Analysis 1
Grundlagen und Differenzialrechnung
1st Edition
Published on 5. September 2007
184 pages
978-3-446-41471-6 (ISBN)
Description
Inhaltsbeschreibung folgt
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09/2007
2nd Edition
Hanser
€12.90
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Content
1 - Vorwort [Seite 6]
2 - Inhaltsverzeichnis [Seite 8]
3 - 1 Reelle und komplexe Zahlen [Seite 10]
3.1 - 1.1 Natürliche, ganze und reelle Zahlen [Seite 10]
3.2 - 1.2 Ungleichungen und Abschätzungen [Seite 13]
3.3 - 1.3 Komplexe Zahlen [Seite 19]
4 - 2 Mathematische Beweismethoden [Seite 32]
4.1 - 2.1 Elementare Logik [Seite 32]
4.2 - 2.2 Direkter Beweis [Seite 36]
4.3 - 2.3 Indirekter Beweis [Seite 39]
4.4 - 2.4 Induktiver Beweis [Seite 44]
5 - 3 Zahlenfolgen und Konvergenz [Seite 53]
5.1 - 3.1 Zahlenfolgen und ihre Grenzwerte [Seite 53]
5.2 - 3.2 Rechnen mit konvergenten Folgen [Seite 57]
5.3 - 3.3 Die Eulersche Zahl e als Grenzwert [Seite 60]
5.4 - 3.4 Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen [Seite 62]
6 - 4 Zahlenreihen [Seite 69]
6.1 - 4.1 Zahlenreihen und geometrische Reihen [Seite 69]
6.2 - 4.2 Konvergenzkriterien für Reihen [Seite 73]
6.3 - 4.3 Rechnen mit konvergenten Reihen [Seite 79]
6.4 - 4.4 Beispiele zur Anwendung der Kriterien [Seite 80]
7 - 5 Funktionen [Seite 88]
7.1 - 5.1 Der Funktionsbegriff [Seite 88]
7.2 - 5.2 Eigenschaften von Funktionen [Seite 90]
7.3 - 5.3 Funktion und Umkehrfunktion [Seite 94]
7.4 - 5.4 Grenzwerte von Funktionen [Seite 97]
7.5 - 5.5 Stetigkeit von Funktionen [Seite 102]
8 - 6 Die elementaren Funktionen [Seite 111]
8.1 - 6.1 Polynome und Horner-Schema [Seite 111]
8.2 - 6.2 Gebrochenrationale Funktionen [Seite 121]
8.3 - 6.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen [Seite 124]
8.4 - 6.4 Potenz- und Wurzelfunktionen [Seite 125]
8.5 - 6.5 Winkel- und Arkusfunktionen [Seite 126]
8.6 - 6.6 Hyperbel- und Areafunktionen [Seite 133]
9 - 7 Die Ableitung [Seite 137]
9.1 - 7.1 Das Tangentenproblem [Seite 137]
9.2 - 7.2 Differenziationsregeln [Seite 141]
9.3 - 7.3 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen [Seite 147]
9.4 - 7.4 Das Differenzial [Seite 150]
10 - 8 Anwendungen der Differenzialrechnung [Seite 153]
10.1 - 8.1 Die Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Ableitung [Seite 153]
10.2 - 8.2 Taylorsche Formel und Taylorsche Reihe [Seite 156]
10.3 - 8.3 Die Regeln von l'Hospital [Seite 164]
10.4 - 8.4 Die Bestimmung von Nullstellen und Extremwerten [Seite 168]
11 - Lösungen [Seite 173]
12 - Literaturverzeichnis [Seite 181]
13 - Sachwortverzeichnis [Seite 182]
2 - Inhaltsverzeichnis [Seite 8]
3 - 1 Reelle und komplexe Zahlen [Seite 10]
3.1 - 1.1 Natürliche, ganze und reelle Zahlen [Seite 10]
3.2 - 1.2 Ungleichungen und Abschätzungen [Seite 13]
