Lineare Algebra für Dummies
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Einführung 21
Zu diesem Buch 21
Konventionen in diesem Buch 21
Was Sie nicht lesenmüssen 22
Törichte Annahmen über den Leser 22
Wie dieses Buch aufgebaut ist 22
Symbole in diesem Buch 25
Wie es weitergeht 25
Teil I Grundlagen Der Linearen Algebra 27
Kapitel 1 Die bunte Welt der linearen Algebra 29
Dafür braucht man lineare Algebra 30
Systeme von Gleichungen lösen 31
Geometrische Rätsel knacken 32
Die Bausteine der linearen Algebra erkennen 34
Körper und Vektorräume 34
Sinnvolle Verknüpfungen von Vektoren 35
Die Werte in Reih' und Glied bringen 36
Matrizen und ihre Verknüpfungen 38
Determinanten 40
Alles in einen linearen Zusammenhang bringen 41
Lineare Abbildungen 41
Affine Transformationen 44
Noch bunter geht es nicht 44
Eigenwerte und Eigenvektoren 45
Diagonalisieren und der Spektralsatz 47
Wie man den linearen Überblick behält 49
Kapitel 2 Zahlen gegen reelle Komplexe 53
Reelle Zahlen in der Realität 53
Grundidee der komplexen Zahlen 56
Crashkurs: Rechnenmit komplexen Zahlen 60
Addition und Subtraktion komplexer Zahlen 60
Multiplikation und Division komplexer Zahlen 63
Besonderheiten komplexer Zahlen 65
Beträge komplexer Zahlen 65
Konjugierte Komplexe 67
Kapitel 3 Körper und andere Welten 73
Verkündigung der Körpergesetze 73
Das Assoziativgesetz 75
Das Kommutativgesetz 78
Das neutrale Element 81
Inverse Elemente 82
Das Distributivgesetz 84
Die Algebraische Struktur der Körper 85
Endlich unendliche Körper 86
Der kleinste Körper 86
Die Klassischen Zahlkörper 89
Na so was: die Restklassenkörper 90
Kapitel 4 Wen Amors Vektor trifft 93
Woher die Vektoren kommen 93
Erweitern Sie Ihren Horizont - um n Dimensionen 94
Grundlegende Vektoroperationen 96
Addition und Subtraktion von Vektoren 97
Skalare Multiplikation von Vektoren 99
Das Skalarprodukt von Vektoren 100
Die Norm eines Vektors 102
Das Vektorprodukt 104
Der Winkel zwischen Vektoren 105
Diese Vektoren sind nicht normal 108
Jetzt wird es eng: der n-Raum 109
Der Euklidische n-Raum 110
Der komplexe n-Raum 111
Warum das alles kein Unsinn ist 112
Arbeit und Kraft 113
Das Drehmoment 114
Tricks mit Vektoren 116
Der Kosinussatz 116
Teil II Landschaftserkundung Zur Linearen Algebra 119
Kapitel 5 Vektorräume mit Aussicht 121
Räume voller Vektoren 121
Vektorraumoperationen 122
Addition von Vektoren 123
Skalare Multiplikation 124
Vektorraumeigenschaften 125
Massenhaft Beispiele für Vektorräume 126
Vektorräume aus n-Tupeln 126
Vektorräume aus Polynomen 127
Vektorräume aus Matrizen 129
Vektorräume von Folgen und Funktionen 130
Vektorräume aus linearen Abbildungen 132
Vektorräume aus Körpern 133
Unterräume - aber nicht im Kellergeschoss 133
Die formale Spezifikation der Unterräume 134
Eine Abkürzung zu den Unterräumen 135
Aufräumen in den Unterräumen 136
Summen von Unterräumen 140
Direkte Summen von Unterräumen 142
Kapitel 6 LGS - Auf lineare Steine können Sie bauen 145
Wie lineare Gleichungssysteme entstehen 145
Darstellungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme 150
Die Quadratische Form 150
Die Stufenform 152
Die Idealform 153
Prinzipielle Lösungsmengen von LGSen 155
Eindeutige Lösung 155
