Bruchrechnung für Dummies

Schummelseite

Viele Schülerinnen und Schüler empfinden das Rechnen mit Brüchen als Herausforderung. Diese Schummelseiten zeigen einige grundlegende Schritte, die im Mathematikunterricht hilfreich sein können.

Brüche in äquivalente Formen umwandeln

Bei der Arbeit mit Brüchen kann es erforderlich sein, einen Bruch in eine andere, äquivalente Form zu überführen. Dies geschieht, indem man Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert.

Brüche vereinfachen

Das Vereinfachen eines Bruchs bedeutet, ihn in eine äquivalente Form mit kleineren Zähler- und Nennerwerten zu überführen. Hierzu werden Zähler und Nenner durch denselben Wert dividiert.

Um den Bruch zu vereinfachen, können Zähler und Nenner durch 2 geteilt werden:

Jeder Bruch besitzt eine einfachste Form, in der Zähler und Nenner die kleinsten ganzen Zahlen darstellen, die den Wert des Bruchs unverändert lassen. Wenn Sie aufgefordert werden, einen Bruch zu vereinfachen, wird in der Regel erwartet, dass Sie ihn in dieser einfachsten Form angeben. Dies kann die wiederholte Anwendung des im vorherigen Beispiel gezeigten Divisionsprozesses erfordern.

Um den Bruch in seine einfachste Form zu überführen, gehen Sie wie folgt vor:

1. Teilen Sie Zähler und Nenner durch 2.

   Da sowohl 42 als auch 60 durch 2 teilbar sind, können Sie diesen Faktor herausdividieren:

2. Teilen Sie Zähler und Nenner durch 3.

   Da sowohl 21 als auch 30 durch 3 teilbar sind, können Sie diesen Faktor herausdividieren:

Das Ergebnis ist der Bruch , die einfachste Form, in die der Bruch umgewandelt werden kann. Das bedeutet, er lässt sich nicht weiter vereinfachen, indem ein weiterer gemeinsamer Faktor herausdividiert wird.

Brüche durch Multiplikation von Zähler und Nenner erweitern

Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen ist es häufig erforderlich, einen Bruch durch Multiplikation des Zählers und des Nenners mit demselben Faktor in einen äquivalenten Bruch zu überführen. Dieser Vorgang wird als Erweitern des Bruchs bezeichnet.

In den meisten Fällen, in denen eine Erweiterung erforderlich ist (zum Beispiel um Brüche mit gleichem Nenner für die Addition oder Subtraktion zu erhalten), sind der Ausgangsbruch und der Zielnenner gegeben. Die Aufgabe besteht darin, den entsprechenden Zähler des neuen Bruchs zu ermitteln.

Um beispielsweise den Bruch in einen gleichwertigen Bruch mit dem Nenner 20 umzuwandeln, multiplizieren Sie den aktuellen Nenner 4 mit 5, um den Zielnenner 20 zu erhalten:

Um sicherzustellen, dass der neue Bruch denselben Wert wie der Ausgangsbruch hat, multiplizieren Sie auch den Zähler 3 mit 5:

Unechte Brüche in gemischte Zahlen umwandeln - und umgekehrt

Jede gemischte Zahl kann in einen unechten Bruch umgewandelt werden. Ein einfacher Trick, der manchmal als »Popcorn-Methode« bezeichnet wird, macht diesen Vorgang besonders anschaulich. Die Methode verdankt ihren Namen der grafischen Darstellung, die an ein Stück Popcorn erinnert. Betrachten Sie die Umwandlung von als Beispiel:

1. Multiplikation: Multiplizieren Sie den Nenner des Bruchteils (4) mit der ganzen Zahl (2):
2. Addition: Addieren Sie das Ergebnis (8) zum Zähler des Bruchteils (3):
3. Nenner beibehalten: Der Nenner des unechten Bruchs ist derselbe wie der des Bruchteils der gemischten Zahl (4).

Die grafische Darstellung dieser Schritte, bei der die Verbindungslinien an ein Stück Popcorn erinnern, macht die Methode besonders einprägsam.

Für die Umwandlung unechter Brüche in gemischte Zahlen gibt es zwei gängige Methoden:

• Die Subtraktionsmethode: Besonders geeignet, wenn der Zähler nur geringfügig größer als der Nenner ist. Sie ermöglicht eine schnelle Umwandlung durch einfache Subtraktion.
• Die Divisionsmethode: Empfehlenswert, wenn der Zähler deutlich größer als der Nenner ist. Hierbei wird eine Divisionsaufgabe mit Rest verwendet, um das Ergebnis zu ermitteln.

Die Subtraktionsmethode im Detail

Diese Methode eignet sich hervorragend für die schnelle Umwandlung kleinerer unechter Brüche in gemischte Zahlen. Befolgen Sie einfach diese Schritte:

1. Schreiben Sie die Zahl 1 als ganzzahligen Teil der gemischten Zahl auf.

   Beispiel:

2. Subtrahieren Sie den Nenner des unechten Bruchs vom Zähler.

3. Verwenden Sie das Ergebnis der Subtraktion als Zähler des Bruchteils.

   ?

