Methoden der Mathematischen Physik I

Erstes Kapitel. Die Algebra der linearen Transformationen und quadratischen Formen.- § I. Lineare Gleichungen und lineare Transformationen.- 1. Vektoren.- 2. Orthogonale Vektorensysteme. Vollständigkei.- 3. Lineare Transformationen, Matrizen.- 4. Bilinearformen, quadratische und hermitesche Formen.- 5. Orthogonale und unitäre Transformationen.- § 2. Lineare Transformationen mit linearem Parameter.- § 3. Die Hauptachsentransformation der quadratischen und Hermiteschen Formen.- 1. Die Durchführung der Hauptachsentransformation auf Grund eines Maximumprinzips.- 2. Charakteristische Zahlen und Eigenwerte.- 3. Verallgemeinerung auf Hermitesche Formen.- 4. Trägheitsgesetz der quadratischen Formen.- 5. Darstellung der Resolvente einer Form.- 6. Lösung des zu einer Form gehörigen linearen Gleichungssystems.- § 4. Die Minimum-Maximum-Eigenschaft der Eigenwerte.- 1. Kennzeichnung der charakteristischen Zahlen durch ein Minimum- Maximumproblem.- 2. Anwendungen.- § 5. Ergänzungen und Aufgaben zum ersten Kapitel.- 1. Lineare Unabhängigkeit und Gramsche Determinante.- 2. Determinantenabschätzung von Hadamard.- 3. Simultane Transformation zweier quadratischer Formen in kanonische Gestalt.- 4. Bilinearformen und quadratische Formen von unendlich vielen Variablen.- 5. Unendlich kleine lineare Transformationen.- 6. Variierte Systeme.- 7. Die Auferlegung einer Bindung.- 8. Elementarteiler einer Matrix oder einer Bilinearform.- 9. Spektrum einer unitären Matrix 37..- Literatur zum ersten Kapitel 38..- Zweites Kapitel. Das Problem der Reihenentwicklung willkürlicher Funktionen.- § I. Orthogonale Funktionensysteme.- 1. Definitionen.- 2. Orthogonalisierung von Funktionen.- 3. Besseische Ungleichung. Vollständigkeitsrelation. Approximation im Mittel.- 4. Orthogonale und unitäre Transformationen in unendlich vielen Veränderlichen.- 5. Gültigkeit der Ergebnisse bei mehreren unabhängigen Veränderlichen. Erweiterung der Voraussetzungen.- 6. Erzeugung vollständiger Funktionensysteme in mehreren Variabein.- § 2. Das Häufungsprinzip für Funktionen.- 1. Konvergenz im Funktionenraum.- § 3. Unabhängigkeitsmaß und Dimensionenzahl.- 1. Unabhängigkeitsmaß.- 2. Asymptotische Dimensionenzahl einer Funktionenfolge.- § 4. Der Weierstraßsche Approximationssatz. Vollständigkeit der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen.- 1. Der Weierstraßsche Approximationssatz.- 2. Ausdehnung des Ergebnisses auf Funktionen von mehreren Veränderlichen 57..- 3. Gleichzeitige Approximation der Ableitungen.- 4. Vollständigkeit der trigonometrischen Funktionen.- § 5. Die Fouriersche Reihe.- 1. Beweis des Hauptsatzes.- 2. Mehrfache Fouriersche Reihen.- 3. Die Größenordnung der Fourierschen Entwicklungskoeffizienten.- 4. Streckung des Grundgebietes.- 5. Einige Beispiele.- § 6. Das Fouriersche Integral.- 1. Beweis des Hauptsatzes.- 2. Ausdehnung des Resultates auf mehr Variable 67..- 3. Reziprozitätsformeln.- § 7. Beispiele für das Fouriersche Integral.- § 8. Die Polynome von Legendre.- 1. Erzeugung durch Orthogonalisierung der Potenzen 1, x, x2..- 2. Die erzeugende Funktion.- 3. Weitere Eigenschaften.- § 9. Beispiele anderer Orthogonalsysteme.- 1. Verallgemeinerung der zu den Legendreschen Polynomen führenden Fragestellung.- 2. Die Tschebyscheffschen Polynome.- 3. Die Jacobischen Polynome 76..- 4. Die Hermiteschen Polynome.- 5. Die Laguerreschen Polynome.- 6. Vollständigkeit der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome.