
Numerische Mathematik
Description
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Die Numerische Mathematik ist einer der Grundpfeiler des Mathematik-, Ingenieur-, Physik- und Informatikstudiums. Dieses zweibändige Lehrbuch ist für Einführungsvorlesungen konzipiert und legt eine solide Basis für weiterführende Lerneinheiten. Der Text ist aus Vorlesungsmanuskripten hervorgegangen, die der Verfasser seit etwa 30 Jahren für seine Grundvorlesungen auf dem Gebiet der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens an der Friedrich-Schiller-Universität Jena verwendet.
Das Buch deckt den gesamten Bereich der Numerischen Mathematik von den klassischen Techniken wie Gaußscher Algorithmus und Newtonsches Verfahren bis hin zu modernen Algorithmen wie kubische Spline-Interpolation, Kleinste-Quadrate-Approximation mittels Householder- und Givens-Transformationen sowie Deflationstechniken ab. Die Verfahren werden mathematisch exakt beschrieben, in MATLAB-Codes implementiert und anhand von Beispielen demonstriert. Die MATLAB-Codes sind auf der Webseite des Verlages zum Download bereitgestellt, so dass der Leser seine eigenen Experimente mit den numerischen Verfahren durchführen kann.
Durch seinen didaktischen Aufbau und die zahlreichen anschaulichen Beispiele und Übungsaufgaben eignet sich dieses Buch hervorragend als vorlesungsbegleitende Lektüre und als Grundlage für ein erfolgreiches Selbststudium. Gleichzeitig kann es von Mathematikern, Naturwissenschaftlern und Ingenieuren als profundes Nachschlagewerk herangezogen werden.
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Content
- Intro
- Vorwort zur ersten Auflage
- Vorwort zur zweiten Auflage
- Vorwort zur dritten Auflage
- Vorwort zur vierten Auflage
- Vorwort zur fünften Auflage
- Inhalt
- 1 Wichtige Phänomene des numerischen Rechnens
- 1.1 Numerische Algorithmen und Fehler
- 1.2 Fehlerfortpflanzung, Kondition und numerische Instabilität
- 1.3 Rundungsfehler bei Gleitpunkt-Arithmetik
- 1.4 Aufgaben
- 2 Lineare Gleichungssysteme
- 2.1 Auflösung gestaffelter Systeme
- 2.2 LU-Faktorisierung und Gauß-Elimination
- 2.3 Pivot-Strategien und Nachiteration
- 2.4 Systeme mit speziellen Eigenschaften
- 2.4.1 Positiv definite Systeme
- 2.4.2 Tridiagonale Gleichungssysteme
- 2.4.3 Die Formel von Sherman und Morrison
- 2.5 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen
- 2.5.1 Normen
- 2.5.2 Singulärwertzerlegung (SVD)
- 2.5.3 Fehlerabschätzungen, Kondition
- 2.5.4 Rundungsfehleranalyse der Gauß-Elimination
- 2.6 Iterative Verfahren
- 2.6.1 Konvergenz der Nachiteration
- 2.6.2 Spektralradius und Konvergenz einer Matrix
- 2.6.3 Spezielle Iterationsverfahren
- 2.6.4 Ausblick: Entwicklung neuer Iterationsverfahren
- 2.7 Aufgaben
- 3 Eigenwertprobleme
- 3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren
- 3.1.1 Stetigkeitsaussagen
- 3.1.2 Eigenschaften symmetrischer Matrizen
- 3.1.3 Gerschgorin-Kreise
- 3.2 Nichtsymmetrisches Eigenwertproblem: die Potenzmethode
- 3.2.1 Das Grundverfahren
- 3.2.2 Inverse Potenzmethode
- 3.2.3 Deflationstechniken
- 3.3 Symmetrisches Eigenwertproblem: QR-Methode
- 3.3.1 Transformationsmatrizen: Givens-Rotationen
- 3.3.2 Transformationsmatrizen: Householder-Reflexionen
- 3.3.3 Transformationsmatrizen: Schnelle Givens-Transformationen
- 3.3.4 QR-Algorithmus für symmetrische Eigenwertprobleme
- 3.4 Aufgaben
- 4 Nichtlineare Gleichungen in einer Variablen
- 4.1 Problemstellung
- 4.2 Fixpunkt-Iteration
- 4.3 Newton-Verfahren und Sekanten-Verfahren
- 4.4 Das Verfahren von Müller
- 4.5 Intervall-Verfahren
- 4.6 Fehleranalyse der Iterationsverfahren
- 4.7 Techniken zur Konvergenzbeschleunigung
- 4.8 Ausblick: Verfahren höherer Konvergenzordnung
- 4.9 Globalisierung lokal konvergenter Verfahren
- 4.9.1 Dämpfungsstrategien
- 4.9.2 Homotopieverfahren
- 4.10 Nullstellen reeller Polynome
- 4.10.1 Anwendung des Newton-Verfahrens
- 4.10.2 Das QD-Verfahren
- 4.11 Aufgaben
- 5 Nichtlineare Gleichungen in mehreren Variablen
- 5.1 Fixpunkte von Funktionen mehrerer Variablen
- 5.2 Newton-Verfahren
- 5.3 Quasi-Newton-Verfahren
- 1. Iterationsschritt
- 2. Iterationsschritt
- i-ter Iterationsschritt (i2)
- 5.4 Das Verfahren von Brown
- 1. Teilschritt
- 2. Teilschritt
- 3. Teilschritt
- n-ter Teilschritt
- 5.5 Nichtlineares Ausgleichsproblem
- 5.5.1 Problemstellung
- 5.5.2 Gauß-Newton-Verfahren
- 5.5.3 Abstiegsverfahren
- 5.5.4 Levenberg-Marquardt-Verfahren
- 5.6 Deflationstechniken
- 5.7 Zur Kondition nichtlinearer Gleichungen
- 5.8 Aufgaben
- Literatur
- Liste der verwendeten Symbole
- Stichwortverzeichnis
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