Freie Parameter in der Lösung 156
Keine Lösungen 158
Das Gauß'sche Eliminationsverfahren zur Lösung von LGSen 158
Der Gauß-Jordan-Algorithmus 163
Lösung eines LGS über die erweiterte Koeffizientenmatrix 165
So geht es auch: LR-Zerlegung nach Gauß 167
Determinanten zur Bestimmung von Lösungen 169
Lösung à la Cramer & Cramer 170
Inverse Matrizen zur Lösung einer Matrizengleichung 172
Parametrisierte LGS 173
Kapitel 7 Die Matrix ist überall 181
Wie eine Matrix das Leben erleichtert 181
Lineare Gleichungssysteme als Matrizen darstellen 183
Grundlegende Matrixoperationen 184
Addition von Matrizen 184
Skalare Multiplikation von Matrizen 185
Matrix-Vektorprodukt 187
Matrizenmultiplikation 188
Transposition von Matrizen 191
Der Rang einer Matrix 193
Attribute von Matrizen 194
Quadratische Matrizen 194
Reguläre Matrizen 196
Idempotente Matrizen 197
Diagonalmatrizen 198
Adjungierte von Matrizen bestimmen 199
Komplementäre Matrizen erzeugen 200
Matrizen invertieren 202
Mittels Determinanten und Adjunkten 203
Mittels Gauß-Jordan-Algorithmus 203
Komplexe Matratzen, pardon, Matrizen 205
Unitäre Matrizen 205
Hermitesche Matrizen 207
Schiefhermitesche Matrizen 208
Ähnliche Matrizen 208
Der Matrix auf der Spur 210
Kapitel 8 Die lineare Unabhängigkeitserklärung 213
Wir kombinieren linear 213
Warum unabhängig besser ist als abhängig 215
Bestimmung der linearen Unabhängigkeit 216
Bei n-Tupel-Vektoren 217
Bei Polynomen 220
Bei Matrizen 222
Bei linearen Abbildungen 225
Im Allgemeinen 228
Fallstricke der linearen Unabhängigkeit 232
Lineare Unabhängigkeit mit der Lösung von Gleichungssystemen 233
Kapitel 9 Basen, keine lästige Verwandtschaft 235
Auf dieser Basis beruht unsere Arbeit 235
Erzeugende Systeme 241
Lineare Hüllen als Unterräume 242
Lineare Unabhängigkeit von Basisvektoren 243
Erzeugte Unterräume 244
Matrizen und Basen: So geht das! 248
Dimensionen und Basisvektoren 249
Der Dimensionssatz 250
Jetzt haben Sie endlich die Koordinaten 251
Basen für Orthonormal-Verbraucher 252
Teil III Analytische Geometrie Fürs Leben 257
Kapitel 10 Geometrische Grundelemente 259
Affinität zu geometrischen Räumen 259
Punkte im Euklidischen n-Raum 263
Darstellungsmöglichkeiten von Geraden 264
Parameterform 264
Gleichungsform 266
Darstellungsmöglichkeiten von Ebenen 266
Parameterform 266
Normalenvektor und Normalenform 267
Koordinatenform 268
Achsenabschnittsform 270
Aus der Form gesprungen oder wie Sie von einer Form in die andere gelangen 271
Festhalten, jetzt kommen höherdimensionale Objekte 272
Parameterformen 272
Koordinatenformen und Gleichungssysteme 273
Was sonst noch interessant ist 275
Dreiecke 275
Parallelogramme 276
Spate 277
Flächen zweiter Ordnung 279
Elliptisches Paraboloid 280
Hyperbolisches Paraboloid 281
Kapitel 11 Abstand halten und schneiden 283
Wir bestimmen den Abstand von... 283
Punkt zu Punkt 284
Punkt zu Gerade 286
Punkt zu Ebene 288
Wenn sich zwei Geraden treffen 290
Abstand paralleler Geraden 290
Abstand windschiefer Geraden 292
Schnittpunkt und -winkel zweier Geraden 295
Ebenen kommen ins Spiel 299
Abstand einer Geraden von einer parallelen Ebene 299
Durchstoßpunkt und -winkel von Gerade zu Ebene 300
Abstand zweier paralleler Ebenen 303
