Quantencomputing für Dummies
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Über den Autor 9
Einleitung 21
Über dieses Buch 21
Törichte Annahmen über die Leser 21
Vor welchen speziellen Herausforderungen standen wir? 23
Wo liegen die verstandesmäßigen Knackpunkte? 23
Damit stehen wir vor der folgenden Aufgabe 24
Umgang mit der Komplexität 24
Was muten wir zu? 25
Wie dieses Buch aufgebaut ist 26
Eingestreute »two cents« 28
Was wir draußen ließen 28
Konventionen und Symbole in diesem Buch 29
Danksagungen 29
Widmungen 30
Teil I: Neue Phänomene und neue Betrachtungsweisen 31
Kapitel 1 Quantencomputing - hope or hype? 35
Analogcomputer - Digitalcomputer - Quantencomputer 36
Konzepte des Quantencomputers 37
Verheißungen 38
Höher - schneller - weiter 38
Ein heiliger Gral des Quantencomputing 39
Verheißungen im Überblick 40
Berechenbarkeit und ihre Grenzen 41
Weitere Vereinheitlichungen in der Physik 41
Die Welt als prinzipiell berechenbares Uhrwerk 42
Neue Vorstellungen - neue Formeln - neue Datenstrukturen 42
Kapitel 2 Unterschiede, die einen Unterschied machen 47
Bits und Qubits 48
Bits 48
Qubits 48
Das geometrische Bild eines Qubit 49
Algebraische Beschreibung eines Qubit 53
Im Herzen des Quantencomputing 55
Ein erster Einstieg - dense coding 55
Operationen mit Vektoren - Ausblick auf Matrizen 59
Kapitel 3 Matrizen 61
Zum Einsatz und zur Handhabung von Matrizen 61
Beispiel: Fertigungskosten und ihre Abhängigkeiten 62
Zwischenbetrachtung: Klassische Bits und Bitfolgen als Vektoren 64
Bits implementiert als spezielle Qubits 64
Irritationen beim Übergang zum kartesischen Produkt 65
Wenn nicht das kartesische Produkt - was dann? 66
Welche Hypothek gehen wir mit dem Tensorprodukt gegenüber der Natur ein? 67
Bits als Vektoren: ein erstes Resümee 70
Bellzustände 71
Lineare Operationen auf Tensorräumen 71
Operationen zur Erzeugung einer Bell-Basis 71
Transformationen der Bell-Basis 75
Was ist nun das Besondere der Bell-Basis 77
Dense coding - revisited 79
Ausblicke 80
Kapitel 4 Teleportation - abstrakt und physikalisch 81
Beam me up, Scotty 82
Teleportation für Mathematiker 82
Ein erstes Resümee der mathematischen Beschreibung 87
Teleportation für Physiker 87
Resümee der physikalischen Beschreibung 94
Teil II: Neue Spielregeln in der Physik 95
Kapitel 5 Hinter dem Monitor 97
Die klassische Sichtweise 98
Klassische Physik 98
Ein Blick hinter den Monitor... 99
... und hinter die Physik 99
Kapitel 6 Abstieg in die Unterwelt 103
Geänderte Spielregeln 104
Skalierungen 104
»Law without law« 105
Berechnungen des Zufalls 106
Was läuft in der Mikrophysik »schief« - oder besser: anders 112
Auf welche Weise kommen Elementarereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten zustande? 112
Amplituden - Zusammenfassung ihrer funktionalen Prinzipien 120
R-Prozesse - Messungen 121
Doppelspalt - revisited 122
U-Prozesse - ungestörte Dynamik 125
Beschreibung der U-Prozesse 126
Einige »Gretchenfragen« 126
Infinite (?) Regresse 126
Management Summary 127
Der zu zahlende Preis 128
Letzte Notizen zum Messproblem in der Quantenmechanik 129
Versuche der Widerspruchsauflösung 130
Teil III: Qubits und ihre Operatoren 133
Kapitel 7 Bits - als Vektoren betrachtet 135
Bits und Qubits 136
Vorbereitung des Übergangs von Bits zu Qubits - Bits als Vektoren 136
Der Übergang von logischen Operationen zu unitären Operatoren - ternäre Operatoren 142
Wo stehen wir nun - und wo wollen wir hin? 146
Kapitel 8 Qubits - revisited 147
Qubits und ihre Operatoren 147
Das einzelne Qubit und seine Blochsphäre 148
Unitäre Operatoren auf dem einzelnen Qubit 152
Noch mehr unitäre Operatoren 157
Universalitätseigenschaften der Qubit-Operationen 162
Notizen zu physikalischen Implementierungen 163
