Methoden der Mathematischen Physik

Erstes Kapitel. Die Algebra der linearen Transformationen und quadratischen Formen.- I. Lineare Gleichungen und lineare Transformationen.- 2. Lineare Transformationen mit linearem Parameter.- 3. Die Hauptachsentransformation der quadratischen und Hermiteschen Formen.- 4. Die Minimum-Maximum-Eigenschaft der Eigenwerte.- 5. Ergänzungen und Aufgaben zum ersten Kapitel.- Zweites Kapitel. Das Problem der Reihenentwicklung willkürlicher Funktionen.- I. Orthogonale Funktionensysteme.- 2. Das Häufungsprinzip für Funktionen.- 3. Unabhängigkeitsmaß und Dimensionenzah.- 4. Der Weierstraßsche Approximationssatz. Vollständigkeit der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen.- 5. Die Fouriersche Reihe.- 6. Das Fouriersche Integral.- 7. Beispiele für das Fouriersche Integral.- 8. Die Polynome von Legendre.- 9. Beispiele anderer Orthogonalsysteme.- 10. Ergänzungen und Aufgaben zum zweiten Kapitel.- Drittes Kapitel. Theorie der linearen Integralgleichungen.- 1. Vorbereitende Betrachtungen.- 2. Die Fredholmschen Sätze für ausgeartete Kerne.- 3. Die Fredholmschen Sätze für einen beliebigen Kern.- 4. Die symmetrischen Kerne und ihre Eigenwerte.- 5. Der Entwicklungssatz und seine Anwendungen.- 6. Die Neumannsche Reihe und der reziproke Kern.- 7. Die Fredholmschen Formeln.- 8. Neubegründung der Theorie.- 9. Erweiterung der Gültigkeitsgrenzen der Theorie.- 10. Ergänzungen und Aufgaben zum dritten Kapitel.- Viertes Kapitel. Die Grundtatsachen der Variationsrechnung.- 1. Die Problemstellung der Variationsrechnung.- 2. Ansätze zur direkten Lösung.- 3. Die Eulerschen Gleichungen der Variationsrechnung.- 4. Bemerkungen und Beispiele zur Integration der Eulerschen Differentialgleichung.- 5. Randbedingungen.- 6. Die zweite Variation und die Legendresche Bedingung.- 7.Variationsprobleme mit Nebenbedingungen.- 8. Der invariante Charakter der Eulerschen Differentialgleichungen.- 9. Transformation von Variationsproblemen in die kanonische und involutorische Gestalt.- 10. Variationsrechnung und Differentialgleichungen der mathematischen Physik.- 11. Ergänzungen und Aufgaben zum vierten Kapitel.- Fünftes Kapitel Die Schwingungs- und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik.- 1. Vorbemerkungen über lineare Differentialgleichungen.- 2. Systeme von endlich vielen Freiheitsgraden.- 3. Die schwingende Saite.- 4. Der schwingende Stab.- 5. Die schwingende Membran.- 6. Die schwingende Platte.- 7. Allgemeines über die Methode der Eigenfunktionen.- 8. Schwingungen dreidimensionaler Kontinua.- 9. Randwertproblem der Potentialtheorie und Eigenfunktionen.- 10. Probleme vom Sturm-Liouvilleschen Typus. Singuläre Randpunkte.- 11. Über das asymptotische Verhalten der Lösungen Sturm-Liouvillescher Differentialgleichungen.- 12. Eigenwertprobleme mit kontinuierlichem Spektrum.- 13. Störungsrechnung.- 14. Die Greensche Funktion (Einflußfunktion) und die Zurückführung von Differentialgleichungsproblemen auf Integralgleichungen.- 15. Beispiele für Greensche Funktionen.- 16. Ergänzungen zum fünften Kapitel.- Sechstes Kapitel. Anwendung der Variationsrechnung auf die Eigenwertprobleme.- 1. Die Extremumseigenschaften der Eigenwerte.- 2. Allgemeine Folgerungen aus den Extremumseigenschaften der Eigenwerte.- 3. Der Vollständigkeitssatz und der Entwicklungssatz.- 4. Die asymptotische Verteilung der Eigenwerte.- 5. Eigenwertprobleme vom Schrödingerschen Typus.- 6. Die Knoten der Eigenfunktionen.- 7. Ergänzungen und Aufgaben zum sechsten Kapitel.- Siebentes Kapitel. Spezielle durch Eigenwertprobleme definierte Funktionen.- 1. Vorbemerkungen überlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 2. Die Besselschen Funktionen.- 3. Die Kugelfunktionen von Legendre.- 4. Anwendung der Methode der Integraltransformation auf die Legendreschen, Tschebyscheffschen, Hermiteschen und Laguerreschen Differentialgleichungen.- 5. Die Kugelfunktionen von Laplace.- 6. Asymptotische Entwicklungen.