Einleitung

Über dieses Buch

Mathematik für Informatiker für Dummies? Wie kann so etwas gehen, denn eigentlich gibt es sie nicht, die Dummies in Mathematik. Wir kennen von Künstlern den Spruch, dass in jedem Menschen ein Künstler1 stecke. Ihn kann man verallgemeinern und in jedem Menschen einen Mathematiker sehen. In diesem Sinne ist die Bemerkung eines erfahrenen Mathematiklehrers zu verstehen: »Es gibt nur zwei Arten von Menschen: Mathematiker und Idioten«. Kurzum: »dummy« meint hier kein menschliches Attribut, sondern mehr eine verbreitete Haltung gegenüber der Mathematik. Und so ist eines der Ziele dieses Buchs, Sie zur Mathematik zu verführen und die Hoffnung zu haben, dass der Appetit (auf Mathematik) beim Essen kommt. Dann nämlich, wenn man verblüfft feststellt, dass man es ja eigentlich doch kann.

Wen hatten wir bei diesem Buch besonders vor Augen

Hinter dem angedeuteten Spaßfaktor einer Verführung (zur Mathematik) steht natürlich ein ernstes Anliegen. Auch in der Informatik wird im real existierenden »Moralklima« Mathematik von den Studenten (zu) oft als bedrohlich empfunden. Als Mathematiker mag man das - vergleichbar mit einer Spinnenphobie - als völlig unnötig empfinden. Das hilft den Betroffenen nicht. Ansätze, solche oder vergleichbare Ängste zu überwinden, sind die systematische Desensibilisierung oder die gezielte Reizüberflutung. In diesem Buch finden wir beides.

Nun kann man im täglichen Leben, Spinnen weitgehend aus dem Wege gehen, beim Informatikstudium gelingt das gegenüber der Mathematik nicht. Man mag für die Mathematik in der Informatik die Sinnfrage stellen, ob also ein Informatiker das wirklich wissen muss. Und man wird bei objektiver Betrachtung zum Schluss kommen, dass man im Beruf nicht alles brauchen wird. Mathematik und Informatik haben jedoch so viel gemein (nicht nur vom Methodischen her), dass es nicht nur auf Tradition beruht, Informatiker durch die Mathematik hindurchzuziehen. (Nach dem Motto: »Das haben wir schon immer so gemacht«.)

Unsere Herangehensweise im Sinne einer »ars amandi« orientiert sich also an den besonderen Bedürfnissen der Informatik. Der gewählte Zungenschlag richtet sich gezielt an die Sprechweisen der Informatiker. So wird z.B. ein »Axiomensystem« (schon der Begriff - so haben wir uns sagen lassen - kann Schauer über den Rücken laufen lassen) auf natürliche Weise zu einem »Pflichtenheft«, einem Begriff, mit dem Informatiker schon von vornherein viel mehr anfangen können. Dabei transportiert der Begriff »Pflichtenheft« genau das, was auch ein »Axiomensystem« charakterisiert: die Trennung zwischen dem Was und dem Wie, zwischen abstrakter Anforderung und konkretem Modell.

Durch welche Brille sehen wir also den Informatiker?

Nun, er ist nicht der »Edelprogrammierer«, wie ein guter Freund einmal bemerkte, er muss mit Konzepten operieren können. Der akademisch ausgebildete Informatiker verhält sich zum Programmierer wie der Architekt oder Bauingenieur zum Polier. Man kann ihn »zum Kunden mitnehmen«, wie ein Geschäftsführer einmal bemerkte. Selbstverständlich kann und wird ein Informatikbachelor, besonders zu Beginn seiner Laufzeit, konkrete Programmieraufgaben ausführen. Die höheren Gehälter liegen jedoch im konzeptuellen Tun, etwa in der Systemanalyse.

Und was bedeutet dies für uns?

An dieser Stelle läuft man als Mathematiker gerne in ein systemisches Problem. Die mathematische Sozialisierung im Studium (ver)führt zu einer durchgehenden Präzisierung, die für die Informatik nicht immer hilfreich ist. Und nicht nur dort. So bemerkte der berühmte Mathematiker Hermann Weyl einmal:

»Die zwingende Genauigkeit, deren das mathematische Denken fähig ist, hat manche zu einem Stil verführt, der den Leser in eine grell erleuchtete Zelle einschließt, wo jede Kleinigkeit mit schwindelnder Helligkeit ohne Relief hervorsticht. Ich (jedoch) liebe die offene Landschaft unter einem blauen Himmel mit tiefer Perspektive, wo der Reichtum naher, scharfer Details langsam zum Horizonte verschwindet.«

Auch in der Physik gelten dieselben Erfahrungen. Ein Blick in die mit Kultstatus verbundenen Feynman Lectures sagt uns:

»What it means really to understand an equation - that is, in more than a strictly mathematical sense - was described by Dirac. He said: .A physical understanding is a completely unmathematical, imprecise, and inexact thing, but absolutely necessary for a physicist.«

Das wirkliche Verstehen sowohl in als auch außerhalb der Mathematik beruht auf Einsicht, auf dem Erfassen von Zusammenhängen. Oder, um ein letztes Mal einen Rat von Feynman zu bemühen: »Sag's mit Worten, wenn wir wissen, über was wir reden, kriegen wir die Mathematik schon hin.« Das bedeutet, dass wir, besonders im hinteren Teil des Buchs schon mal auf »hand wavy arguments«, auf qualitative Argumente, zurückgreifen.