Schnittgerade und -winkel zwischen Ebenen 304
Überdimensionale Objekte 308
Abstandsbestimmung allgemein 308
Schnittobjekte und -winkel ermitteln 309
Kapitel 12 Geometrische Transformationen 311
Geometrie jenseits Lineal und Zirkel 311
Affine Abbildungen 312
Identität 317
Translation 317
Transvektion (Scherung) 318
Rotation 321
Spiegelung 328
Kontraktion 334
Die Hauptachsentransformation 336
Hauptachsentransformation - 3D 340
Teil IV Lineare Algebra For Runaway Dummies 347
Kapitel 13 Raubtierfütterung der Morphismen 349
Was Homomorphismen eigentlich sind 349
Beispiel 1: Quadratische Funktionen 350
Beispiel 2: Trigonometrische Funktionen 351
Beispiel 3: Exponential- oder Logarithmusfunktionen 352
Beispiel 4: Endlich linear 354
Wurfarten, die Sie sichmerken sollten 355
Kern einer linearen Abbildung 355
Bild einer linearen Abbildung 355
Surjektivität 356
Injektivität 357
Bijektivität 358
Operationen auf Homomorphismen 359
Morphismen, Aufzucht und Pflege 362
Homomorphismen 362
Epimorphismen 362
Monomorphismen 362
Isomorphismen 363
Endomorphismen 364
Automorphismen 365
Projektionen 366
Orthogonale Projektionen 369
Ansteckungsgefahr bei Morphismen, Diagnose: Singularität 371
Lineare Operatoren in der Technik 373
Kapitel 14 Ganz bestimmte Determinanten 377
Warum Determinanten wichtig sind 377
Was Permutationen mit Determinanten zu tun haben 379
Berechnung von Determinanten 381
Determinanten von 2x2-Matrizen 381
Determinanten mit der Regel von Sarrus berechnen 382
Berechnung von Determinanten im Allgemeinen 385
Rechenregeln für Determinanten 386
Wie sich die Transpositionen auf Determinanten auswirken 386
Diagonalmatrizen sind die besten Freunde von Determinanten 387
Die Determinate der Einheitsmatrix 387
Skalare Multiplikation und Determinanten 388
Determinanten und der Zeilentausch/Spaltentausch 388
Leibniz trifft auf Gauß 389
Determinantenberechnung für Dreiecksmatrizen 390
Zusammenhang zwischen Determinante und Invertierbarkeit einer Matrix 391
Unterdeterminanten 391
Der Entwicklungssatz 394
Determinanten von Homomorphismen 396
Determinanten und das Spatprodukt 397
Kapitel 15 Es reicht, wir wechseln die Basis 399
Ausgangssituation 399
Wo die neuen Basisvektoren herkommen 403
Die Übergangsmatrix bestimmen 404
Die Übergangsmatrix als linearer Operator 410
Basiswechsel bei allgemeinen Homomorphismen 413
Ein instruktives Beispiel zum Basiswechsel 416
Dem Ingeniör ist nichts zu schwör 416
Kapitel 16 Artige Eigenwerte 419
Eigenartige Werte 419
Eigenwerte von Endomorphismen 421
Von Eigenwerten über Eigenvektoren zu Eigenräumen 422
Eigenwerte der Matrixdarstellungen 423
Wie man aus Eigenwerten die zugehörigen Eigenvektoren presst 426
Eigenartige Eigenräume 427
Das Jacobi-Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten 429
Praxisbeispiele 434
Mechanische Schwingungen 434
Elektromagnetische Schwingkreise 435
Kapitel 17 Diagonalisieren statt um die Ecke denken 439
Was Matrizen und Homomorphismen gemeinsam haben 439
Was die Diagonalmatrix eines Homomorphismus bedeutet 442
Wann Sie überhaupt diagonalisieren können 444
Diagonalisieren ohne Verrenkungen 447
Eine Null als Eigenwert 449
Eigene Werte ohne Potenz 451