- § I0. Ergänzungen und Aufgaben zum zweiten Kapitel.- 1. Die Hurwitzsche Lösung des isoperimetrischen Problems.- 2. Reziprozitätsformeln.- 3. Fouriersches Integral und mittlere Konvergenz.- 4. Spektrale Zerlegung durch Fouriersche Reihe und Fouriersches Integral.- 5. Dichte Funktionensysteme.- 6. Ein Satz von H. MüNtz über die Vollständigkeit von Potenzen 86..- 7. Der Fejérsehe Summationssatz.- 8. Die Mellinschen Umkehrformeln.- 9. Das Gibbssche Phänomen.- 10. Ein Satz über die Gramsche Determinante.- 11. Anwendung des Lebesgueschen Integralbegriffes.- Literatur zum zweiten Kapitel 94..- Drittes Kapitel. Theorie der linearen Integralgleichungen.- § I. Vorbereitende Betrachtungen.- 1. Bezeichnungen und Grundbegriffe.- 2. Quellenmäßig dargestellte Funktionen.- 3. Ausgeartete Kerne.- § 2. Die Fredholmschen Sätze für ausgeartete Kerne.- § 3. Die Fredholmschen Sätze für einen beliebigen Kern.- § 4. Die symmetrischen Kerne und ihre Eigenwerte.- 1. Existenz eines Eigenwertes bei einem symmetrischen Kern.- 2. Die Gesamtheit der Eigenfunktionen und Eigenwerte 107..- 3. Die Maximum-Minimum-Eigenschaft der Eigenwerte.- § 5. Der Entwicklungssatz und seine Anwendungen.- 1. Der Entwicklungssatz.- 2. Auflösung der inhomogenen linearen Integralgleichung.- 3. Die Bilinearformel für die iterierten Kerne.- 4. Der Mercersche Satz.- § 6. Die Neumannsche Reihe und der reziproke Kern.- § 7. Die Fredholmschen Formeln.- § 8. Neubegründung der Theorie.- 1. Ein Hilfssatz.- 2. Die Eigenfunktionen eines symmetrischen Kernes.- 3. Unsymmetrische Kerne.- 4. Stetige Abhängigkeit der Eigenwerte und Eigenfunktionen vom Kern.- § 9. Erweiterung der Gültigkeitsgrenzen der Theorie.- § I0. Ergänzungen und Aufgaben zum dritten Kapitel.- 1. Beispiele.- 2. Singulare Integralgleichungen.- 3. Methode von E. SChmidt zur Herleitung der Sätze von FRedholm.- 4. Methode von ENskog zur Auflösung symmetrischer Integralgleichungen.- 5. Methode von KEllogg zur Bestimmung von Eigenfunktionen.- 6. Symbolische Funktionen eines Kerns und ihre Eigenwerte.- 7. Beispiel eines unsymmetrischen Kerns ohne Nullösungen.- 8. Volterrasche Integralgleichungen.- 9. Abelsche Integralgleichung.- 10. Die zu einem unsymmetrischen Kerne gehörigen adjungierten Orthogonalsysteme.- 11. Integralgleichungen erster Art.- 12. Die Methode der unendlich vielen Variablen.- 13. Minimumeigenschaften der Eigenfunktionen.- 14. Polare Integralgleichungen.- 15. Symmetrisierbare Kerne.- 16. Bestimmung des lösenden Kernes durch Funktionalgleichungen.- 17. Die Stetigkeit der definiten Kerne.- 18. Satz von HAmmerstein.- Literatur zum dritten Kapitel 137..- Viertes Kapitel. Die Grundtatsachen der Variationsrechnung.- § I. Die Problemstellung der Variationsrechnung.- 1. Maxima und Minima von Funktionen.- 2. Funktionenfunktionen.- 3. Die typischen Probleme der Variationsrechnung.- 4. Die charakteristischen Schwierigkeiten der Variationsrechnung.- § 2. Ansätze zur direkten Lösung.- 1. Isoperimetrisches Problem.- 2. Das Ritzsche Verfahren. Minimalfolgen.- 3. Weitere direkte Methoden. Differenzenverfahren. Unendlich viele Veränderliche.- 4. Prinzipielles über die direkten Methoden der Variationsrechnung.- §3. Die Eulerschen Gleichungen der Variationsrechnung.- 1. Das einfachste Problem der Variationsrechnung.- 2. Mehrere gesuchte Funktionen.- 3. Auftreten höherer Ableitungen.- 4. Mehrere unabhängige Variable.- 5. Identisches Verschwinden des Eulerschen Differentialausdruckes. Divergenzausdrücke.- 6. Homogene Form der Eulerschen Differentialgleichungen.