Quantensysteme mit zwei (ausgezeichneten) Zuständen 164
Kapitel 9 Methoden der Fehlerbehandlung 165
Das No-Cloning-Theorem 166
Bitflip-Codes 167
Implementierung des Bitflip-Codes 167
Zur Messbarkeit einzelner Bitflips 168
Identifikation und Korrektur eines Bitflips an beliebiger Stelle 170
Phasenflip-Codes 171
Rückführung von Phasenflips auf Bitflips 172
Shor-Code 173
Teil IV: Quantenfouriertransformationen und mehr 175
Kapitel 10 Fouriertransformationen 177
Vorüberlegungen zur Fourieranalyse 178
Periodische Funktionen 178
Zur Fourieranalyse 180
Formeln der Fourieranalyse 181
Auf dem Weg zur diskreten Fouriertransformation 183
Ein kurzer Steilkurs in Modulorechnung 183
Die Relevanz der Ordnung einer Klasse für die Primfaktorzerlegung 185
Zwischenresümee: Wo stehen wir, wo wollen wir hin? 185
Eine Herleitung der diskreten Fouriertransformation 186
Übergang von einer Zahlenfolge zu einer Treppenfunktion 187
Die diskrete Fouriertransformation als lineare Abbildung 188
Normierung der Transformationsmatrix 189
Die Quantenfouriertransformation 190
Zur Power eines N-Qubit-Systems 190
Codierung der Basis eines N-Qubit-Systems 191
Eingaben in die Quantenfouriertransformation 192
Zur Aufbereitung der Quantenfouriertransformierten 193
Dualbrüche in e2pi kj 2n 194
Abschließende Regruppierung der Quantenfouriertransformierten 196
Management Summary: Mathematische Aufbereitung der Quantenfouriertransformierten 198
Implementierung der Quantenfouriertransformation 198
Gewinnung des Phasenfaktors e(2pi)(0,jn-l+1···jn)2 199
Schaltbilder für die Quantenfouriertransformation 201
Kapitel 11 Anwendungen der Quantenfouriertransformation 203
Phasenschätzung 204
Iterierte U-Operationen 204
Spezialfall: ¿¿¿¿ = (0, ¿¿¿¿1¿¿¿¿2 · · · ¿¿¿¿t)2 205
Näherungen 207
Management Summery: Phasenabschätzung von e2pi¿¿¿¿ 210
Folgerungen der Phasenabschätzung: Wege zum Bestimmen der »Ordnung« einer Zahl 211
Iterierte Multiplikation mit einem festen [x] 211
Parallele Verarbeitung der Eigenvektoren |us¿ 213
Finale der Berechnung der Ordnung 215
Management Summery: Berechnung der Ordnung einer Zahl 216
Der Shor-Agorithmus 217
Konsequenzen für die Kryptologie 218
Teil V: Weitere Anwendungen 219
Kapitel 12 »Feind hört (nicht) mit« 221
Zum Einstein-Podolski-Rosen-Paradoxon 221
Bellzustand zweier Teilchen mit Spin 221
Hidden variables 222
»second two cents« 222
Die bellsche Ungleichung 223
Berechnung der Erwartungswerte 224
Unvereinbarkeit der bellschen Ungleichung mit der Quantenmechanik 226
Rollentausch: Teilchen im Bellzustand als Münzen 226
Die Rechnungen im Einzelnen 228
Relevanz der bellschen Ungleichung für Verschlüsselungsverfahren 231
(K)ein »Knacken in der Leitung« 232
Symmetrische und asymmetrische Verfahren 233
Die Funktionsweise symmetrischer Verschlüsselungsverfahren 233
Das BB84-Protokoll 234
Zusammenfassung des BB84-Protokolls 239
E91-Protokoll 240
Kombination mit klassischen Verschlüsselungsverfahren 242
Kapitel 13 Wer suchet, der findet (schneller) 245
Die Suche im Heuhaufen 245
Benutzung eines Quantenschaltkreises 245
Idee des Grover-Algorithmus 246
Analyse der Grover-Iterationen 246
Kapitel 14 Zur Quantensimulation durch Quanten 251
Bemerkungen zu analogen Verfahren 252
Gradientenstrategien 252
Adiabatisches Quantencomputing 254
Zum adiabatischen Theorem der Quantenmechanik 255
Teil VI: Top Ten Teil 261
Kapitel 15 Ein Zusammenspiel von Physik, Mathematik, Informatik und Ingenieurwissenschaften in 10 Schritten 263
Und in fernerer Zukunft? - Vision in Rosa 266
Anhang 267
Anhang A Theoreme zur klassischen Zahlentheorie 269
Restklassenringe 269
Wohldefiniertheit der Operationen auf den Restklassen 270
Der euklidische Algorithmus 271
Einheiten in Zn 272
Eulersche ¿¿¿¿-Funktion 272
Return on Invest - das RSA-Verfahren in der Kryptologie 273
Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren 274
Das RSA-Verfahren in der Theorie 274
Praktische Bemerkungen zum RSA-Verfahren 276
Faktorisierung 277
Auffinden eines nichttrivialen Faktors von n 277
Notizen zu Kettenbrüchen 278
Kettenbrüche und ihre Konvergenten 279
Finale des Auffindens der gesuchten Ordnung r 281
Anhang B Komplexe Zahlen 283
Addition und Multiplikation 283
Definition der Multiplikation 284
Vektoren in der Rolle komplexer Zahlen 285
Wichtige Kenngrößen 285
Die komplexe e-Funktion 286
Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten 287
Komplexe Zahlen als Matrizen 288
Anhang C Stochastik 291
Einführung 291
Ereignisse und Elementarereignisse 291
Wahrscheinlichkeiten 293
Wahrscheinlichkeitsräume 294
Benutzung mengentheoretischer Operationen 294
Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabängigkeit 295
Regeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten
mengentheoretisch verknüpfter Ereignisse 295
Wahrscheinlichkeitsräume in der Quantenmechanik 297
Elementarereignisse in der Mikrowelt 297
Resümee 298
Anhang D Identische Teilchen 301
Klassischer Münzwurf 301
Analyse des Münzwurfs 303
»Münzwurf« mit Mikroteilchen 303
Anhang E Lineare Algebra in a nutshell 307
Vektoren 307
Addition 307
Skalare Multiplikation 309
Skalarprodukt 309
Darstellung von Vektoren im dreidimensionalen Raum 310
Abstrakte Vektorräume 311
Charakterisierung eines abstrakten Vektorraums 311
Besonderheiten des komplexen Skalarprodukts 312
Linearkombinationen, Basen und Dimensionen 312
Normierte Vektoren und Orthonormalbasen 313
Hilberträume 313
Kartesische und Tensorprodukte 314
Tensorprodukte 314
Lineare Abbildungen 315
Lineare Abbildungen und Matrizen 315
Eigenwerte und Eigenvektoren 316
Matrizen und Tensorprodukte 316
Skalarprodukte auf Tensorräumen 317
Unitäre Operatoren 317
Hermitesche Operatoren 317
Anhang F Wichtige Hermitesche Operatoren in der Quantenmechanik 319
Zur physikalischen Interpretation der Wellenfunktion 321
Repräsentation der Messapparate 322
Die Observablen für Ort und Impuls 324
Überblick über die Darstellungen des Orts- und Impulsoperators 327
Der Hamiltonoperator 330
Eigenwerte und Eigenfunktionen eines freien Teilchens 331
Anhang G Schrödingergleichung 333
Bedeutung von e-iH·t ¿ 333
Zur effizienten Berechenbarkeit der Lösungen 335
Letzte Spekulationen 336
Anhang H Symbolverzeichnis 339
Abbildungsverzeichnis 341
Stichwortverzeichnis 347
Einleitung
Solange man eine Wahrheit als tief empfindet,
solange hat man sie noch nicht richtig verdaut.
Über dieses Buch
Es ist ein faszinierender Zug unseres Universums, dass es sich als berechenbar erweist und dadurch uns gleichzeitig Werkzeuge schaffen lässt, das Universum - sagen wir besser: kleine Teile davon - berechnen zu können. Unter Benutzung der mechanischen Gesetzmäßigkeiten wurden schon früh »Kalkulatoren« konstruiert, zum Beispiel von Gottfried Leibnitz, Blaise Pascal und anderen.
Manche der Naturgesetze wirkten im Verborgenen. Erst mit dem Eindringen in die Mikrowelt zeigten sie sich. Dabei wurden nicht einfach nur neue Regeln sichtbar, sondern es wurde ein ganz neues »Paradigma« der Naturbeschreibung geboten. Diese neuen Gesetzmäßigkeiten lassen sich zum Bau neuer (Quanten-)Kalkulatoren nutzen, was an sich vor dem Hintergrund früher gemachter Erfahrungen nicht so überraschend sein musste. Relevant ist, dass man unter Ausnutzung der neuen Gesetzmäßigkeiten um vieles schneller rechnen kann. Man rechnet geradezu in einer neuen Liga. Hinzu kommt, dass eine effiziente Berechnung mikrophysikalischer Prozesse erst mit den neuen Quantenkalkulatoren möglich wird. Es gilt gleichsam: »Die effiziente Berechnung von Quantenprozessen erfordert den gezielten Einsatz von Quantenprozessen«.