Was man Schlaues mit der Diagonalisierung anstellen kann 452
Potenzieren nach Basiswechsel 453
Betrachten Sie den Gipfel 455
Der Spektralsatz für Endomorphismen 460
Anwendung des Spektralsatzes für den reellen Zahlenkörper 465
Anwendung des Spektralsatzes für den komplexen Zahlenkörper 468
Die charakteristische Gleichung an unerwarteter Stelle 470
Der Satz von Cayley-Hamilton 471
Anwendungen des Satzes von Cayley-Hamilton 472
Was Sie tun, wenn Sie oben angekommen sind 475
Teil V Der Top-Ten-Teil 477
Kapitel 18 Lineare Algebra in fast 10 Minuten 479
Linearität verstehen und keine Angst vor Algebra haben 479
Grundaspekte der analytischen Geometrie verinnerlichen 480
Gleichungssysteme mit geometrischen Objekten identifizieren 480
LGSe mit unterschiedlichen Methoden lösen 480
Zusammenhang von Matrizen und linearen Abbildungen begreifen 481
Determinanten und Eigenwerte als Herz einer Matrix betrachten 481
Basiswechsel als Spezialfall eines Isomorphismus erkennen 481
Diagonalisieren zur Ermittlung von Eigenwerten 482
Den Spektralsatz als Gipfel der Erkenntnis ansehen 482
Stichwortverzeichnis 485
Einführung
Wollen Sie richtig Eindruck bei Ihren Freunden und Verwandten schinden, so verwenden Sie doch einfach bei passender Gelegenheit mathematische Fachausdrücke wie beispielsweise Algebra, Matrix oder Vektor. Wenn Sie diese Nomen dann noch mit spezifischen Adjektiven wie linear, affin oder skalar kombinieren, bleibt die offene oder unausgesprochene Bewunderung gewiss nicht aus.
Voraussetzung dafür ist selbstverständlich, dass Sie genau wissen, worum es sich dabei handelt. Die Basis dafür haben Sie bereits erfolgreich gelegt, indem Sie dieses Buch in Händen halten.
Zu diesem Buch
In diesem Buch werden Sie rasch und ohne Schnörkel alles Wichtige über die lineare Algebra erfahren, von den Grundlagen bis hin zu den tiefgründigsten Erkenntnissen.
Mathematische Abhandlungen und selbst die meisten Lehrbücher neigen dazu, möglichst knapp und kompakt ihre Inhalte zu vermitteln. »Jedes Wort zuviel verwässert die reine Lehre«, das ist die Devise. Warum aufwändig einen Sachverhalt erklären, wenn man genauso gut eine kryptische Formel angeben kann, die - allerdings nur für Eingeweihte - alles Wesentliche bereits enthält? Viele Leser werden durch diese Art von Mathematik abgeschreckt, wenn nicht gar verängstigt.
Ich verspreche Ihnen, dass dieses Buch anders ist. Es wird Sie sanft in eine der zweifellos wichtigsten Teilgebiete der Mathematik entführen. Sie werden sich wundern, wie viel Spaß und Unterhaltung sogar die kompliziertesten Sachverhalte bereiten können! Dieses Buch wird Sie auf eine Weise ansprechen, die Sie bisher nicht kannten, aber an die Sie sich schnell gewöhnen werden. Es behandelt überraschende, spannende aber auch alltägliche Themen.
Dabei können Sie das Buch in beliebiger Reihenfolge durcharbeiten. Es zwingt Sie niemand dazu, das Buch von vorne bis hinten Seite für Seite zu lesen. Wie andere Dummies-Bücher ist auch dieses Buch so aufgebaut, dass Sie so viel wie möglich darin herumblättern können - schließlich ist es Ihr Buch. Die lineare Algebra bietet so viele interessante Aspekte, dass Sie immer wieder davon fasziniert sein werden!