- 7. Variationsprobleme mit Erweiterung der Zulassungsbedingungen. Sätze von Du BOis-REymond und HAar.- 8. Andere Variationsprobleme und ihre Funktionalgleichungen.- § 4. Bemerkungen und Beispiele zur Integration der Eulerschen Differentialgleichung.- § 5. Randbedingungen.- 1. Natürliche Randbedingungen bei freien Rändern.- 2. Geometrische Probleme. Transversalität.- § 6. Die zweite Variation und die Legendresche Bedingung.- § 7. Variationsprobleme mit Nebenbedingungen.- 1. Isoperimetrische Probleme.- 2. Endliche Bedingungsgleichungen.- 3. Differentialgleichungen als Nebenbedingungen.- § 8. Der invariante Charakter der Eulerschen Differentialgleichungen.- 1. Der Eulersche Ausdruck als Gradient im Funktionenraume. Invarianz des Eulerschen Ausdruckes.- 2. Transformationen von ? u. Polarkoordinaten.- 3. Elliptische Koordinaten.- § 9. Transformation von Variationsproblemen in die kanonische und involutorische Gestalt.- 1. Transformation bei gewöhnlichen Minimumproblemen mit Nebenbedingungen.- 2. Die involutorische Transformation der einfachsten Variationsprobleme.- 3. Die Transformation des Variationsproblems in die kanonische Gestalt.- 4. Verallgemeinerungen.- §I0. Variationsrechnung und Differentialgleichungen der mathematischen Physik.- 1. Allgemeines.- 2. Schwingende Saite (Seil) und schwingender Stab.- 3. Membran und Platte.- § II. Ergänzungen und Aufgaben zum vierten Kapitel.- 1. Variationsproblem zu gegebener Differentialgleichung.- 2. Reziprozität bei isoperimetrischen Problemen.- 3. Kreisförmige Lichtstrahlen.- 4. Das Problem der Dido.- 5. Beispiel eines räumlichen Problems.- 6. Das isoperimetrische Problem auf einer krummen Fläche.- 7. Die Indikatrix und ihre Anwendungen.- 8. Variation bei veränderlichem Gebiet.- 9. Die Sätze von E. NOether über invariante Variationsprobleme. Integrale in der Punktmechanik.- 10. Transversalität bei mehrfachen Integralen.- 11. Eulersche Differentialausdrücke auf krummen Flächen.- 12. Das Thomsonsche Prinzip der Elektrostatik.- 13. Gleichgewichtsprobleme beim elastischen Körper. Prinzip von Castigliano.- 14. Das Prinzip von Castigliano in der Balkentheorie.- 15. Das Variationsproblem der Knickung.- Literatur zum vierten Kapitel 233..- Fünftes Kapitel. Die Schwingungs- und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik.- § I. Vorbemerkungen über lineare Differentialgleichungen.- 1. Allgemeines. Das Superpositionsprinzip.- 2. Homogene und unhomogene Probleme. Randbedingungen.- 3. Formale Beziehungen. Adjungierte Differentialausdrücke. Greensche Formeln.- 4. Lineare Funktionalgleichungen als Grenzfälle und Analoga von Systemen linearer Gleichungen.- § 2. Systeme von endlich vielen Freiheitsgraden.- 1. Hauptschwingungen. Normalkoordinaten. Allgemeine Theorie des Bewegungsvorganges.- 2. Allgemeine Eigenschaften der schwingenden Systeme.- § 3. Die schwingende Saite.- 1. Freie Bewegungen der homogenen Saite 245..- 2. Erzwungene Bewegungen.- 3. Die allgemeine unhomogene Saite und das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem.- § 4. Der schwingende Stab.- § 5. Die schwingende Membran.- 1. Das allgemeine Eigenwertproblem der homogenen Membran.- 2: Erzwungene Bewegungen.- 3. Knotenlinien.- 4. Rechteckige Membran.- 5. Kreisförmige Membran. Besseische Funktionen.- 6. Die unhomogene Membran.- § 6. Die schwingende Platte.- 1. Allgemeines.- 2. Kreisförmige Begrenzung.- § 7. Allgemeines über die Methode der Eigenfunktionen.- 1. Die Methode bei Schwingungs- und Gleichgewichtsproblemen.