Analysis III
2nd Edition
Published on 8. March 2013
IX, 296 pages
978-3-662-00685-6 (ISBN)
Description
3 Für die Funktion f(x,y,=):= 1 zum Beispiel hat (1) den Wert (47t/3)R , (2) aber 2 den Wert R·27t·7t=27t R. Um den wahren Sachverhalt zu ergründen, betrachten wir für ein großes, aber festes seIN die im Innern von Q enthaltenen s-Würfel I". s und bezeichnen sie mit *1 (1 :!;,j:!;,N). Die durch (251. 2) definierte Abbildung g: u:=(r,qJ,. 9)-x:=(x,y,z) führt jeden Würfel W bijektiv in ein krummlinig begrenztes "Klötzchen" AcB j j 3 R über (siehe die Fig. 252. 1). Diese Klötzchen bilden zusammen ein die Kugel B 3 R von innen approximierendes Klötzchengebäude, somit gilt (wir verwenden wie derum das Zeichen == für "ungefähr gleich"): Es sei u das Zentrum des Würfels W und xj:=g(uj)eA . Wir wollen annehmen, j j j die Funktion f sei stetig; dann dürfen wir weiter schreiben Nun ist g differenzierbar und W "klein", somit ist j g(U) == g(U)+ g. (u)(u-u) eine für alle ue W brauchbare Approximation. Hiernach ist das Klötzchen j A j = g(W) in erster Näherung ein Parallelepiped, das durch Verzerrung des j Würfels *1 mit der linearen Abbildung g. (u) entstanden ist. Aufgrund von Satz (23. 22) gilt daher Fig. 252. 1 88 25. Variablentransformation bei mehrfachen Integralen so daß wir anstelle von (4) erhalten: (5) J,jJ(x)dJ1. x == f(x) Idetg*(u )IJ1. (W) j = ](u) IJ(u)IJ1.
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Analysis III
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12/1981
2nd Edition
Springer
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Content
21. Hauptsätze der mehrdimensionalen Differentialrechnung.- 211. Stetige Differenzierbarkeit.- 212. Hilfssätze.- 213. Der Satz über die Umkehrabbildung.- 214. Die Funktionaldeterminate.- 215. Der Satz über implizite Funktionen.- 216. Der Immersionssatz.- 22. Flächen im ?n.- 221. Begriff der m-Fläche.- 222. Tangentialebene.- 223. Hyperflächen.- 224. Bedingt stationäre Punkte.- 225. Lagrangesche Multiplikatoren.- 226. Beispiele.- 227. Globale Extrema.- 23. Das Jordansche Maß im ?m.- 231. Vorbemerkungen.- 232. Äußeres und inneres Jordansches Maß.- 233. Grundeigenschaften des Maßes.- 234. Das Maß von Quadern. Translationsinvarianz.- 235. Verhalten des Maßes gegenüber C1-Abbildungen.- 236. Hilfssätze.- 237. Verhalten des Maßes gegenüber linearen Abbildungen.- 24. Mehrfache Integrale.- 241. Das Riemannsche Integral im ?m.- 242. Reduktionssatz ("Satz von Fubini").- 243. Integral über beliebige meßbare Mengen.- 244. Praktische Berechnung mehrfacher Integrale.- 245. Anwendung: Volumen der m-dimensionalen Kugel.- 246. Uneigentliche mehrfache Integrale.- 25. Variablentransformation bei mehrfachen Integralen.- 251. Zylinder- und Kugelkoordinaten.- 252. Problemstellung.- 253. Hilfssätze.- 254. Die Transformationsformel.- 26. Flächen im ?3.- 261. Das Vektorprodukt im ?3.- 262. Orientierung.- 263. Begriff des Flächeninhalts.- 264. Eigenschaften des Flächeninhalts.- 27. Vektorfelder.- 271. Vorbemerkungen. Begriff des Vektorfeldes.- 272. Linienintegrale.- 273. Konservative Felder.- 274. Infinitesimale Zirkulation.- 275. Rotation (zweidimensionaler Fall).- 276. Rotation (dreidimensionaler Fall).- 28. Die Greensche Formel für ebene Bereiche.- 281. Der Heine-Borelsche Überdeckungssatz.- 282. Zerlegung der Einheit.- 283. Die Greensche Formel fürglatt berandete Bereiche.- 284. Zulässige Bereiche.- 285. Anwendungen der Greenschen Formel.- 29. Der Satz von Stokes.- 291. Begriff des Flusses.- 292. Zulässige Flächen.- 293. Ein Übertragungsprinzip.- 294. Der Satz von Stokes.- 295. Einfach zusammenhängende Gebiete.- 296. Die Integrabilitätsbedingung.- 30. Der Satz von Gauß.- 301. Divergenz eines Vektorfeldes.- 302. Der Satz von Gauß für glatt berandete Bereiche.- 303. Zulässige Bereiche.- 304. Der Laplace-Operator.- 305. Ein Satz der Potentialtheorie.- 31. Fourier-Reihen.- 311. Infinitesimalrechnung für komplexwertige Funktionen.- 312. Die Funktionen ?k.- 313. Fourier-Reihen : Rechenregeln und Beispiele.- 314. Faltung.- 315. Skalarprodukt und Orthogonalsysteme.- 316. Die Transformation f ?SN als Orthogonalprojektion.- 32. Die Sätze von Fejér und Jordan.- 321. Der Dirichletsche Kern.- 322. Cesaro-Summation, Fejérscher Kern.- 323. Der Satz von Fejér.- 324. Konvergenz im quadratischen Mittel.- 325. Funktionen beschränkter Variation.- 326. Der Satz von Jordan.- 327. Beispiele und Anwendungen.- 33. Fourier-Analysis auf ?.- 331. Problemstellung.- 332. Eigenschaften der Fourier-Transformierten.- 333. Die Approximanten F? und der zugehörige Kern.- 334. Beweis der Umkehrformel.- 335. Beispiele und Anwendungen.- 336. Die Räume ? und L2 (?).- Liste der Symbole und Abkürzungen.- Sachverzeichnis Analysis I bis III.