4. Der Nenner des Bruchteils entspricht dem Nenner des ursprünglichen unechten Bruchs.

Die Methode der Division

Wenn ein unechter Bruch sehr groß wird, das heißt, wenn der Zähler den Nenner deutlich übersteigt, ist die Divisionsmethode oft effizienter als die wiederholte Subtraktion. Betrachten Sie beispielsweise die Umwandlung von in eine gemischte Zahl:

In solchen Fällen bietet die Divisionsmethode eine direkte und elegante Lösung. Folgen Sie diesen Schritten:

1. Schreiben Sie den unechten Bruch als Divisionsaufgabe:

2. Führen Sie eine Division mit Rest durch.

   Das Ergebnis ist 13 mit einem Rest von 1.

3. Drücken Sie den Rest als Bruch aus, indem Sie den gleichen Nenner wie für den unechten Bruch verwenden, mit dem Sie begonnen haben.

Brüche addieren und subtrahieren

Dieser Abschnitt bietet Ihnen einen Überblick über die Grundlagen der Addition und Subtraktion von Brüchen. Ziel ist es, Ihnen ein sicheres Gefühl zu vermitteln und Sie auf die Lösung verschiedenster Bruchaufgaben vorzubereiten.

Trotz der zahlreichen Regeln, die das Addieren und Subtrahieren von Brüchen umgeben, verlieren viele Menschen den Überblick, wenn sie mit einer konkreten Aufgabe konfrontiert werden. Tatsächlich lassen sich jedoch alle Aufgaben dieser Art auf maximal drei Schritte reduzieren:

1. Bevor Sie Brüche addieren oder subtrahieren können, müssen Sie einen gemeinsamen Nenner für alle beteiligten Brüche finden.

   Um einen gemeinsamen Nenner zu finden, müssen Sie möglicherweise einen, zwei oder sogar drei oder mehr Nenner anpassen. Techniken wie die Kreuzmultiplikation oder das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) können hierbei hilfreich sein.

   Wenn die Brüche bereits denselben Nenner haben, können Sie diesen Schritt überspringen.

2. Führen Sie die Addition oder Subtraktion durch.

   Dieser Schritt ist immer notwendig. Nachdem Sie einen gemeinsamen Nenner gefunden haben, werden lediglich die Zähler addiert oder subtrahiert. Der Nenner bleibt unverändert.

3. Bringen Sie das Ergebnis in die korrekte Form.

   Überprüfen Sie, ob das Ergebnis vereinfacht werden kann (zum Beispiel durch Umwandlung von in ) oder ein unechter Bruch in eine gemischte Zahl umgewandelt werden muss (zum Beispiel in ).

   Wenn das Ergebnis bereits in der korrekten Form vorliegt, können Sie diesen Schritt überspringen.

Brüche multiplizieren und dividieren

Die meisten Menschen empfinden das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen als einfacher als das Addieren oder Subtrahieren. Ein Hauptgrund dafür ist, dass kein gemeinsamer Nenner gefunden werden muss!

So multiplizieren Sie zwei Brüche:

1. Multiplizieren Sie die beiden Zähler (oberen Zahlen) und verwenden Sie das Ergebnis als Zähler Ihrer Antwort.
2. Multiplizieren Sie die beiden Nenner (unteren Zahlen) und verwenden Sie das Ergebnis als Nenner Ihrer Antwort.

Um beispielsweise das Ergebnis von zu berechnen, gehen Sie wie folgt vor:

Die Multiplikation von Brüchen durch das Kürzen gemeinsamer Faktoren erleichtern

Beim Multiplizieren von Brüchen können Sie sich die Arbeit oft erleichtern, indem Sie gemeinsame Faktoren vor der eigentlichen Multiplikation kürzen. Das bedeutet, Sie teilen Zähler und Nenner durch denselben Wert, um die Zahlen kleiner zu machen.

Nehmen wir das Beispiel . Hier sehen Sie, dass 8 und 22 jeweils durch 2 teilbar sind. Sie kürzen also:

Nun steht statt 8 die Zahl 4 (weil 8 ÷ 2 = 4) und statt 22 die Zahl 11 (weil 22 ÷ 2 = 11).

Als Nächstes fällt auf, dass 15 und 25 beide durch 5 teilbar sind ( und ). Sie kürzen erneut:

Jetzt gibt es keine gemeinsamen Teiler mehr. Wir können also die Multiplikation durchführen:

Der Bruch ist bereits die einfachste Form, da Sie alle gemeinsamen Faktoren im Vorfeld gekürzt haben.

Brüche mithilfe der Kehrwertmethode dividieren

Die Division von Brüchen unterscheidet sich nur geringfügig von der Multiplikation. Der entscheidende Unterschied liegt in der Anwendung der »Kehrwertmethode«, mit der eine Division von Brüchen in eine Multiplikation von Brüchen umgewandelt...