- 2. Wärmeleitung und Eigenwertprobleme.- 3. Sonstiges Auftreten von Eigenwertproblemen.- § 8. Schwingungen dreidimensionaler Kontinua.- § 9. Randwertproblem der Potentialtheorie und Eigenfunktionen.- 1. Kreis, Kugel, Kugelschale.- 2. Zylindrisches Gebiet.- 3. Das Lamésche Problem.- § I0. Probleme vom Sturm-Liouvilleschen Typus. Singuläre Randpunkte.- 1. Besseische Funktionen.- 2. Legendresche Funktionen beliebiger Ordnung.- 3. Jacobische und Tschebyscheffsche Polynome.- 4. Hermitesche und Laguerresche Polynome.- § II. Über das asymptotische Verhalten der Lösungen Sturm-Liouvillescher Differentialgleichungen.- 1. Beschränktheit bei unendlich anwachsender unabhängiger Variabler.- 2. Verschärfung des Resultates (Besseische Funktionen).- 3. Beschränktheit bei wachsendem Parameter.- 4. Asymptotische Darstellung der Lösungen.- 5. Asymptotische Darstellung der Sturm-Liouvilleschen Eigenfunktionen.- § I2. Eigenwertprobleme mit kontinuierlichem Spektrum.- 1. Die trigonometrischen Funktionen.- 2. Die Besseischen Funktionen.- 3. Das Eigenwertproblem der Schwingungsgleichung für die unendliche Ebene.- 4. Das Schrödingersche Eigenwertproblem.- § I3. Störungsrechnung.- 1. Einfache Eigenwerte.- 2. Mehrfache Eigenwerte.- 3. Ein Beispiel zur Störungstheorie.- § I4. Die Greensche Funktion (Einflußfunktion) und die Zurückführung von Differentialgleichungsproblemen auf Integralgleichungen.- 1. Die Greensche Funktion und das Randwertproblem für gewöhnliche Differentialgleichungen.- 2. Die Konstruktion der Greenschen Funktion und die Greensche Funktion im erweiterten Sinne.- 3. Äquivalenz von Differentialgleichungs- und Integralgleichungsproblem.- 4. Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 5. Partielle Differentialgleichungen.- § I5. Beispiele für Greensche Funktionen.- 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 2. Greensche Funktion von ?u für Kreis und Kugel.- 3. Greensche Funktion und konforme Abbildung.- 4. Die Greensche Funktion der Potentialgleichung für eine Kugeloberfläche.- 5. Die Greensche Funktion der Gleichung ?u = 0 für ein Rechtflach.- 6. Die Greensche Funktion von ?u für das Innere eines Rechtecks.- 7. Die Greensche Funktion für einen Kreisring.- § I6. Ergänzungen zum fünften Kapitel.- 1. Beispiele zur schwingenden Saite.- 2. Schwingungen des frei herabhängenden Seils und Besseische Funktionen.- 3. Weitere Beispiele für explizit lösbare Fälle der Schwingungsgleichung. Funktionen von MAthieu.- 4. Parameter in den Randbedingungen.- 5. Greensche Tensoren für Differentialgleichungssysteme.- 6. Analytische Fortsetzung der Lösungen der Gleichung ?u + ?u = 0.- 7. Ein Satz über die Knotenlinien der Lösungen von ?u + ?u = 0.- 8. Beispiel für einen Eigenwert unendlich hoher Ordnung.- 9. Grenzen für die Gültigkeit der Entwicklungssätze.- Literatur zum fünften Kapitel 343..- Sechstes Kapitel. Anwendung der Variationsrechnung auf die Eigenwertprobleme..- § I. Die Extremumseigenschaften der Eigenwerte.- 1. Die klassischen Extremumseigenschaften.- 2. Ergänzungen und Verallgemeinerungen.- 3. Eigenwertprobleme für Bereiche mit getrennten Bestandteilen.- 4. Die Maximum-Minimum- Eigenschaft der Eigenwerte.- § 2. Allgemeine Folgerungen aus den Extremumseigenschaften der Eigenwerte.- 1. Allgemeine Sätze.- 2. Das unendliche Anwachsen der Eigenwerte.- 3. Asymptotisches Verhalten der Eigenwerte beim Sturm- Liouvilleschen Problem.- 4. Singuläre Differentialgleichungen.- 5. Weitere Bemerkungen über das Anwachsen der Eigenwerte. Auftreten negativer Eigenwerte.