Konventionen in diesem Buch
Zahlreiche Bücher verwenden etliche Konventionen, die Sie kennen sollten, bevor Sie die Lektüre starten können. Das ist hier nicht der Fall. Es gibt nur einige wenige Konventionen, die Ihnen helfen werden, sich schnell zurechtzufinden:
- Kursivschrift kennzeichnet wichtige Fachbegriffe und hebt bedeutsame Worte hervor.
- Fettschrift wird für Schlüsselworte in Aufzählungen und in Aktionen bei nummerierten Schritten verwendet. Ebenso sind wichtige Begriffe fett markiert, die jedoch keine Fachbegriffe der linearen Algebra darstellen.
Was Sie nicht lesen müssen
Es gibt im gesamten Buch immer wieder interessante und nützliche Aspekte bei der Behandlung der Themen, die Sie jedoch nicht unbedingt lesen müssen, um die weiteren Abschnitte zu verstehen. Diese Informationen habe ich Ihnen in die grau unterlegten Kästen gepackt.
Sollte ein Satz mit dem Techniker-Symbol (das ulkige Gesicht) gekennzeichnet sein, verweist er auf weiterführende oder tiefer gehende Facetten für Insider. Wenn Sie zurzeit noch kein Insider sind, ist das nicht schlimm. Vielleicht werden Sie später einmal wieder das Buch in die Hand nehmen wollen und dann sind die »Achtung Technik« Einschübe ihre Lieblingslektüre!
Törichte Annahmen über den Leser
Wenn Sie jetzt nicht zufällig in einer Buchhandlung stehen und versehentlich dieses Dummies-Buch mit einem Kochbuch für südfranzösische Desserts verwechselt haben, wird Ihnen die lineare Algebra heute womöglich bereits einiges Kopfzerbrechen bereiten.
Oder Sie bereiten sich auf ein technisches oder naturwissenschaftliches Studium vor und haben gesehen, dass Sie schon im ersten Semester - mehr oder weniger freiwillig - mit linearer Algebra konfrontiert werden. Vielleicht haben Sie Ihr Studium auch schon hinter sich und wollen auf möglichst amüsante Weise alles Wichtige über lineare Algebra rekapitulieren? Ich weiß es wirklich nicht.
Auf jeden Fall sind Sie motiviert, sich mit Mathematik zu befassen und werden sich noch wundern, was alles auf Sie zukommt. In einem Punkt muss ich Sie jedoch enttäuschen. Die Delikatessen der südfranzösischen Küche werden wir nicht behandeln, ganz ehrlich nicht. Allerdings können wir dafür bereits im ersten Kapitel über Diätpläne sinnieren .
Wie dieses Buch aufgebaut ist
Vermutlich haben Sie schon im Inhaltsverzeichnis geblättert und die Gliederungsebenen entdeckt. Dieses Buch besteht aus fünf Teilen mit insgesamt zwanzig Kapiteln. Jedes Kapitel wiederum ist in Abschnitte unterteilt, manchmal sind selbst diese Abschnitte in Unterabschnitte aufgegliedert.
Die Kapitel sind die wichtigste bedeutungstragende Einheit. Hier werden die wesentlichen Aspekte der linearen Algebra ausführlich diskutiert. In den Teilen werden Kapitel zusammengefasst, die thematisch eng verwandt sind. Um Ihnen die Lektüre dieser Kapitel zu erleichtern, werden sich die Abschnitte jeweils mit Teilaspekten befassen, die logisch zusammenhängen.