In diesem Sinne ist es ein Ziel dieses Buchs, sowohl die dem Quantencomputing zugrunde liegenden Prinzipien zu beschreiben als auch die darauf beruhenden innovativen Algorithmen.
Törichte Annahmen über die Leser
Das Buch ist hervorgegangen aus einer Reihe von Seminaren, die an unserer Hochschule und in Schloss Dagstuhl, zum Teil in Kooperation mit der Universität des Saarlands, durchgeführt wurden. Viel Feedback unserer Studenten ist eingegangen, und so ist das Buch vor allem für Studenten gedacht, die sich mit dem relativ neuen und sich dynamisch entwickelnden Gebiet auseinandersetzen möchten. Mit einem gewissen Basiswissen aus der linearen Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie wird ihnen - so unsere Hoffnung - hier eine gute Handreichung geboten. In diesem Kontext können wir uns natürlich auch vorstellen, dass auch der eine oder andere Kollege einen Blick hinein wagen möchte. Vielleicht findet er den einen oder anderen Abschnitt dabei sogar etwas »süffig«.
Ein paar subtile Hintergedanken, was weitere Kreise unserer potenziellen Leserschaft anbetrifft, hatten wir darüber hinaus. Wir nehmen hierzu eine kleine »literarische Anleihe« beim ehemaligen Forschungsminister Volker Hauff, der zur Neuerscheinung der deutschen Ausgabe des Scientific American ein Geleitwort schrieb:
»Wissenschaft, Forschung und Technologie sind heute entscheidende Einflußfaktoren unserer gesamtgesellschaftlichen Entwicklung. [.] Der Dialog zwischen Wissenschaft und Öffentlichkeit setzt die laufende Information über wissenschaftliche, technologische und ökonomische Entwicklungen, ihre Alternativen und Konsequnezen voraus: Information aller am Innovationsprozeß interessierten Unternehmen, Verbände, Wissenschaftler und natürlich der staatlichen Institutionen; Information der Bürger, weil demokratische Beteiligung davon abhängt, daß neue Entwicklungen rechtzeitig gesehen, verstanden und bewertet werden.«
Und bereits 15 Jahre vorher schrieb der seinerzeitige Forschungsminister Hans Lenz zur Gründung der Zeitschrift »Bild der Wissenschaft«:
».die Öffentlichkeit wird nur dann auf eine großzügige Förderung der Wissenschaft drängen, wenn sie sich der steigenden Bedeutung der Wissenschaft bewußt ist. «
Nun hat man durchaus den Eindruck, dass die »Öffentlichkeit sich der Bedeutung der Wissenschaft bewußt ist«, wo man hingegen Zweifel hegen mag, ist, ob »neue Entwicklungen wirklich verstanden werden«, um sie selbst angemessen bewerten zu können. Man verlässt sich auf Experten und gerät unversehens in ein Fahrwasser der - pardon - »Wahrheitsfindung per Zitatologie«.
Damit kommen wir aber zu einem systemischen Problem: Der vermittelnde Wissenschaftler hat die Zeit, sein Thema aufzubereiten, der Adressat muss sie sich in Konkurrenz zu anderen Interessen und Verpflichtungen nehmen. Dies betrifft insbesondere politische und sonstige Meinungsführer, die keine Zeit haben. Sie haben einfach nie Zeit. Sogar die jungen Leute an unseren Hochschulen, denen man noch eine gewisse Zeitsouveränität zubilligen würde, sind - das ist so schnell wohl nicht zu ändern - sehr von ihren Smartphones und YouTube absorbiert. Für die früheren Generationen der Karl-May-Leser war das Lesen gedruckter Bücher noch selbstverständlicher. Heute muss man dafür werben. Und wir denken, dass es exzellente Gründe gibt, zu einem Buch zu greifen. Wir sehen ein gutes Buch als »Haupttriebwerk« und die YouTube-Videos als »Booster«.
Wenn wir mit unseren Hintergedanken über unsere Studenten und Kollegen hinaus an Entscheider oder andere Multiplikatoren wie Fachjournalisten denken, stellt sich die ganz praktische Frage, wie man potenzielle Leser animieren kann, im Buch zu schmökern. Nicht aus unangenehmer Pflicht, sondern lustvoll.