3.3 - 1.3 Komplexe Zahlen [Seite 19]
4 - 2 Mathematische Beweismethoden [Seite 32]
4.1 - 2.1 Elementare Logik [Seite 32]
4.2 - 2.2 Direkter Beweis [Seite 36]
4.3 - 2.3 Indirekter Beweis [Seite 39]
4.4 - 2.4 Induktiver Beweis [Seite 44]
5 - 3 Zahlenfolgen und Konvergenz [Seite 53]
5.1 - 3.1 Zahlenfolgen und ihre Grenzwerte [Seite 53]
5.2 - 3.2 Rechnen mit konvergenten Folgen [Seite 57]
5.3 - 3.3 Die Eulersche Zahl e als Grenzwert [Seite 60]
5.4 - 3.4 Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen [Seite 62]
6 - 4 Zahlenreihen [Seite 69]
6.1 - 4.1 Zahlenreihen und geometrische Reihen [Seite 69]
6.2 - 4.2 Konvergenzkriterien für Reihen [Seite 73]
6.3 - 4.3 Rechnen mit konvergenten Reihen [Seite 79]
6.4 - 4.4 Beispiele zur Anwendung der Kriterien [Seite 80]
7 - 5 Funktionen [Seite 88]
7.1 - 5.1 Der Funktionsbegriff [Seite 88]
7.2 - 5.2 Eigenschaften von Funktionen [Seite 90]
7.3 - 5.3 Funktion und Umkehrfunktion [Seite 94]
7.4 - 5.4 Grenzwerte von Funktionen [Seite 97]
7.5 - 5.5 Stetigkeit von Funktionen [Seite 102]
8 - 6 Die elementaren Funktionen [Seite 111]
8.1 - 6.1 Polynome und Horner-Schema [Seite 111]
8.2 - 6.2 Gebrochenrationale Funktionen [Seite 121]
8.3 - 6.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen [Seite 124]
8.4 - 6.4 Potenz- und Wurzelfunktionen [Seite 125]
8.5 - 6.5 Winkel- und Arkusfunktionen [Seite 126]
8.6 - 6.6 Hyperbel- und Areafunktionen [Seite 133]
9 - 7 Die Ableitung [Seite 137]
9.1 - 7.1 Das Tangentenproblem [Seite 137]
9.2 - 7.2 Differenziationsregeln [Seite 141]
9.3 - 7.3 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen [Seite 147]
9.4 - 7.4 Das Differenzial [Seite 150]
10 - 8 Anwendungen der Differenzialrechnung [Seite 153]
10.1 - 8.1 Die Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Ableitung [Seite 153]
10.2 - 8.2 Taylorsche Formel und Taylorsche Reihe [Seite 156]
10.3 - 8.3 Die Regeln von l'Hospital [Seite 164]
10.4 - 8.4 Die Bestimmung von Nullstellen und Extremwerten [Seite 168]
11 - Lösungen [Seite 173]
12 - Literaturverzeichnis [Seite 181]
13 - Sachwortverzeichnis [Seite 182]
6 Die elementaren Funktionen (S. 110)
6.1 Polynome und Horner-Schema
Polynome nehmen eine zentrale Stellung in der Analysis und den Anwendungen ein. Dies ist zum Ersten dadurch bedingt, dass sich differenzierbare Funktionen zumindest lokal durch Polynome beliebig genau annähern lassen (vgl. den Satz von Taylor im Abschnitt 8.2) und zum Zweiten, dass Polynome allein mit Hilfe der elementaren Grundoperationen berechenbar sind und damit eine numerische Auswertung z. B.auf einem Digitalrechner ohne zusätzliche Näherungen möglich ist. Funktionen, die sich allein mit Hilfe endlich vieler Grundoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) berechnen lassen, werden als rationale Funktionen bezeichnet.