Allerdings ist es unvermeidlich, dass ich bei der Darstellung der einzelnen Themen auch auf andere Kapitel zur Erklärung verweise. Das ist kein Fehler, sondern liegt in der Natur der Sache, nämlich der linearen Algebra. Das macht sie sogar besonders reizvoll und wichtig. Alles hängt mit einander zusammen und voneinander ab wie ein wild zerzauster Wollknäuel. Daher ist es auch keine schlechte Strategie, wenn Sie sich ein bereits gelesenes Kapitel zu einem späteren Zeitpunkt erneut vorknöpfen. Denn dann könnten Ihnen neue Aspekte der behandelten Themen auffallen und ziemlich viele tiefsinnige Zusammenhänge besser einleuchten. Die lineare Algebra ist wie ein Labyrinth, durch das Sie dieses Buch hindurchführen möchte!
Teil I: Grundlagen der linearen Algebra
Dieser Teil befasst sich mit den Basiselementen der linearen Algebra. Sie finden dort zunächst einen Streifzug durch die faszinierende Welt eines der wichtigsten und erfolgreichsten Teilgebiete der Mathematik. Sie werden anhand praktischer und anschaulicher Beispiele Sinn und Nutzen der gesamten linearen Algebra erforschen und nebenbei lernen, wie man sich gesund ernährt.
In einem eigenen Kapitel finden Sie einen Crash-Kurs zur Behandlung komplexer Zahlen, ohne selbst Komplexe zu bekommen. Ebenfalls zur Sprache kommen Körper, wie sie nur die Mathematik kennt. Diese wichtigen Strukturen sind ein integraler Bestandteil der linearen Algebra und es ist immer gut, wenn man nachschlagen kann, was es damit auf sich hat.
Der Teil schließt mit der Vektorrechnung, die sich durch den gesamten Rest des Buches zieht und immer wieder benötigt wird.
Teil II: Landschaftserkundung zur linearen Algebra
In diesem Teil untersuchen wir gemeinsam die zentrale Struktur der linearen Algebra, nämlich die Vektorräume. Alle zulässigen und möglichen Operationen können Sie selbst ausprobieren. Natürlich werden auch zahlreiche Beispiele für Vektorräume nicht fehlen.
Und dann geht es schnurstracks um lineare Gleichungssysteme, die immer wieder und an unerwarteter Stelle auftauchen. Aber keine Panik. Sie werden dort auch sehen, wie man die Lösungsmengen dieser mächtigen Konstrukte bestimmt.
Eine Abstraktion von linearen Gleichungssystemen führt uns unmittelbar zu den Matrizen, die am Anfang unhandlich erscheinen, die sich aber sehr bald schon als höchst effektiv und nützlich erweisen, ganz ehrlich! Ein weiteres wichtiges Thema dieses zweiten Teils ist die lineare Unabhängigkeit, eine grundlegende Eigenschaft von Vektoren, die sich überraschend sehr erfolgreich auf lineare Gleichungssysteme anwenden lässt.
Teil III: Analytische Geometrie fürs Leben
Der dritte Teil steht ganz im Zeichen der Geometrie. Erfahrungsgemäß wird es Ihnen große Freude bereiten, nach und nach die Grundelemente der Geometrie zu erkunden und in zwei oder drei Dimensionen zahlreiche Objekte zu erzeugen. Abstände, Winkel und Schnitte zwischen derartigen geometrischen Figuren lassen sich effektiv algebraisch ermitteln und manchmal auch anschaulich darstellen.
Den Höhepunkt jedoch werden die geometrischen Transformationen darstellen. Wenn Sie beispielsweise die Hauptachsentransformation als einen recht schwierigen algebraischen Vorgang in Erinnerung haben, dann wird es Ihnen eine Freude sein, wie leicht das mit linear-algebraischen Mitteln von der Hand geht. Und spätestens dann wird klar, warum lineare Algebra so eng mit analytischer Geometrie verknüpft ist.
Teil IV: Lineare Algebra for Runaway Dummies
Im vierten Teil werden Sie die allgemein als schwierig empfundenen und abstrakten Komponenten der linearen Algebra kennen lernen. Sie befinden sich dort im Innersten, an den undurchsichtigsten Stellen des Labyrinthes. Aber ich verspreche Ihnen, Sie wieder herauszuführen und dabei die tiefgründigsten Gedanken über lineare Algebra mitnehmen zu...