Wie also kann man potenzielle Leser animieren, zu einem/diesem Buch zu greifen? Man sollte es zum einen bebildern, und zwar mit Grafiken, die überraschende Botschaften beinhalten. Dies haben wir in den ersten Kapiteln versucht, etwa mit dem Bild eines neugierigen Menschen, der hinter den Monitor zu blicken versucht. Einen Schuss »Zauberei« haben wir dazugegeben, zum Beispiel beim Bombentest-Experiment mittels einer »Nullmessung« vor dem Hintergrund des Doppelspaltexperiments. Dabei haben wir den Stoff in möglichst kleine Häppchen aufgeteilt mit vielen verschiedenen »Einsprungstellen«. Der Preis hierfür besteht in einer gewissen Redundanz, in Wiederholungen von zum Teil schon vorher Gesagtem. (Allerdings hat eine maßvolle Redundanz in den Lehrveranstaltungen unsere Studenten nie so wirklich gestört .)
Insofern haben wir die Hoffnung, den einen oder anderen aus den genannten Personengruppen zunächst zum Blättern und dann doch zum Lesen zu verführen.
Vor welchen speziellen Herausforderungen standen wir?
Ein Buch über »Quantencomputing« erfordert wie schon angedeutet einen Spagat zwischen Anschaulichkeit - das sind die klassischen Anforderungen einer breiteren Leserschaft - und einer Beschreibung der eigentlich unanschaulichen Prozesse in der Mikrowelt - das sind die nicht verhandelbaren Anforderungen der Natur selbst. Man ist in solchen Fällen geneigt, mit Metaphern zu arbeiten, die im Grenzfall dann eben doch eine falsche Anschaulichkeit vorspiegeln.
Geht es auch anders? In einer Rezension zu »The road to reality« von Roger Penrose lesen wir:
»Die übliche Weise moderne Physik einem größeren Auditorium zu vermitteln, sind Sachbücher, wie die von S. Hawking, P. Davis, J. Barrow oder B. Green nur um einige zu nennen, die sich wohl verdienter Weise großer Beliebtheit und Verbreitung erfreuen, leider weichen diese Darstellung - mit unter im entscheidenden Moment - in Metaphern aus, zum Beispiel wird das oft zitierte Gummituch als Gleichnis für die gekrümmte Raumzeit der Relativitätstheorie bemüht.«
Kenner dieses Buchs wissen, dass Penrose nicht in Metaphern ausweicht und dabei Stephen Hawking in dessen Ansicht, dass jede Formel in einem Buch die Anzahl der Leser halbiere, doch widerlegt. Ob das auch mit dem vorliegenden Buch gelingt, ist natürlich ein Experiment mit ungewissem Ausgang.
Wo liegen die verstandesmäßigen Knackpunkte?
In der evolutionären Auseinandersetzung mit der Natur haben wir einen Objektbegriff entwickelt und kalibriert, der sich bei kleinen Kindern innerhalb des ersten Lebensjahres konsolidiert. Die dabei gemachten Erfahrungen beziehen sich auf den Umgang mit Gegenständen, die aus vielen, vielen Elementarteilchen zusammengesetzt sind. Sie bestehen in der Regel aus oder mehr Atomen. Die Situation ist - um hier eine Metapher auf der »Metaebene« zu gebrauchen - vielleicht vergleichbar dem Blick auf einen Monitor oder Fernsehbildschirm aus der Ferne. Die Helligkeits- und Farbverteilungen der Pixels auf der Bildschirmoberfläche lässt uns reflexhaft Objekte und ihre Dynamik »sehen«. Nähert man sich dem Bildschirm, womöglich noch mit einer Lupe versehen, dann »verschwinden« die Objekte. Was bleibt, ist eine räumliche und zeitliche Verteilung von elementaren Einzelereignissen, eben das Aufleuchten einzelner Pixelpunkte. Erst in deren Aggregation und aus der Ferne betrachtet »entstehen« die Objekte.
Verlust der Anschaulichkeit
So haben wir es in der Mikrophysik, dem Geburtsort der Quantenmechanik, mit ganz andersartigen Teilchen (besser: Entitäten) zu tun, die man sich eben nicht mehr als kleine Billardbälle vorstellen sollte. Man spricht in solchen Fällen gerne davon, dass solche Objekte sowohl Wellen-als auch Teilcheneigenschaften besitzen, und nennt dies den »Welle-Teilchen-Dualismus«. Dies kann...
