Analysis
Description
Analysis
Dieses Lehrbuch vermittelt einen anschaulichen und kompakten Zugang zu Analysis der ersten drei Semester. Abstraktionen werden, wenn möglich, vermieden. Stattdessen wird an den Kenntnissen des Studienanfängers angeknüpft. Der erste Teil behandelt die Analysis in einer Veränderlichen, von der Definition der reellen Zahlen mittels Binär- und Dezimalzahlen bis zu gleichmäßger Konvergenz. Anschlie- ßend verallgemeinern wir die Theorie auf den höher dimensionalen Fall. Auch eine Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differenzialgleichungen sowie die Sätze von Gauß, Green und Stokes werden behandelt.
Theoretisches wird modulhaft und kompakt auf der linken Seite behandelt, während auf der rechten Seite die passenden Übungen dazu stehen.
Aufwendige Beweise werden seperat behandelt. Es gibt eine Fülle von Aufgaben, da es unmöglich ist, abstrakte Mathematik zu erlernen, ohne ausreichend viele Standardaufgaben selbst durchzurechnen. Lösungen zu den Aufgaben und Erklärvideos des Autoren finden Sie auf der Webseite des Buches. Dieses Buch eignet sich neben den Studierenden der Fächer Physik und Mathematik besonders gut für Studierende des dazugehörigen Lehramtes.
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Autor
T h e o d e J o n g is t P r o f e ss o r fü r M a t h e m a t ik a n d e r J o h a nn e s G u t e n b e r g - U n i v e r s i tä t in Mainz.
Content
- Analysis
- Inhaltsverzeichnis
- Kapitel 0 Mengen und Funktionen
- Kapitel 1 Reelle Zahlen
- 1.1 Binäre Entwicklung
- 1.2 Reelle Zahlen
- 1.3 Grenzwerte und Vollständigkeit
- 1.4 Addition und Multiplikation
- 1.5 Kehrwert und Quadratwurzel
- 1.6 Dezimal- und Binärschreibweise
- 1.7 Supremum und Infimum
- 1.8 Intervalle, Häufungspunkte
- 1.9 Cauchyfolgen
- Kapitel 2 Stetigkeit
- 2.1 Stetige Funktionen
- 2.2 Der Zwischenwertsatz
- 2.3 Grenzwerte
- 2.4 Asymptote
- 2.5 Umkehrfunktionen
- 2.6 Die Exponentialfunktion
- 2.7 Der Logarithmus
- 2.8 Maxima und Minima
- Kapitel 3 Fläche, Winkel und komplexe Zahlen
- 3.1 Offene Mengen in R2
- 3.2 Flächeninhalt
- 3.3 Pythagoras
- 3.4 Drehungen
- 3.5 Das Winkelmaß
- 3.6 Die Winkelfunktionen
- 3.7 Komplexe Zahlen
- 3.8 Geometrie der Addition und Multiplikation
- 3.9 Polynomiale Gleichungen
- Kapitel 4 Differenzialrechnung
- 4.1 Definition der Differenzierbarkeit
- 4.2 Rechenregeln für differenzierbare Funktionen
- 4.3 Ableitung der Winkelfunktionen
- 4.4 Satz von Rolle und Mittelwertsatz
- 4.5 Ableitung der Exponentialfunktion
- 4.6 Extremwerte, höhere Ableitungen
- 4.7 Die l'Hôpital'sche Regel
- 4.8 Die Taylorformel
- 4.9 Konvexität, Konkavität und Wendepunkte
- 4.10 Kurvendiskussion
- 4.11 Das Newton-Verfahren
- 4.12 Die komplexe Exponentialfunktion
- Kapitel 5 Integralrechnung
- 5.1 Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung
- 5.2 Stammfunktionen, Substitutionsregel
- 5.3 Partielle Integration
- 5.4 Integrieren von rationalen Funktionen
- 5.5 Spezielle Substitutionen
- 5.6 Integrale über (halb-)offenen Intervallen
- 5.7 Der Satz von Levi
- 5.8 Trapezregel und simpsonsche Regel
- 5.9 Das Riemann-Integral
- 5.10 Irrationalität von
- 5.11 Eine schwache Form des Primzahlsatzes
- 5.12 Stirlingsche Formel
- Kapitel 6 Reihen und Potenzreihen
- 6.1 Konvergenz von Reihen
- 6.2 Vergleichskriterium
- 6.3 Leibniz-Kriterium
