Analysis

1 Die Menge ? der reellen Zahlen.- 1.1 Vorbemerkungen Die Strategie: Wie wird das Axiomensystem für ? hergeleitet?.- 1.2 Mengen Mengen, Mengenoperationen, Abbildungen.- 1.3 Algebraische Strukturen Innere Kompositionen und ihre Eigenschaften, Körper, logischer Exkurs, Körpereigenschaften.- 1.4 Angeordnete Körper Positivbereich, angeordnete Körper, Gegenbeispiele.- 1.5 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion Definition von ?, Induktion, Musterbeweise, Eigenschaften von ?.- 1.6 Die ganzen und die rationalen Zahlen ? und ?, Dichtheitssatz.- 1.7 Das Archimedesaxiom Archimedesaxiom und Folgerungen.- 1.8 Vollständigkeit Dedekindsche Schnitte, Schnittzahlen, Vollständigkeit, das Axiomensystem für ?.- 1.9 Von ? zu ? Der Körper ?, Eigenschaften.- 1.10 Wie groß ist ?? Ergänzungen zur Mengenlehre, Mengen mit gleicher Kardinalzahl, abzählbar und überabzählbar, die Cantorschen Diagonalverfahren.- 1.11 Ergänzungen Peano-Axiome, der "konstruktive"Aufbau der reellen Zahlen, Gleichheit in der Mathematik, Eindeutigkeit von ?, Sicherheit der Grundlagen.- 1.12 Verständnisfragen.- 1.13 Übungsaufgaben.- 2 Folgen und Reihen.- 2.1 Folgen Folgen, Teilfolgen, Umordnungen.- 2.2 Konvergenz Betrag in ?, Existenz der Wurzel, Betrag in ?, Nullfolge, Konvergenz, Konvergenzbeweise.- 2.3 Cauchy-Folgen und Vollständigkeit Cauchy-Folgen, Zusammenhang zur Konvergenz, Ordnungsrelationen, Supremum und Infimum, äquivalente Versionen der Vollständigkeit.- 2.4 Unendliche Reihen Reihen, Konvergenzkriterien, absolut konvergente Reihen.- 2.5 Ergänzungen Dezimalentwicklung, ungeordnete Summation, Folgenräume.- 2.6 Verständnisfragen.- 2.7 Übungsaufgaben.- 3 Metrische Räume und Stetigkeit.- 3.1 Metrische Räume Metriken und Normen, Konvergenz, Kugeln, offeneund abgeschlossene Teilmengen, Abschluss und Inneres, dichte Teilmengen.- 3.2 Kompaktheit Kompaktheit, Kompaktheitskriterien, Charakterisierung der kompakten Teilmengen endlich-dimensionaler Räume, Zweipunktkompaktifizierung von ?.- 3.3 Stetigkeit Stetige Funktionen, Lipschitzabbildungen, Permanenzeigenschaften, Charakterisierung, Zwischenwertsatz, Satz vom Maximum, gleichmäßige Stetigkeit.- 3.4 Verständnisfragen.- 3.5 Übungsaufgaben.- 4 Differentiation (eine Veränderliche).- 4.1 Differenzierbare Funktionen Stetige Ergänzung, differenzierbare Funktionen, Ableitungsregeln.- 4.2 Mittelwertsätze Satz von Rolle, Mittelwertsätze, Regeln von l'Hôpital.- 4.3 Taylorpolynome Taylor-Polynome, Restglied, Restgliedformel, Extremwert aufgab en.- 4.4 Potenzreihen Potenzreihen, Konvergenzradius, Limes superior und Limes inferior, Formel für den Konvergenzradius, Differenzierbarkeit von Potenzreihen, entwickelbare Funktionen, das Gegenbeispiel von Cauchy.- 4.5 Spezielle Funktionen Zwei Differentialgleichungen zur Motivation, Exponentialfunktion, Logarithmus, allgemeine Potenz, Sinus und Cosinus, spezielle Funktionen im Komplexen, Polardarstellung.- 4.6 Fundamentalsatz, Differentialgleichungen Fundamentalsatz, Lösung spezieller Typen von Differentialgleichungen.- 4.7 Verständnisfragen.- 4.8 Übungsaufgaben.- Anhänge.- Computeralgebra.- Mathematik und neue Medien.- Die Internetseite zum Buch.- Griechische Symbole.- Lösungen zu den "?".- Register.