Lineare Algebra

2 Struktur der Vektorräume (S. 23-24)

In diesem Kapitel werden zunächst Begriffsbildungen behandelt, die sich unmittelbar aus der Definition des Vektorraums ableiten lassen und sich auf nur einen Vektorraum beziehen. Im Mittelpunkt dieser Betrachtungen steht der Begriff der Basis eines Vektorraums und der mit ihm eng zusammenhängende Begriff der linearen Unabhängigkeit vonVektoren. Mit diesen Hilfsmitteln ist es dann auch möglich, die Dimension eines Vektorraums zu definieren. Hierbei ergibt sich eine Aufteilung der Vektorräume in endlich-dimensionale und solche unendlicher Dimension. In den ersten beiden Abschnitten werden die grundlegenden Begriffe und Beweismethoden für endlich erzeugte Unterräume U eines beliebigen F-Vektorraums V behandelt. Es wird gezeigt, daß U eine Basis aus endlich vielen Vektoren besitzt und daß alle Basen von U aus gleich vielen Vektoren bestehen. Diese allen Basen gemeinsame Anzahl wird die Dimension von U genannt. Die Beweise für diese Ergebnisse sind konstruktiv und elementar. Die Theorie der endlich-dimensionalen Vektorräume V ergibt sich als Spezialfall.

Wesentlich für das konkrete Rechnen mit Vektoren ist schließlich, daß man in endlich-dimensionalen Vektorräumen hinsichtlich einer Basis jeden Vektor durch endlich viele Skalare, seine Koordinaten, beschreiben kann. Der Koordinatenbegriff gestattet es, das Rechnen mitVektoren auf das Rechnen im Skalarenkörper zurückzuführen. Daraus ergibt sich, daß die algebraische Struktur eines endlich-dimensionalen Vektorraums V über einem Körper F im wesentlichen durch die Dimension von V bestimmt ist.

Im dritten Abschnitt werden direkte Summen von Unterräumen eines beliebigen F-Vektorraumes V behandelt. Mit Hilfe des Zornschen Lemmas wird gezeigt, daß sich jeder Vektorraum V in eine direkte Summe von eindimensionalen Unterräumen zerlegen läßt. Dieser Struktursatz ist ein grundlegendes Ergebnis für unendlichdimensionaleVektorräume. Er besagt nicht nur, daß jederF-VektorraumV eine Basis B besitzt, sondern auch, daß alle Rechnungen mit jeweils endlich vielen Vektoren aus V in einem endlich-dimensionalen Unterraum U von V stattfinden, der eine endliche Teilmenge B' von B zur Basis hat. Daher wird auch im unendlichen Fall das Rechnen mitVektoren auf die Addition und Multiplikation im Skalarenkörper F zurückgeführt.

2.1 Unterräume

In diesem Abschnitt werden nicht-leere Teilmengen U eines Vektorraums V über einem kommutativen Körper F untersucht, die gegenüber den linearen Operationen abgeschlossen sind und selbst einen Vektorraum bilden. Solche Teilmengen sind Unterräume von V im Sinne der folgenden Definition.