- 6. Stetigkeitseigenschaften der Eigenwerte.- § 3. Der Vollständigkeitssatz und der Entwicklungssatz.- 1. Die Vollständigkeit der Eigenfunktionen.- 2. Der Entwicklungssatz.- 3. Verschärfung des Entwicklungssatzes.- § 4. Die asymptotische Verteilung der Eigenwerte.- 1. Die Differentialgleichung ?u + ?u = 0 für ein Rechteck.- 2. Die Differentialgleichung ?u + ?u = 0 bei Gebieten, welche aus endlich vielen Quadraten oder Würfeln bestehen.- 3. Ausdehnung des Resultates auf die allgemeine Differentialgleichung L[u] + ??u = 0.- 4. Die Gesetze der asymptotischen Eigenwertverteilung für einen beliebigen Bereich.- 5. Die Gesetze der asymptotischen Eigenwertverteilung für die Differentialgleichung ?u + ?u = 0 in verschärfter Form.- § 5. Eigenwertprobleme vom Schrödingerschen Typus.- § 6. Die Knoten der Eigenfunktionen.- § 7. Ergänzungen und Aufgaben zum sechsten Kapitel.- 1. Ableitung der Minimumeigenschaften der Eigenwerte aus ihrer Vollständigkeit.- 2. Charakterisierung der ersten Eigenfunktion durch ihre Nullstellenfreiheit.- 3. Andere Minimumeigenschaften der Eigenwerte.- 4. Asymptotische Eigen wertverteilung bei der schwingenden Platte.- 5. bis 7. Aufgaben.- 8. Parameter in den Randbedingungen.- 9. Eigenwertprobleme für geschlossene Flächen.- 10. Eigenwertabschätzungen beim Auftreten von singulären Punkten.- 11. Minimumsätze für Membran und Platte.- 12. Minimumprobleme bei variabler Massenverteilung.- 13. Knotenpunkte beim Sturm-Liou villeschen Problem und Maximum- Minimum-Prinzip.- Literatur zum sechsten Kapitel 404..- Siebentes Kapitel. Spezielle durch Eigenwertprobleme definierte Funktionen.- § I. Vorbemerkungen über lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung..- § 2. Die Besseischen Funktionen.- 1. Durchführung der Integraltransformation.- 2. Die Hankeischen Funktionen.- 3. Die Besseischen und Neumannschen Funktionen.- 4. Integraldarstellungen der Besseischen Funktionen.- 5. Eine andere Integraldarstellung der Hankeischen und Besseischen Funktionen.- 6. Potenzreihenentwicklung der Besseischen Funktionen.- 7. Relationen zwischen den Besseischen Funktionen.- 8. Die Nullstellen der Besseischen Funktionen 426..- 9. Die Neumannschen Funktionen.- § 3. Die Kugelfunktionen von Legendre.- 1. Das Schläflische Integral.- 2. Die Integraldarstellungen von Laplace.- 3. Die Legendreschen Funktionen zweiter Art.- 4. Zugeordnete Kugelfunktionen (Legendresche Funktionen höherer Ordnung).- § 4. Anwendung der Methode der Integraltransformation auf die Legendreschen, Tschebyscheffschen, Hermiteschen und Laguerreschen Differentialgleichungen.- 1. Legen dresche Funktionen 437..- 2. Die Tschebyscheffschen Funktionen.- 3. Die Hermiteschen Funktionen.- 4. Die Laguerreschen Funktionen.- § 5. Die Kugelfunktionen von Laplace.- 1. Aufstellung von 2n + 1 Kugelfunktionen nter Ordnung.- 2. Vollständigkeit des gewonnenen Funktionensystems.- 3. Der Entwicklungssatz.- 4. Das Poissonsche Integral.- 5. Die Maxwell-Sylvestersche Darstellung der Kugelfunktionen.- § 6. Asymptotische Entwicklungen.- 1. Die Stirlingsche Formel.- 2. Asymptotische Berechnung der Hankeischen und Besseischen Funktionen für große Argumente.- 3. Sattelpunktmethode.- 4. Anwendung der Sattelpunktmethode zur Berechnung der Hankeischen und Besseischen Funktionen bei großem Parameter und großem Argument.- 5. Allgemeine Bemerkungen über die Sattelpunktmethode.- 6. Methode von DArboux.- 7. Anwendung der Darbouxschen Methode zur asymptotischen Entwicklung der Legendreschen Polynome.