- 6.4 Das Integralkriterium
- 6.5 Quotienten- und Wurzelkriterium
- 6.6 Die Umordnungssätze
- 6.7 Potenzreihen
- 6.8 Differenzieren von Potenzreihen
- 6.9 Reihen mit komplexen Termen
- 6.10 Einsetzen von Potenzreihen
- 6.11 Der abelsche Grenzwertsatz
- Kapitel 7 Funktionenfolgen
- 7.1 Gleichmäßige Konvergenz
- 7.2 Integrieren und differenzieren: Vertauschungsgesetze
- 7.3 Reihen von Funktionen: Weierstraßkriterium
- 7.4 Fourier-Reihen
- 7.5 Beweis des Satzes über Fourier-Reihen
- Kapitel 8 Topologische Begriffe und Stetigkeit
- 8.1 Offene und abgeschlossene Mengen
- 8.2 Randpunkte
- 8.3 Folgen
- 8.4 Stetige Funktionen
- 8.5 Bolzano-Weierstraß, Maxima und Minima
- 8.6 Abstand
- 8.7 Das Lemma von Lebesgue und Kompaktheit
- 8.8 Zusammenhängend und wegzusammenhängend
- 8.9 Gleichmäßige Stetigkeit
- 8.10 Hauptsatz der Algebra
- Kapitel 9 Differenzialrechnung in Rn
- 9.1 Parametrisierte Kurven
- 9.2 Bogenlänge
- 9.3 Höhenlinien
- 9.4 Partielle- und Richtungsableitungen
- 9.5 Totale Differenzierbarkeit
- 9.6 Lokale Extrema I
- 9.7 Die Kettenregel
- 9.8 Differenzieren unter dem Integralzeichen
- 9.9 Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz
- 9.10 Lokale Extrema II
- 9.11 Die Taylorformel
- Kapitel 10 Untermannigfaltigkeiten
- 10.1 Der implizite Funktionensatz: Eine Gleichung
- 10.2 Impliziter Funktionensatz: Mehrere Gleichungen
- 10.3 Inverser Funktionensatz
- 10.4 Untermannigfaltigkeiten
- 10.5 Tangentialräume
- 10.6 Lagrange-Multiplikatorensatz
- 10.7 Klassifikation von Kurven
- Kapitel 11 Volumen und Integration
- 11.1 Volumen von offenen Mengen
- 11.2 Das Prinzip von Cavalieri
- 11.3 Das Integral für stetige Funktionen
- 11.4 Volumen und lineare Abbildungen
- 11.5 Diffeomorphismen: Die Transformationsformel
- 11.6 Polarkoordinaten und Kugelkoordinaten
- 11.7 Tubularumgebungen
- 11.8 Integrale auf Untermannigfaltigkeiten
- 11.9 Volumen von Tubularumgebungen
- Kapitel 12 Lebesgue-Maß und Lebesgue-Integral
- 12.1 Das Lebesgue-Maß
- 12.2 Das Lebesgue-Integral
- 12.3 Fast überall
- 12.4 Das Prinzip von Cavalieri für das Lebesgue-Integral
- 12.5 Additivität, Fubini und Tonelli
- 12.6 Satz von dominierter Konvergenz
- 12.7 Treppenfunktionen
- 12.8 Differenzieren unter dem Integralzeichen
- 12.9 Das Banach-Tarski-Paradox
- Kapitel 13 Differenzialgleichungen
- 13.1 Picard-Lindelöf-Verfahren
- 13.2 Lineare Differenzialgleichungen
- 13.3 Trennbare Variablen
- 13.4 Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung
- 13.5 Systeme linearer Differenzialgleichungen I
- 13.6 Die Exponentialfunktion für Matrizen
- 13.7 Systeme linearer Differenzialgleichungen II
- 13.8 Differenzialgleichungen höherer Ordnung
- 13.9 Maximale Lösungen von Differenzialgleichungen
- 13.10 Exakte Differenzialgleichungen und erste Integrale
- 13.11 Integrierende Faktoren
- Kapitel 14 Vektoranalysis
- 14.1 Kurvenintegrale
- 14.2 Wegintegral und Potenzialfunktionen
- 14.3 Orientierbarkeit und Fluss
- 14.4 Der Divergenzsatz von Gauß
- 14.5 Der Divergenzsatz mit singulärem Rand
- 14.6 Der Satz von Stokes in R3
- 14.7 Beweis des Satzes von Stokes
- A Der allgemeine Satz von Stokes
- A.1 Untermannigfaltigkeiten mit Rand
- A.2 Multilinearformen
- A.3 Differenzialformen in Rn
- A.4 Differenzialformen auf Untermannigfaltigkeiten
- A.5 Integrieren und der Satz von Stokes
- Index
- Copyright
