, die Eignung von Bewerbern, die Kundenzufriedenheit, bestimmte Persönlichkeitseigenschaften oder die Neigung zu Depressionen zu messen. Bei den zu messenden Eigenschaften der Personen handelt es sich dabei um latente, d.h. nicht direkt beobachtbare, Merkmale. Um diese Merkmale zu erfassen, werden den Personen in einem psychologischen Test mehrere Aufgaben gestellt, deren Beantwortung Aufschluss über die interessierende Eigenschaft geben soll.
Bei einem Leistungs- oder Intelligenztest wird z.B. erfasst, welche bzw. wie viele Aufgaben die Person richtig beantwortet hat. Bei einem Test zur Messung einer Persönlichkeitseigenschaft wird hingegen die Zustimmung und Ablehnung zu vorgegebenen Aussagen protokolliert. Als Ergebnis des Tests erhält die Person eine Schätzung ihrer Fähigkeit bzw. ihrer Ausprägung der latenten Eigenschaft.
Vor der Verwendung des fertigen Tests liegt aber die Phase der Testkonstruktion: Ein Expertenteam generiert dafür zunächst einen Satz von Aufgaben, die z.B. mathematische Kompetenzen von Grundschülern der 1. und 2. Klasse abdecken. Diese Aufgaben werden dann einer kritischen Prüfung unterzogen, und oft müssen Aufgaben aussortiert werden, weil sie bestimmte Kriterien nicht erfüllen.
Eine der häufigsten Ursachen für den Ausschluss von Aufgaben ist, dass sie nicht nur die interessierende Eigenschaft messen, sondern noch weitere Eigenschaften sich auf die Beantwortung der Frage auswirken. Bei der Entwicklung eines Tests zur Messung der mathematischen Kompetenz von Grundschülern können z.B. Aufgaben vorkommen, die - neben der mathematischen Kompetenz - auch durch die verbale Kompetenz der Schüler beeinflusst werden: Da es sich bei vielen Mathematik-Aufgaben um Textaufgaben handelt, kann die Formulierung der Aufgabe z.B. Schüler mit Deutsch als Fremdsprache benachteiligen, so dass sie in dem Test schlechter abschneiden - obwohl sie genauso gut in Mathematik sind wie ihre Mitschüler.
So können einzelne Aufgaben, die bestimmte Gruppen von Personen bevorzugen oder benachteiligen, dazu führen, dass das gesamte Testergebnis verzerrt ist und faire Vergleiche zwischen den Personen nicht mehr möglich sind. Um das zu verhindern, müssen alle Test-Aufgaben in der Konstruktions-Phase des Tests einer strengen Prüfung unterzogen werden, z.B. mithilfe des Rasch- Modells. So können nachweislich unfaire Aufgaben aus dem Test ausgeschlossen bzw. durch andere Aufgaben ersetzt werden. Erst wenn der Test aus den restlichen Aufgaben alle Prüfungen erfüllt, ist er "fertig und kann sinnvoll zur Testung in der Praxis verwendet werden. Aus diesem Grund - und nicht etwa, um die Leser unnötig zu quälen - nimmt die statistische Überprüfung von psychologischen Tests in den Lehrbüchern zur Testtheorie und Testkonstruktion oft mehr Raum ein als die praktische Anwendung der fertigen Tests: Nur psychologische Tests, die eine strenge Überprüfung bestanden haben, erlauben objektive Messungen und faire Vergleiche.