Der Stil hat deshalb oft etwas von einem Erzählstil. »Hardcore Bourbakisten« sind es gewohnt, strukturiert nach dem Schema Voraussetzung - Behauptung - Beweis zu operieren. Diese Sichtweise hat durchaus ihre Berechtigung, und gerade in der Programmierung ist eine klare Strukturierung das A und O. Allzu häufig kommt die Motivation einer Vorgehensweise unter die Räder. Sowohl in der Mathematik als auch in der Programmierung.

Häufig kann ein gutes Beispiel einen Beweis ersetzen (wenn es um Einsicht geht), wovon wir regen Gebrauch machen.

Haben wir auch Nichtinformatiker als potenzielle Leser im Blick

Wir denken, dass auch für Mathematikstudenten ohne Bezug zur Informatik das Buch interessant sein könnte. Dabei haben wir besonders die Darstellung der Mengenlehre in den ersten Kapiteln vor Augen. Aber auch bei den weiteren Themen kann unser Buch als gute Ergänzung zu »harten« Mathematiklehrbüchern dienen. An mehreren Stellen verweisen wir auf die Unterschiede im mehr ingenieurmäßigen Denken eines Informatikers und dem mehr geisteswissenschaftlichen Denken des Mathematikers. Wir denken, dass hier jeder von jedem etwas lernen kann.

Wie kann man dieses Buch lesen?

Ein Buch wie das vorliegende wird erfahrungsgemäß auch und besonders dann herangezogen, wenn »Not am Mann« herrscht, wenn ein Erste-Hilfe-Set benötigt wird. In dieser Situation fehlt (natürlich) die Zeit, ein Buch »cover to cover« durchzuarbeiten. Man benötigt also passende Entry-Points. Für ein solches Buch bedeutet dies, dass, um Vor- und Rücksprünge zu vermeiden, notwendige Sachverhalte redundant beschrieben werden müssen. Jemand, der das Buch chronologisch durcharbeitet, wird damit mit Wiederholungen konfrontiert.

Unterhält man sich mit Studenten, erfährt man, dass die elektronischen Medien, also YouTube und Co., häufig die erste Wahl der Informationsbeschaffung sind. Gegen die Nutzung dieser Medien ist grundsätzlich nichts einzuwenden. Und es finden sich dort viele didaktisch gut aufbereitete Videos. Allerdings fehlt diesen Videos das, was ein gutes Lehrbuch von vornherein bietet: ein ausgearbeitetes Mindmap der Zusammenhänge eines übergreifenden Themengebiets. Ein solches Mindmap muss ansonsten vom Studenten bei der Nutzung einzelner Videos selbst erstellt werden. Das bedeutet zusätzlichen Zeitaufwand. Als Ergänzung, als booster gewissermaßen, sind Lehrvideos uneingeschränkt zu empfehlen.

Welche Besonderheiten finden sich in unserem Buch

Bücher mit dem Titel »Mathematik für Informatiker« gibt es sehr viele und sehr viele gute. Schaut man sich diese Bücher an, dann erkennt man allerdings, dass sie sich wenig von Büchern für Mathematiker unterscheiden. Man fragt sich an diesem Punkt, worin das Informatik-spezifische eigentlich besteht oder worin es bestehen sollte. Dies können spezifische Inhalte, besondere Darstellungsweisen und Methodiken sein.

Wir benutzen in diesem Buch eine Sprache, die dem Informatikjargon angepasst ist, und verweisen auf Konzepte, die zum Kern einer Informatikausbildung gehören. So benutzen wir z.B. das Konzept eines abstrakten Datentyps, wenn es um die Beschreibung abstrakter Objekte wie z.B. Gruppen oder Vektorräume geht. Wir implementieren wichtige mathematische Funktionen mittels Java-Code. Vor allem aber führen wir die Mengenlehre Informatik-affin und - wie wir glauben - auf eine innovative Weise ein.

Hierin stecken einige in den letzten 15 Jahren durchgeführte Experimente in der Vermittlung der Mengenlehre. Wir haben sie nicht als »Sahnehäubchen« über eine unabhängig von ihr betriebene Mathematik benutzt. Also nicht nur als eine Sprache, auf die man in der Formulierung mathematischer Sachverhalte auch verzichten könnte. Stattdessen wurde die Mengenlehre als axiomatische Mengenlehre eingeführt. Mengen werden durch die Brille der Informatik als Objekte eines...